帶擾流片旋轉穩定彈動態穩定性

楊杰， 常思江， 魏偉

(1.南京理工大學 能源與動力工程學院, 江蘇 南京 210094; 2.瞬態沖擊技術重點實驗室, 北京 102202;3.北京理工大學 機電學院, 北京 100081)

0 引言

通過在常規無控彈上加裝彈道修正組件，彈道修正彈逐步發展成為一類新型彈藥。彈道修正彈介于常規無控彈與導彈之間，其成本低、毀傷率高、效費比高，因而發展較為迅速廣泛，其中在針對旋轉彈的改造中，雙旋彈道修正彈極具發展潛力[1-2]。

根據改造方式的不同，雙旋彈道修正彈主要分為兩類：一類是在旋轉彈頭部加裝彈道修正引信，如精確制導組件(PGK)；另一類是在旋轉彈尾部加裝擾流片。安裝在頭部的修正執行機構為鴨舵，包括固定舵和可動舵，固定舵舵偏不可調，使得旋轉彈修正能力有限[3-4]，可動舵舵偏可調但使得舵機結構復雜[5-6]。與鴨舵相比，在轉向能力和阻力損失方面，安裝在尾部的擾流片與其性能相當，但擾流片結構簡單，修正能力更強，且攻角響應方向與擾流片提供的升力方向一致，具有顯著優勢[7]。

帶擾流片旋轉穩定彈的結構如圖1所示，其由前體(即彈體)和后體兩部分組成，擾流片安裝在旋轉彈后體船尾部分，前體與后體通過軸承連接。旋轉彈未發射時，擾流片收縮在后體控制艙內，全彈外表與普通旋轉彈相同。旋轉彈發射后，擾流片暫不彈出，飛行過程中后體通過電機反轉，與前體形成差動旋轉，而前體保持較高轉速以保證全彈陀螺穩定性。當旋轉彈飛行到預定區域后，后體通過電機反轉至穩定狀態后相對空間不轉，擾流片展開，提供所需的控制力和控制力矩，進行彈道修正。

圖1 帶擾流片旋轉穩定彈結構示意圖Fig.1 Structure diagram of spin-stabilized projectile with spoiler

帶擾流片旋轉穩定彈的氣動分析計算表明[8]，在超聲速條件下，擾流片的存在使旋轉彈尾部局部產生劇烈的壓力變化，擾流片迎風表面壓力最大且靠近擾流片前方的區域壓力也較大，擾流產生的馬赫波系在彈體表面呈類似半橢圓形分布，隨著馬赫波系距離擾流片越來越遠，相應位置的彈體表面壓力逐漸降低，在亞、跨聲速條件下，擾動向前傳播的距離更遠。在任何馬赫數下，在擾流片兩側的壓力分布對稱，在旋轉彈同一截面沿周向的壓力分布在擾流片處最大，越靠近擾流片壓力越大。由此可見，擾流片所造成的壓力分布不對稱產生了相應的控制力和控制力矩，進而影響帶擾流片旋轉穩定彈的運動特性。

目前國內外針對帶擾流片旋轉穩定彈的研究較少，Rogers[7]通過研究發現，擾流片在亞音速范圍內具有一定的控制效率，隨著馬赫數的增加，控制效率呈指數級增加，該機構對高超聲速旋轉彈的控制研究具有重要意義。美國陸軍研究實驗室的Celmins等[9]基于40 mm旋轉穩定彈提出幾種帶擾流片旋轉穩定彈的結構設計方案，通過實驗驗證了該結構可靠的性能。隨后Fresconi等[10]通過實驗和數值計算得到空氣動力數據，研究了擾流片的結構參數與修正能力之間的關系。Wey等[11]在旋轉彈船尾安裝滾轉解耦的擾流片，通過空氣動力分析和七自由度彈道仿真說明了該方案的作用原理和可靠的性能，研究表明，在不同射擊條件下，155 mm旋轉彈的彈道散布都可被修正，且擾流片只需在彈道末端作用。Fresconi等[12]將擾流片應用于旋轉穩定彈的控制系統，以155 mm旋轉彈為例，通過6自由度模型研究制導律并計算分析其修正能力，數值計算研究了旋轉彈的角運動特性，仿真結果表明該結構具有較大的修正能力，能夠有效減小散布且未出現飛行不穩定現象。除此之外，其他將擾流片應用于尾翼彈的研究[13-18]同樣表明，擾流片具有較好的修正能力和可靠的性能。

