不定積分的幾種計算方法

范云鵬 樊雪雙

摘?要：在高等數學的學習當中，不定積分的計算是非常重要的內容。但是好多初學者見到不定積分的題，沒有思路，遇到不知道用哪一個積分方法，本文把不定積分的求法做一個總結，希望對初學者有一定幫助。

關鍵詞：湊微分;分部積分

在高等數學的學習當中，導數和不定積分是非常重要的內容。相對于導數而言不定積分的計算難度更大一些，方法更靈活一些。原因在于不定積分的方法很多，而且有的題目需要將各種方法結合使用，因此有一定的難度。

1?直接積分法

一些簡單的不定積分題目，被積函數是基本初等函數，或者可以經過化簡成基本初等函數，結合不定積分的性質和基本積分公式，可以求出它們的不定積分。

例1：求不定積分（x2-1x-1-cosx+11+x2）dx。

解：被積函數含有-cosx和11+x2，可以直接積出來，x2-1x-1化簡成x+1后也可以直接用基本積分公式。原式=（x+1-cosx+11+x2）dx=x22+x-sinx+arctanx+C。

例2：求不定積分x41+x2dx。

解：不能直接用公式，但是可以先化簡一下，x41+x2=x4-1+11+x2=x2-1+11+x2，原式=x41+x2dx=x4-1+11+x2dx=（x2-1+11+x2）dx=x33-x+arctanx+C。

從上面兩個例題可以看出，利用基本積分公式和性質可以求一些簡單函數的積分，對于比較復雜的函數比如復合函數我們就需要掌握一些積分的方法。

2?第一換元積分法（湊微分法）

定理1：若f（u）=F（u）+C，u=φ（x）具有連續導數，則f[φ（x）]dφ（x）=F[φ（x）]+C。

此公式稱為第一換元積分公式，利用第一換元積分公式稱為第一換元積分法。此種方法關鍵是要湊出φ（x），因此也稱為“湊微分法”。

例3：求不定積分e3xdx。

解：基本公式exdx=ex+C，但e3xdx=e3x+C，答案是錯的，因為（e3x）′=3e3xe3xdx=13e3x（3x）′dx=13e3xd3x令3x=u13eudu=13eu+C把u=3x帶回13e3x+C。

例4：求不定積分cotxdx。

解：無法直接套用基本公式，在被積函數中湊微分cotx=cosxsinx，把cosx湊進去，cosxdx=（sinx）′dx=dsinx，cotxdx=cosxsinxdx=1sinxdsinx，令sinx=u，原式=1udu=lnu+C，把u=sinx=u帶回，原式=lnsinx+C。

例5：求不定積分（arctanx）121+x2dx。

解：不能直接，需要湊微分。

11+x2dx=darctanx，原式=（arctanx）12darctanx，令arctanx=t，原式=t12dt=23t32+C，把arctanx=t帶回，原式=23（arctanx）32+C。

3?第二換元積分法

定理2：設x=φ（t）是單調可微函數，且φ′（t）≠0，令x=φ（t），則f（x）dx=f[φ（t）]dφ（t）=f[φ（t）]φ′（t）dt=G（t）+C=G（φ-1（x））+C，此公式稱為第二換元積分公式，利用第二換元積分公式稱為第二換元積分法。

（1）當被積函數含有一次函數時，即ax+b時，可用根式代換。令ax+b=t，則x=t2-ba，dx=2tadt，可以達到去掉根號的目的。

例6：求不定積分xx+1dx。

解：令x+1=t，則x=t2-1，dx=2tdt，xx+1dx=（t2-1）×t×2tdt=2（t4-t2）dt=2t55-2t33+C，把x+1=t代回，原式=25（x+1）52-23（x+1）32+C。

例7：求不定積分1x（1+3x）dx。

解：被積函數中含有兩個根式x，3x。如果令x=t，那么3x=x13=（x12）23=t23=3t2，達不到去掉根式的目的，同樣令3x=t也一樣。

2和3的最小公倍數是6，令6x=t，那么x=t6，dx=6t5dtx=（x16）3=t3，3x=（x16）2=t2。原式=6t5t3（1+t2）dt=6t21+t2dt=6（1-11+t2）dt=6（t-arctant）+C=6（6x-arctan6x）+C。

（2）對于任意的x，有a2sin2x+a2cos2x=a2，a2+a2tan2x=a2sec2x，a2sec2x-a2=a2tan2x，當被積函數含有a2-x2，a2+x2，x2-a2時，可以利用三角函數達到去掉根號的目的。

例8：求不定積分1-x2dx。

解：令x=sint，dx=costdt，原式=1-sin2t×costdt=cos2tdt=1+cos2t2dt=12（t+12sin2t）+C，t=arcsinx，sin2t=2sintcost，原式=12（arcsinx+x1-x2）+C。