脈沖式事件觸發控制的時變多個體系統一致性

柴 潔，過榴曉，沈莞薔，陳 晶

（江南大學理學院，江蘇無錫 214122）

（*通信作者電子郵箱guoliuxiao@jiangnan.edu.cn）

0 引言

多個體系統作為一個非常活躍的研究領域，可以廣泛應用于眾多領域，如一致性、編隊控制和同步［1-3］等，一致性問題作為多個體系統控制的基本問題之一，儼然受到眾多學者的關注［4-6］。

考慮到多個體系統在復雜場景下機動目標跟蹤或防碰撞的實際任務，滿足任務要求和適應環境變化的編隊需要是時變的。多個體系統的時變特性主要體現在時變動力學節點和時變的拓撲連接兩個方面。相較于定常系統，時變系統的研究更具挑戰性和難度。過去的幾年里，研究人員在時變系統協同控制的穩定性方面做了大量的工作［7-9］。例如，文獻［7］中采用矩陣無窮乘積方法研究具有切換系統的時變連續線性多智能體同步問題。文獻［8］中為解決線性時變系統有限時間穩定性問題，提出一種求解有限時間穩定性問題的數值方法。文獻［9］中研究了線性時變系統的漸進穩定性、指數穩定性和一致指數穩定性的問題。文獻［10］中分析了非線性時變時滯系統的穩定性，同時將分析結果應用于具有時變系數的時變時滯線性系統的穩定性問題中。文獻［11-12］中則假設鄰接矩陣中每個元素在一個周期內的平均值大于一個預定義的正常數的條件，實現時變的多個體系統的一致性。顯然，這個條件某種程度上非常保守。當考慮更復雜的動力學行為時，需要更多的約束條件來確保系統同步。本文研究時變多個體系統，包括時變節點的動態特性和系統拓撲結構的一致性。

為減少多個體系統信息傳輸的成本、降低個體系統的通信負載，研究人員提出了很多新的控制方法。文獻［13］中設計了事件觸發策略和自觸發策略的兩種算法來實現時變拓撲下的多個體系統的一致性；文獻［14］中則采用基于事件觸發控制方法，解決了固定和切換拓撲的領導跟隨多個體一致性問題；文獻［15］中針對資源受限的時變拓撲結構的多個體系統的編隊控制問題，設計多個體系統的編隊控制協議和分布式事件觸發機制，討論了系統的穩定性問題；文獻［16］中針對具有時變通信延遲的多個體系統，給出事件觸發條件并設計一致協議，解決系統的一致性問題。另一方面，脈沖控制作為一種離散的控制方法，具有降低通信和計算成本、操作簡單等優點。文獻［17］中提出了一個新的脈沖時滯不等式，給出了具有無界時變時滯的脈沖系統和時不變系統穩定的一些充分條件；文獻［18-19］中結合事件觸發的算法和脈沖控制研究了系統的一致性。進一步地，文獻［20］中利用分布式事件觸發脈沖控制方法研究了多個體系統的領導跟隨一致性問題，對比仿真得到，事件觸發脈沖控制比現有的許多基于事件的控制方法更加有效和簡單；文獻［21］中基于事件觸發脈沖控制協議將多個體系統一致性結果推廣到系統網絡二分群一致性，而本文側重將線性系統拓展到時變線性系統和時變拓撲連接情形，基于脈沖式事件觸發控制協議討論多個體傳統一致性問題。

綜上，針對時變拓撲連接環境下的時變多個體系統的一致性問題，本文提出了基于事件觸發的脈沖控制協議。本文主要工作如下：1）使用脈沖控制和基于事件觸發控制方法，集兩者優點，設計了基于事件觸發的脈沖控制協議，解決時變線性多個體系統的一致性問題，有效節約了系統信號傳輸和協議控制成本，控制方法也更加簡單可操作；2）理論推導了時變拓撲下的時變多個體系統一致的控制參數充分條件，且證明事件觸發脈沖時刻不存在芝諾現象。