在上述對帶擾流片旋轉穩定彈的研究中，多集中于對其修正原理及氣動特性的分析，對旋轉彈彈道特性的研究結果往往局限于數值仿真，缺乏對動態穩定性的深入研究，包括線性和非線性角運動特性等。為深入探索該類彈道修正彈的動態穩定性，本文建立了帶擾流片旋轉穩定彈的動力學模型，推導出帶擾流片旋轉穩定彈的線性角運動方程，并針對該類旋轉彈的控制原理，研究了彈體攻角在擾流片作用下的瞬態響應和穩態響應，隨后考慮了擾流片氣動系數的非線性，分析了旋轉彈結構參數、飛行參數和氣動參數對旋轉彈系統分岔特性及穩定性的影響，并對其修正能力進行了分析研究，以期為今后研制該類旋轉彈提供相應的理論依據。

1 動力學建模

如圖1所示，由于擾流片的質量和體積都很小，可忽略質量不對稱并假設控制過程無延遲。擾流片展開后，旋轉彈整體產生氣動不對稱，形成附加的阻力、升力和俯仰力矩。

動力學建模用到的坐標系有：地面坐標系、彈道坐標系、彈軸坐標系、前體坐標系和后體坐標系。前體坐標系與后體坐標系的定義如下：

前體坐標系Oxfyfzf與常規彈體坐標系Oxbybzb重合[19]，而后體坐標系Oxayaza則是在前體坐標系基礎上將Oyf軸和Ozf軸繞Oxf軸轉過角度Δγ得到，坐標系示意圖如圖2所示，Δγ為差動滾轉角，有

圖2 坐標系示意圖Fig.2 Coordinate system

Δγ=γa-γf，

(1)

式中：γa、γf分別為后體和前體的滾轉角，γf與彈體滾轉角γ相同。其余坐標系的定義可參見文獻[19]。

圖3為零攻角時作用于后體的附加力和力矩示意圖，設沿彈軸從彈尾向前看有一垂直于彈軸的橫截面，假設擾流片位于后體坐標系Oya軸位置，ΔRx表示附加阻力，ΔRy表示附加升力，ΔMz表示附加力矩。定義Oya軸與彈軸坐標系Oη軸的夾角為后體擾流片的滾轉角γs，從η軸算起，順時針為正。

圖3 零攻角時附加力和力矩示意圖Fig.3 Schematic diagram of additional force and moment for AOA=0°

基于上述坐標系，可推導得到帶擾流片旋轉穩定彈的6自由度動力學模型，由于本文主要對角運動特性進行研究，因此不再對質心運動方程進行贅述，僅給出帶擾流片旋轉穩定彈的角運動方程：

(2)

式中：θe表示速度高低角；t表示時間；Fyt表示作用在旋轉彈上的空氣動力在彈道坐標系Oyt軸下的分量；v表示彈丸質心速度；m表示彈丸質量；ψa表示速度方向角，

(3)

Fzt表示作用在旋轉彈上的空氣動力在彈道坐標系Ozt軸下的分量。

(4)

式中：ωξ、ωη、ωζ表示彈丸繞質心轉動的角速度；C表示極轉動慣量；A表示赤道轉動慣量；Mη表示作用在旋轉彈上的空氣動力矩在彈軸坐標系Oη軸上的分量[20]；φa表示彈軸方位角，

(5)

(6)

式中：Mζ表示作用在旋轉彈上的空氣動力矩在彈軸坐標系Oζ軸上的分量。

(7)

式中：φe表示彈軸高低角。

為研究帶擾流片旋轉穩定彈的動態穩定性，下面根據以上建立的動力學模型，基于線性假設對攻角的解析解進行推導分析，并結合非線性理論對其動力學分岔特性進行分析，最后進行修正能力分析。

