怎樣利用圖形的旋轉變換解題

盧文君

把一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針方向旋轉一定的角度而得到另一個圖形，這種變換叫旋轉變換.它不僅是探索圖形性質的重要手段，也是解答幾何問題中一些復雜圖形問題的有力工具.在解題中巧妙利用旋轉，抓住圖形變換過程中的幾何不變性，或轉換線段和角的位置，使分散的條件相對集中起來，可以為題設和結論的溝通架起橋梁，從而為解題找到突破口.下面舉例探討旋轉變換在解幾何題中的應用.

一、抓住圖形旋轉中的不變量

圖形旋轉的主要特征是：圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度，對應點到旋轉中心的距離相等.運用圖形旋轉法解題時，關鍵是要抓住圖形旋轉中的不變量，例如角、線段等，利用“旋轉后對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角”和“旋轉后對應邊、對應角都不變”的性質，從變化中尋求不變，從而使復雜問題簡單化.

例1已知點 P 是正方形ABCD 內的一點，連接 PA、PB、PC.（1）將△PAB繞點 B 順時針旋轉90°到△P′CB 的位置（如圖1所示），若PA=2.PB=4，∠APB=135°，求 PC 的長.（2）如圖2，若 PA2+PC2=2PB2，請說明點 P 必在對角線AC 上.

分析：（1）連接 PP′，如圖1，根據旋轉圖形的性質得BP=BP′=4，CP′=AP=2，∠PBP′=90°，∠BP′C=∠BPA=135°，則可判斷△BPP′為等腰直角三角形，得∠BP′P=45°，PP′= 2 PB=4 2 ，于是∠PP′C=∠BP′C - ∠BP′P = 90°，則根據勾股定理計算出 PC=6;

二、發現和構造圖形旋轉中的全等圖形

旋轉變換是一種常見的全等變換，圖形的旋轉變換不改變圖形的形狀、大小，只改變圖形的位置，旋轉前后的圖形對應邊相等、對應角相等.故解題時可充分利用圖形旋轉變換的這一特點，去尋找和發現圖形中的全等圖形，特別是當題目條件中出現等腰三角形、正三角形、正方形、中線（或中點）時，常考慮通過圖形的旋轉構造全等三角形，以求得問題的答案

三、利用圖形旋轉將分散元素集中

當題目條件較分散，線段、角不在同一個圖形中時，往往可以通過旋轉變換，把部分圖形“搬”到新的位置，由此帶來新的全等圖形和相等的線段、相等的角，從而使原本分散的已知條件或結論中所涉及的元素集中到某一個圖形中，使題目中隱含的關系明朗化，以達到解題的目的.

例3如圖4，在△ABC 中，AB =AC，點 P 為三角形內一點，且∠APB <∠APC，求證： PB >PC .

分析：待證結論 PB >PC 與已知條件∠APB <∠APC 中四個元素是分散的，不在同一個三角形或四邊形中，故考慮通過變換將這四個元素集中.考慮到點 A 為不動點，可作為旋轉中心，又因為 AB =AC，可將點 C 作為旋轉后點 B 的對應點.

旋轉是幾何圖形運動中的一種重要變換形式，恰當地對幾何圖形進行旋轉變換，可以優化圖形結構，有助于我們發現圖形之間的位置和數量關系，進而使較為復雜的問題得以順利求解.

上期《〈二次函數〉拓展精練》參考答案

1.C;2.D;3.B;4.D;