含周期性空腔結構吸聲機理的研究?

羅英勤 樓京俊 張焱冰 李靜茹

(1 海軍工程大學艦船與海洋學院 武漢 430000)

(2 海南大學機電工程學院 海口 570100)

0 引言

含空腔的吸聲結構已經被證明是很有效的吸聲結構，分析和計算其吸聲機理和吸聲系數的方法主要有理論計算方法如解析法[1?3]、傳遞矩陣法[4?6]、等效參數法[7?8]、多重散射法[9?12]等。但理論計算方法一般只適用于結構形式比較簡單的吸聲結構；數值仿真方法在處理復雜結構上具有靈活通用性，能直觀展示結構在聲波激勵下的變形、能量消散圖像。Hoennion等[13?14]首次將有限元(Finite element method,FEM)理論與Bloch-Floquet理論相結合，研究了柔順管和Alberich 消聲涂層的散射。Achenbach 等[15]利用邊界元法研究了由平行等距桿組成的格柵對平面聲波的三維反射和透射。Easwaran等[16]提出了一種基于Galerkin函數的有限元方案，用于分析垂直入射平面聲波穿過時共振吸收器的反射特性。此后數值仿真越來越普遍地應用于聲學仿真[17?20]。數值仿真實質上是對結構和聲學介質的離散化處理，為保證計算精度，相應的模型網格取1/4 最小波長[14]，在處理高頻問題時，波長更小，使得計算量大大增加，特別是在多次重復計算的優化問題中，此問題尤為突出，此時可以根據結構的對稱特性簡化為1/4[16]或1/8 模型[11]甚至是二維軸對稱模型[18]，相應的計算效率和計算精度有待進一步驗證。本文在利用有限元仿真軟件建立聲學性能分析方法的基礎上，提出并驗證了含軸對稱空腔周期性吸聲結構計算的簡化方法。

含空腔吸聲結構的吸聲機理一直備受關注。Gaunaurd[21]認為這種含空腔結構的聲特性與第二層圓柱孔的諧振有關。后來Lane[22]發現其聲特性不僅與第二層空腔有關還與第一層的動態特性有關。Gaunaurd[23]在對文獻[22]的評論中指出，空腔結構第一層的彎曲振動、第二層孔壁的徑向運動，是兩種振動機理共同作用。文獻[20]指出吸聲機理包括第一層的“隔膜”共振和第二層的孔壁的徑向運動，起主要作用的機理不僅與各層的剛度匹配有關，還與孔的大小和各層厚度有關。近年來，Ivansson在討論周期性分布的球型空腔和橢球型空腔[18]吸聲結構的聲學性能時考慮了腔的多重散射特性。白國鋒等[24]總結以上吸聲機理為空腔發生共振增加能量損耗；空腔增加波的散射以及增加波的傳播路徑；空腔徑向運動增加波型轉化，利用橫波衰減因子提高聲能吸收。

本文對水下環境中的含圓柱空腔吸聲結構進行了優化設計，并對聲能量損耗機理進行了分析。觀察到空腔運動不僅是表面層的彎曲振動和空腔附近的徑向運動，而且徑向運動隨吸聲結構厚度變化。相對以往相關內容文獻，本文還比較詳細地介紹了結構模型簡化過程和計算效率、計算精度提升的效果，為進一步揭示空腔吸聲機理的細節提供了理論依據。

1 吸聲特性計算簡化模型及驗證

1.1 模型描述

采用有限元方法建立聲固耦合方程如下[17]：

其中，M、C、K、R分別是質量、阻尼、剛度矩陣以及結構和流體的耦合矩陣，下標s 和f 分別表示結構和流體，ue和pe分別是結構節點位移和流體的節點聲壓，Fs和Ff分別表示結構受力和聲壓激勵，ρf表示流體密度。以此為基礎建立有限元仿真模型，流體介質兩端分別施加完全匹配層(Perfectly matched layer,PML)形成吸聲端面。經求解得到反射系數R和透射系數T，由公式(2)求得吸聲系數：