2 攻角運動特性

考慮到帶擾流片旋轉穩定彈的角運動是在理想彈道附近進行的，在建立角運動方程時略去小量及小量乘積，有θ≈θe，則(2)式～(5)式可簡化為

(8)

式中：ψc表示速度方向角分量；δe表示高低攻角；δa表示方向攻角；g表示重力加速度。

(9)

(10)

式中：φc表示彈丸姿態角分量。

(11)

根據復擺動角φ、復偏角ψ和復攻角Δ的定義及相互關系，將(8)式～(11)式寫成復數形式，可得

(12)

(13)

聯立(12)式和(13)式，忽略小量乘積，并將自變量從時間改為弧長s，得到攻角運動方程

(14)

考慮由擾流片引起的角運動，線性角運動方程(14)式可寫為

(15)

下面對擾流片彈出后彈體攻角的瞬態響應和穩態響應進行分析。

2.1 擾流片彈出產生的瞬態解

旋轉彈在飛行過程中，擾流片彈出對旋轉彈進行控制，相當于旋轉彈受到一個階躍激勵。當旋轉彈受到階躍激勵時，角運動方程可寫成如下形式：

(16)

式中：ε(s)為單位階躍函數；si為階躍激勵開始作用時的彈道弧長。

在[0,si]弧長間隔內，旋轉彈未受到激勵作用，處于無控狀態；在s>si弧長段，激勵一直存在。根據杜哈梅積分[21]，可以將該激勵視為一系列脈沖激勵的迭加，即

(17)

式中：x(t)為系統響應；p(τ)為外部激勵；h(t-τ)為τ時刻由單位脈沖引起的系統響應，有如下表達式，

(18)

于是得到階躍激勵時旋轉彈角運動方程的解為

(19)

(19)式得到的攻角瞬態解與6自由度彈道仿真得到的攻角進行對比，圖4為60 s啟控、擾流片滾轉角為90°時的對比曲線。

圖4 60 s啟控、90°滾轉角時攻角對比曲線Fig.4 Comparison curves of angle of attack for t=60 s and γs=90°

由圖4可知，由(19)式計算出的攻角瞬態響應與剛體彈道數值仿真得到的攻角是吻合的，證明了該解析解的正確性。結合kc和bc的表達式與(19)式分析可知，擾流片附加升力系數導數和附加力矩系數導數越大，攻角響應幅值越大，而計算流體力學模擬計算表明該系數與擾流片高度近似呈正比關系，因此擾流片高度越高，攻角響應幅值越大。

2.2 擾流片彈出產生的穩態解

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=(kc+ibcP)eiγs，

(20)

式中：等號右邊為定值，利用常數變易法求得特解為

(21)

(21)式的分母實數化得到

(22)

式中：

(23)

實部與虛部分離，可得

(24)

(25)

(24)式和(25)式即為擾流片彈出后產生的攻角穩態解。60 s時啟控，擾流片在0°方位上產生階躍激勵時，數值積分和理論推導計算出的攻角響應的瞬態解和由(24)式和(25)式計算得到的穩態解如圖5所示。

圖5 穩態解與瞬態解對比曲線Fig.5 Curves of comparison between steady state solution and transient solution

由圖5可知，穩態解反映了旋轉彈攻角在階躍激勵下擺動結束后的平衡位置。相比之下，解析計算所得瞬態解的平衡位置與穩態解更接近，這是因為在理論推導過程中，穩態解和瞬態解的計算采取了相同的假設。

彈體攻角的穩態響應為一復攻角，由(24)式和(25)式可求得其幅角為

(26)

(23)式代入(26)式，并根據反正切相加減定理[22]，可得

(27)