1 預備知識及問題描述

1.1 代數圖論

設含有N個節點的有向圖G=(V，E，A)，頂點集表示為V={v1，v2，…，vN}，邊集表示為E?V×V。點i的鄰居集Ni={vj∈V|(vj，vi)∈E}。定義一個帶有權重的鄰接矩陣A=[aij]N×N，圖G中存在一條有向邊eij=(vi，vj)∈E，那么aij>0；否則，aij=0，定義aii=0。L=[lij]N×N為圖G的拉普拉斯矩陣，且lij=-aij，j≠i；lij=，j=i。當系統拓撲是時變的，分別用G(t)和L(t)表示其時變的連接拓撲和拉普拉斯矩陣。本文有關符號表示如下：Rn表示n階實向量，Rn×n表示n×n階實數矩陣。對于向量x∈Rn、xT和‖x‖分別為其轉置和常用的歐幾里得范數。In是維數為n的單位矩陣，1N(0N)表示所有元素為1 或0 的N維列向量。Ν 為自然數集。符號diag{x1，x2，…，xn}表示對角元素為xi的對角矩陣。符號A?B表示矩陣A和B的Kronecker 積。λmax(P)和λmin(P)分別表示對稱矩陣P的最大和最小特征值。

1.2 模型描述

考慮一個含有N個個體的線性時變多個體系統，每個個體的時變動態方程表示為：

其中：A(t) ∈Rn×n，B(t) ∈Rn×n表示連續的矩陣函數；xi∈Rn是個體i的位置向量；ui(t)為第i個個體的控制輸入。基于事件觸發脈沖控制協議設計如下：

系統（1）結合事件觸發脈沖控制協議（2）也可表示為：

假設1 本文中所有的時變矩陣范數有界，即對任意時間t，存在正常數a、b，使得下式成立：

假設2 矩陣A、B是可穩的，有正數c，存在一個解P>0使得下列里卡提不等式［22］成立：

下面給出證明需要的幾個重要引理。

引理1圖G包含有向生成樹，當且僅當G的拉普拉斯矩陣有唯一的零特征值，其他所有特征值都有正實部［23］。

引理2如果圖G是強連通的，則G的拉普拉斯矩陣L不可約，且L1N=0 成立，存在一個對應于零特征值的左特征向量ξ=(ξ1，ξ2，…，ξn)T，使得ξTL=0且=1［24］。

引理3令w(t)在[t0，∞)是非負的連續函數，w(t)

引理4函數g(t)在[t0，∞)上是一個一致指數穩定函數，若給定正常數d1、d2，存在時間序列和常數T>0，對?t≥t0使得式（5）～（6）成立［9］。

定 義1 對于任意初始條件xi(0) ∈Rn，i∈I={1，2，…，N}，若各個體的狀態滿足條件：則多個體系統（1）實現一致性。

定義2設時變連接拓撲圖G(tk)，與其對應的拉普拉斯矩陣L(tk)，若滿足以下條件［26］：

2 一致性協議分析

序列{tk}按時間順序排列，通常來說，不是所有的個體在tk時都有脈沖輸入，在tk時刻，至多有不超過N個個體被觸發。即有i(1 ≤i≤N)個個體在tk刻觸發，則可設觸發矩陣σ(k)=，也 就 是qN=[q，q，…，q]T，(q=0，1)，‖σ(k)‖1=i。

基于事件觸發控制的脈沖策略，多個體系統網絡（3）的矩陣形式為：下一次事件觸發將不會觸發，直到觸發函數式（4）變為0，其中e(tk)=0，結合式（12）可得：

定理2時變多個體系統（1），設圖G(tk)平均一致連通，基于事件觸發脈沖控制器（2）的觸發時刻由式（4）決定，若存在連續且有界的函數λ(t)，λ(t)是一致指數穩定函數，一個可微矩陣函數P：[0，∞) →Sn+，P(t)=IN-1?p(t)，存在常數p1和p2，0 0，d2>0 使得式（13）、（15）成立：