二維周期結構是指沿xOy平面排布的四邊形和六邊形，截面單元如圖1所示，本文主要分析這種周期分布的吸聲結構。實際分析過程只需取一個單元，對單元模型外表面施加周期性邊界條件un=0。根據結構對稱性，可以取四邊形截面單元的1/4(如圖1(a)黃色部分)甚至1/8(如圖1(a)紅色部分)或者六邊形截面單元的1/4(如圖1(b)黃色部分)或1/6(如圖1(b)紅色部分)進行仿真。對于含軸對稱空腔的周期結構，保持空腔尺寸不變，利用通孔率?相等將四邊形或六邊形截面的單元轉化為圓形截面單元，可進一步簡化采用二維軸對稱模型進行計算，以四邊形截面單元為例，簡化過程如圖2所示。

圖1 平面周期單元形式Fig.1 Plane periodic unit form

圖2 含軸對稱空腔周期結構分析模型簡化過程圖Fig.2 Simplified process diagram of periodic structure analysis model with axisymmetric cavity

1.2 模型驗證

算例1 以一個多層吸聲結構為例，各層材料參數和厚度如表1所示，流體介質密度ρ=1.12 kg/m3，聲速c= 340 m/s，鋼被襯。其中第二層含有周期性空腔通孔，空腔直徑d為10 mm，空腔間距s為30 mm，計算頻率為50～500 Hz，步長為10 Hz。

表1 含空腔結構幾何和材料參數Table 1 The geometry and material parameters of the structure containing cavity

取一個正方形截面單元進行分析，取單元立方體、1/4 立方體、通孔率相同的圓柱立方體、通孔率相同的二維軸對稱模型建立簡化模型，計算聲學性能。各簡化模型的計算結果曲線如圖3所示，計算量、計算時間和平均誤差如表2所示，可知二維軸對稱模型的簡化方法誤差不到1%，滿足精度需求且計算效率大大提高，可以在結構優化計算過程中節約大量時間，縮短設計周期。

圖3 算例1 吸聲系數計算結果Fig.3 Calculation results of sound absorption coefficient of Example 1

表2 簡化模型計算對比結果Table 2 Calculation results of simplified model

2 含周期圓柱空腔吸聲結構優化設計

采用遺傳算法對吸聲結構進行優化設計，遺傳算法[25]利用適應度函數將目標函數轉化為對應變量的適應度。將變量編碼作為基因形成染色體個體，通過染色體基因的變換和重組完成“雜交”、“變異”的過程，用適應度函數對染色體個體進行評價，模擬自然界中的“優勝劣汰”、“適者生存”，最終完成尋優搜索的過程。遺傳算法兼顧全局和局部搜索能力，優化流程如圖4所示。

圖4 遺傳算法流程圖Fig.4 Flowchart of genetic algorithm

針對水下結構有限厚度低頻吸聲問題，設計水被襯含圓柱空腔吸聲結構，水介質參數為ρ= 1000 kg/m3，c= 1500 m/s。各層材料之間的剛度匹配和空腔形狀影響吸聲性能，這里僅對空腔形狀和各層厚度進行優化設計。各層均采用聚氨酯材料，材料參數為E= 35.17 MPa，v= 0.45，ρ=950 kg/m3，η=0.43。吸聲結構如圖5所示，在2000 Hz 頻率下用遺傳算法對圓柱空腔吸聲性能進行優化設計。此處采用遺傳算法ga 函數鏈接有限元仿真軟件進行優化設計，ga 函數是求解目標函數的最小值，此處目標函數是求吸聲系數α的最大值，對應優化模型如下：

圖5 含空腔結構示意圖Fig.5 Structure diagram with cavity

其中設計參數單位為mm，優化結果如表3所示，優化前后1000～3000 Hz 頻率下聲學性能曲線如圖6所示，吸聲系數在大部分頻段提高。

表3 圓柱空腔吸聲結構優化設計參數設置及結果Table 3 Parameter setting and results of optimization design

圖6 含圓柱空腔結構吸聲系數優化結果Fig.6 Optimization result of sound absorption coefficient of structure with cylindrical cavity