由(27)式可知，Δst的幅角始終與擾流片滾轉角γs相差一個大約為180°的相位角。

3 非線性分岔特性

隨著現代外彈道理論的發展，與彈箭非線性運動相關的研究逐步開展[23]，而分岔理論是非線性分析的一個有力工具。分岔理論的應用有助于尋找引起彈箭飛行特性突變的彈箭氣動參數和結構參數分岔點，為參數設計、避免非線性飛行突變不穩提供依據。為研究分析帶擾流片旋轉穩定彈的結構參數和氣動力參數對彈箭角運動特性和飛行穩定性的影響，下面應用分岔理論對該旋轉彈進行非線性分岔特性分析。

3.1 研究方法

分岔問題起源于力學失穩現象的研究，可以分為靜態分岔和動態分岔。若任意小的參數變化會使結構不穩定系統的相軌跡拓撲結構發生突然變化，則稱這種變化為分岔。因此可將分岔的定義敘述為：

對于含參數的系統：

(28)

式中：x為狀態變量，x∈Rp；μ為分岔參數，μ∈Rq；p、q表示維數，Rp、Rq表示歐幾里德空間。當參數μ連續變動時，若系統(28)式相軌跡的拓撲結構在μ=μ0處發生突然變化，則稱系統(28)式在μ=μ0處出現分岔，μ0稱為分岔值或臨界值，(x,μ0)稱為分岔點。在參量μ的空間Rq中，由分岔值構成的集合稱為分岔集。在(x,μ)的空間Rp×Rq中，平衡點和極限環隨參數μ變化的圖形稱為分岔圖。

鞍結分岔是指控制參數變化過程中系統因形成鞍結點而出現的分岔，該分岔點也被稱為極限點，屬于靜態分岔；霍普夫分岔是指系統參數變化經過臨界值時，平衡點由穩定變為不穩定并從中生長出極限環，是一類動態分岔。

由于帶擾流片旋轉穩定彈結構非對稱、氣動非對稱，其動力學系統屬于高維非線性系統，求得其解析解比較困難，因此本文采用數值方法對其分岔特性進行研究分析。數值方法首先計算得到系統解隨分岔參數變化的曲線即平衡點曲線，通過每一點的特征值判斷其穩定性、分岔類型及分岔位置，最終得到系統分岔圖。

3.2 非線性角運動方程

帶擾流片旋轉穩定彈的動力學系統是一個高維的非線性系統，狀態變量較多，因此需要進行簡化將其降維。而旋轉彈的穩定性與其飛行過程中的角運動密切相關，因此根據動力學中的角運動方程構建低維模型。

帶擾流片旋轉穩定彈在飛行過程中，近似認為δe=φe-θe，δa=φa-ψa，根據(2)式～(7)式，簡化得到其非線性角運動方程：

(29)

式中各力和力矩表達式見文獻[20]，其中：c′y=cy,l+cy,n·δ2，δ表示總攻角，cy,l和cy,n分別為升力系數導數的線性項和立方項；m′z=mz,l+mz,n·δ2，mz,l和mz,n分別為靜力矩系數導數的線性項和立方項。擾流片外露高度Hs是對擾流片氣動特性影響最大的參數[7]，為便于研究結構參數Hs對旋轉彈非線性動力學系統的影響，建立擾流片氣動參數模型如下：

(30)

式中：Δcy,l和Δcy,n分別為單位高度擾流片引起的附加升力系數導數的線性項和立方項；Δmz,l和Δmz,n分別為單位高度擾流片引起的附加靜力矩系數導數的線性項和立方項，該數值通過計算流體力學方法數值模擬得到。

基于簡化得到的低維非線性模型(29)式，對其進行分岔特性分析與仿真，研究帶擾流片旋轉穩定彈在不同參數下的分岔特性，仿真時旋轉彈速度取400 m/s，轉速取1 300 rad/s，其他必需的旋轉彈參數和氣動參數見表1和表2，表1中：m″y表示馬格努斯力矩系數2階聯合偏導數；m′zz表示赤道阻尼力矩系數導數。

表1 主要計算參數Tab.1 Main calculation parameters

表2 擾流片氣動參數Tab.2 Aerodynamic parameters of spoiler

3.3 分岔特性分析

旋轉彈處于有控狀態時，擾流片彈出且轉角固定，擾流片產生持續的附加力矩對彈丸進行控制。當擾流片方位角為0°時，計算得到(29)式的系統平衡點為(-0.16 rad,0.006 rad,-0.009 rad/s,-0.04 rad/s)T，分別與δe、δa、ωη、ωζ對應。