其中：k=1，2，…。則系統（1）實現漸進一致性。

證明 為證明系統穩定，對任意t∈(tk，tk+1]，構造李雅普諾夫函數得：

其中：μ(Tj(t0，t))為Tj(t0，t)的勒貝格測度集。φ1(t)有界結論當t→∞時，?1(t) →0，定理1即得證。證畢。

在式（7）中，考慮非時變系統情形，即A(t)=A，L(t)=L，B(t)為單位矩陣I。式（7）中模型改寫為不是時變的事件觸發脈沖控制多個體系統模型：

可以直接得出下述類似文獻［20］中的推論。

推論1 考慮多個體系統（22）的連接拓撲圖連通，在事件觸發的脈沖控制協議下，若存在正定矩陣P，常數α>0，k∈Ν+滿足：

其中：φ(t0，t)是R+上的連續函數。則當=-∞成立，系統（22）實現全局漸近收斂。存在常數c>0，t≥t0，使φ(t0，t) ≤-c(t-t0)，則系統（22）實現指數收斂。其中脈沖強度的范圍滿足：

根據上述的討論，事件觸發函數式（4）替換成：

上述觸發函數的優點是避免了智能體之間的持續通信。在該觸發條件下，下一觸發時刻tk+1可以通過該智能體在tk上的鄰點信息預測。

定理3非時變的多個體系統（22），假設連接矩陣拓撲圖連通，基于事件觸發的脈沖控制器（2）的脈沖觸發時刻由式（25）決定，則系統（22）可實現指數一致性收斂，且不存在芝諾行為。

推論2 連續兩個觸發事件之間的時間間隔會隨著觸發函數（25）中的參數β、η增加而增加。

證明 由觸發函數（25），若誤差ei(t)超過閾值上界，可得

假設不成立。即得參數β、η增加，連續兩個事件之間的時間間隔也將增大。證畢。

3 數值仿真

例1 考慮多輪式移動機器人的位置跟蹤問題［27］，每個個體的線性時變模型表達式如下：

其中：i=1，2，…，5。控制輸入按式（2）定義計算，初始狀態在[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]×[-60，60]?R5中隨機選取，令脈沖強度γ=0.7，β=0.01、r=η=0.01，控制參數驗證滿足定理3 條件，A=，其中：a、b、e和d為時變標量；個體的三個狀態分量分別表示位置、速度和執行器的狀態；a表示驅動器的速度；b和e表示增益。如果d>0，執行器受速度影響，系統內部形成反饋回路。參數{a，b，d，e}為{0.8× sin(t)，1+0.1× cos(t)，0，0.8× cos(t)} 。

其中K=1。則圖G(tk)平均一致連通的，可得

函數λ(t)的演化如圖1所示，其中λ(t)不總是負值。

圖1 λ(t)的演化圖Fig.1 Evolution of λ(t)

驗證滿足定理2條件，式（26）中狀態分量軌跡圖如圖2所示，圖3 反映了系統的整體一致誤差e(t)=很快趨于0，基于事件觸發脈沖控制協議最終實現狀態一致。

圖2 式（26）中時變拓撲下的多輪式移動機器人的狀態xi(t)(i=1，2，3)軌跡Fig.2 Trajectories of state xi(t)(i=1，2，3)of multi-wheeled mobile robots under time-varying topology in formula（26）

圖3 式（26）中個體的誤差演化Fig.3 Error evolution of agent in formula（26）

圖4 展示了系統的脈沖事件觸發事件序列，隨著時間變化，始終有觸發時間間隔且沒有芝諾行為。

圖4 系統在10 s內的觸發時間序列Fig.4 System triggered time sequence in 10 s

數值實驗結果表明，離散形式的分布式事件觸發脈沖控制，對于時變多個體系統，同樣可以有效降低系統的通信成本。從符合定理條件仿真實例誤差圖可見，可以很快達到一致狀態。

4 結語

本文研究了具有時變特性和基于事件觸發脈沖控制的多個體系統的一致性問題，系統的每個節點是動態線性時變的，系統拓撲結構也是時變的。使用離散形式的控制協議，可充分降低系統的通信成本。在系統拓撲平均一致連通的假設下，理論證明了時變多個體系統一致性轉化為多個線性時變事件觸發脈沖控制系統的同時穩定性問題，給出了事件觸發脈沖控制協議下具有時變特性的多個體系統一致性存在的充分條件，且不存在芝諾行為，數值仿真驗證所給理論結果的有效性。下一步將研究基于間歇控制的時變多個體系統的領導跟隨一致性等問題。