2.1 能耗分析

實現吸聲的實質是將聲能轉化為熱能等其他形式耗散掉，所以能量耗散多少直接關系到吸聲系數的大小，借助有限元仿真提取能量耗散密度來分析空腔結構吸聲機理。圖7給出了優化前后表層和空腔層的能量消耗隨頻率變化情況，圖8給出了優化后對稱截面能耗密度分布情況。優化前低于1400 Hz 頻率區表層能耗高于空腔層的能耗，高于1400 Hz 頻率區空腔層的能耗高于表層能耗；優化后在整個頻段內，空腔層的能耗明顯大于表層能耗，且相比于優化前，優化后空腔層能耗高于表層能耗的程度加大。雖然圖8顯示表層能量密度高于空腔層的，但是空腔層體積更大，總能耗大。由此表明，空腔層的吸聲作用起主導，結構會朝著增加空腔層能耗的方向優化。因為2500 Hz 下吸聲系數比目標頻率2000 Hz下更高，圖8展示了2500 Hz下能耗密度分布，相比于2000 Hz 情況，其空腔附近能耗密度明顯增大，這與圖9(b)、圖9(d)發生明顯徑向變形有關。

圖7 優化前后空腔結構各層平均功耗Fig.7 Average power consumption of each layer of cavity structure before and after optimization

圖8 圓柱空腔結構能耗分布Fig.8 Energy consumption distribution of cylindrical cavity structure

2.2 變形分析

圖9給出了優化后結構變形，圖中黑實線表示未變形結構，箭頭表示質點位移矢量，箭頭方向表示位移方向，箭頭相對大小表示位移相對大小。由圖9(a)和圖9(c)可以看出，在2000 Hz 頻率下空腔上下表層發生明顯的彎曲變形，由圖9(c)、圖9(e)和圖9(g)看出，空腔層發生徑向變形，沒有扭轉變形，且上半部分從空腔向外膨脹，下半部分向空腔內收縮，從變形數量級上可知徑向位移比表層位移小一個數量級，幾乎可以忽略。因為圖6顯示2500 Hz 下吸聲系數比目標頻率2000 Hz 下更高，圖9展示了2500 Hz 下結構變形，入射側表層結構依然明顯彎曲，但圖9(b)、圖9(d)相比于圖9(a)、圖9(c)，空腔層發生了明顯的徑向變形，且徑向變形軸向變化，表明徑向運動對吸聲性能影響很大。

圖9 圓柱空腔變形Fig.9 Deformation of cylindrical cavity structure

2.3 模態分析

圖10給出了優化后圓柱空腔結構的前3 階模態，第1 階主要發生表層變形，第2 階同樣主要發生表層變形，但是徑向變形相對第1 階增大，第3 階產生表層變形的同時也產生了比較明顯徑向變形模態。2000 Hz 下主要激起第1 階模態，如圖10所示，第1 階模態與圖9(c)變形對應。2500 Hz 可以激起前3 階模態，其變形由前3 階模態疊加，第3 階頻率為2426.8 Hz，疊加成分最高，發生更多的徑向變形，對應2500 Hz 吸聲系數高于2000 Hz。對優化后結構的能量消耗、變形和模態分析表明，低頻段吸聲性能主要與表層變形有關，激起表層振動模態，進而激起表層結構介質運動而消耗能量，相對而言高頻段可激發結構的徑向變形模態，激起更多的吸聲結構介質運動而消耗能量，所以徑向變形對提高吸聲系數作用很大。

圖10 優化后圓柱空腔前3 階模態Fig.10 The first 3 modes of the cylindrical cavity after optimization

3 結論

針對周期單元滿足軸對稱的吸聲結構提出二維軸對稱模型簡化方法，通過對比計算驗證了簡化方法滿足精度需求且大大提高計算效率。

在水下環境，用二維軸對稱模型結合遺傳算法對含周期性圓柱空腔結構的吸聲性能在頻率2000 Hz 下進行了優化設計，計算優化后結構在1 kHz～3 kHz 頻段聲學性能可知，吸聲系數在2500 Hz達到最大。經過分析主要得到以下結論：

(1)徑向運動促進縱波轉化為損耗因子較大的橫波，從而提升了聲波能量的損耗，徑向振動程度對能量耗散影響很大。

(2)空腔諧振包括表層的彎曲振動和空腔附近的徑向變形，頻率相對高時發生更明顯的徑向運動，且徑向運動隨吸聲結構厚度變化；頻率相對低時表層彎曲運動發揮主要作用；頻率相對高時徑向運動對吸聲性能影響更大。

(3)激發徑向運動模態有助于提高吸聲系數。由此思路啟發，考慮到變截面空腔徑向運動模態更豐富，更有助于徑向模態向低頻移動，變截面空腔設計為提高低頻段吸聲系數提供了更多可能。