為研究速度、氣動參數等因素對系統特性的影響，首先計算系統的分岔圖，圖6為攻角隨擾流片高度變化的分岔曲線?？紤]到研究對象實際的物理意義，擾流片高度不可能為負值，因此下文僅針對Hs>0 mm的情況進行分析。

圖6 系統分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system

由圖6可知，系統的平衡點數量和穩定性隨著擾流片高度的變化而變化。當0 mm≤Hs≤3 mm時，系統有一個穩定的平衡點；當3 mm≤Hs≤12.5 mm時，系統有兩個穩定平衡點和一個不穩定平衡點。從平衡點的分布可以看出：穩定平衡點1為期望的飛行狀態，帶擾流片旋轉穩定彈具有良好的動態特性，旋轉彈隨著Hs的逐漸增大產生更大的攻角；而穩定平衡點2在較小的Hs下產生較大的攻角，不利于旋轉彈飛行。對于本文算例而言，為保證帶擾流片旋轉穩定彈按照期望的平衡狀態飛行，應使擾流片外露高度在0～3 mm的范圍內。

3.4 不同因素對系統特性的影響

帶擾流片旋轉穩定彈的動力學系統分岔圖可能隨其飛行參數、氣動參數等表現出不同的特性，分析這些參數的影響可以為旋轉彈氣動外形和彈體結構的設計提供參考依據。由于穩定平衡點1是期望的平衡點，因此下文僅對穩定平衡點1的變化曲線進行分析。

3.4.1 速度變化對系統特性的影響

旋轉彈在不同條件下的初速以及飛行中的速度變化都可能存在差異，因此首先分析速度不同對系統特性的影響。圖7為速度不同時攻角隨擾流片高度變化的平衡點曲線。

圖7 不同速度下系統平衡點曲線Fig.7 Equilibrium curves of system at different velocities

由圖7可知：帶擾流片旋轉穩定彈速度的變化對系統的穩定域影響不大，飛行穩定情況下的最大擾流片外露高度變化不大；在γs=0°條件下，Hs不變時，速度越大，方向攻角越小，而高低攻角變化不大。

3.4.2 擾流片方位角變化對系統特性的影響

旋轉彈在飛行過程中，通過不斷改變擾流片方位角從而對旋轉彈修正方向進行控制，因此需要分析不同方位角對系統特性的影響。圖8為擾流片方位角不同時計算得到的系統平衡點曲線。

圖8 不同擾流片方位角系統平衡點曲線Fig.8 Equilibrium curves of system at different γs

由圖8可知：當γs=0°時，旋轉彈產生與擾流片方位相反的高低攻角和近似為0°的方向攻角；當γs=90°時，旋轉彈產生與擾流片方位相反的方向攻角和近似為0°的高低攻角。隨著γs的變化，高低攻角和方向攻角隨γs呈正弦變化。擾流片外露高度Hs越大，產生的攻角幅值越大。

3.4.3 氣動系數變化對系統特性的影響

帶擾流片旋轉穩定彈在飛行過程中，角運動主要受到氣動力矩的影響，而擾流片主要通過產生的附加力矩對旋轉彈進行控制，因此各力矩系數可能會對系統特性產生影響。圖9為彈體靜力矩系數導數線性項不同時系統分岔圖；圖10為擾流片附加靜力矩系數導數線性項不同時系統分岔圖；圖11為彈體靜力矩系數導數立方項不同時系統分岔圖；圖12為擾流片附加靜力矩系數導數立方項不同時系統分岔圖。

圖9 不同mz,l系統平衡點曲線Fig.9 Equilibrium curves of system at different mz,l

圖10 不同Δmz,l下系統平衡點曲線Fig.10 Equilibrium curves of system at different Δmz,l

圖11 不同mz,n下系統平衡點曲線Fig.11 Equilibrium curves of system at different mz,n

圖12 不同Δmz,n下系統平衡點曲線Fig.12 Equilibrium curves of system at different Δmz,n

由圖9可知：隨著靜力矩系數導數線性項的變化，系統能產生的最大攻角變化不明顯；mz,l增大會使系統的穩定域增大，在Hs相同條件下，mz,l增大會使攻角的幅值減小。

由圖10可知：隨著附加力矩系數導數線性項的變化，系統能產生的最大攻角變化不明顯；Δmz,l增大會使系統的穩定域減小，在Hs相同條件下，Δmz,l增大會使攻角的幅值增大。

由圖11可知，隨著靜力矩系數導數立方項絕對值的增大，系統能產生的最大攻角幅值逐漸減小，且系統的穩定域逐漸減小。在Hs相同條件下，當Hs較小時，mz,n不同產生的攻角差異不大；當Hs較大時，mz,n絕對值越大，產生的攻角幅值越大。

由圖12可知，隨著附加靜力矩系數導數立方項絕對值的增大，系統能產生的最大攻角幅值逐漸增大，且系統的穩定域逐漸增大。在Hs相同條件下，當Hs較小時，Δmz,n不同產生的攻角差異不大；當Hs較大時，Δmz,n絕對值越大，產生的攻角幅值越小。

4 修正能力分析

對帶擾流片旋轉穩定彈的攻角運動和動力學分岔特性進行研究之后，下面根據其動力學模型對其修正能力進行數值仿真分析。圖13為旋轉彈在彈道末端距離地面不同高度hc啟控時的修正范圍對比曲線；圖14為旋轉彈在不同擾流片高度Hs下的修正范圍對比曲線。

圖13 不同hc下修正范圍對比曲線Fig.13 Comparison curves of correction range under different hc

圖14 不同Hs下修正范圍對比曲線Fig.14 Comparison curves of correction range under different Hs

由圖13可知，距離地面高度hc=500 m時啟控修正半徑約為500 m，hc=1 000 m時啟控修正半徑達1 000 m，hc=1 500 m時啟控修正半徑達1 500 m，因此距離地面高度越高時啟控，旋轉彈修正范圍越廣，修正效率較高。

由圖14可知，Hs=7.75 mm時修正半徑約為1 000 m，Hs=11.5 mm時修正半徑達1 600 m，由此可見擾流片高度越高，所能提供的修正能力越強。

5 結論

本文建立了帶擾流片旋轉穩定彈的動力學模型。針對帶擾流片旋轉穩定彈的工作模式，求解了旋轉彈攻角的瞬態響應和穩態響應。通過分岔計算分析了不同參數對系統特性的影響，得到如下結論：

1) 擾流片產生階躍激勵控制信號時，理論推導得到的攻角瞬態響應解具有較高的精度，與數值解較吻合，穩態解則反映了攻角在階躍激勵下擺動結束的平衡位置，且擾流片高度越高，攻角響應的幅值越大,攻角響應方向與擾流片轉角存在一個接近180°的相位差。

2) 有控狀態下，帶擾流片旋轉穩定彈的動力學系統存在兩個穩定的平衡點，其中只有一個平衡點為期望的平衡點，并反映了期望的擾流片高度范圍。因此應選擇合適的擾流片高度，既能產生所需攻角又不致彈體失穩。當擾流片轉角固定時，速度對系統穩定域影響不大；擾流片轉角變化對系統穩定域影響不大。

3) 當擾流片轉角固定時，隨著靜力矩系數導數線性項增大，期望平衡點的穩定域逐漸增大，在Hs相同條件下所能產生最大攻角幅值減??；隨著附加靜力矩系數導數線性項增大，期望平衡點的穩定域逐漸減小，在Hs相同條件下所能產生最大攻角幅值增大。

4) 當擾流片轉角固定時，隨著靜力矩系數導數立方項增大，期望平衡點的穩定域逐漸減小，系統能產生的最大攻角幅值逐漸增大；隨著附加靜力矩系數導數立方項增大，期望平衡點的穩定域逐漸增大，系統能產生的最大攻角幅值逐漸增大。