復域壓縮感知近場聲圖測量方法

陳新華， 鄭恩明， 李嶷， 楊鶴,2， 周權斌,3

(1.中國科學院 聲學研究所, 北京 100190; 2.哈爾濱工程大學 水聲工程學院, 黑龍江 哈爾濱 150001;3.中國科學院大學, 北京 100049)

0 引言

聲圖測量是一種通過聚焦波束形成方法實現近場精確定位的技術，被廣泛應用于空氣聲學、水聲學和醫學超聲領域的聲學成像技術[1-3]。為得到性能較優的聲圖測量方法，一些學者從常規波束形成線性模型到子空間分類非線性模型進行了深入研究，并提出了一些相應改善方法[4-7]。雖然子空間分類方法所得聲圖具有較高的空間分辨率，但需要事先預估目標信源個數，信噪比較低時，存在目標信源個數估計不準問題，致使子空間分類方法存在漏報或虛報目標，限制了子空間分類方法在實際工程中的應用[8-11]。

壓縮感知作為一種改變“奈奎斯特”采樣理論的新興理論，已被廣泛應用到水下目標方位估計和定位中。例如：陳力恒等[12]將稀疏陣列接收數據模型轉化為更高自由度下的單快拍接收數據模型，并結合壓縮感知模型實現了稀疏陣列波束形成；李賀等[13]基于壓縮感知和約束隨機線陣實現了目標方位估計；沈小正等[14]基于聲矢量傳感器陣空間稀疏模型和壓縮感知快速實現了小樣本條件下的方位估計；郭雙樂等[15]在水下目標定位的稀疏數學模型基礎上，結合壓縮感知理論，實現了高效的水下目標定位；時潔等[16]以壓縮感知空間目標空域稀疏性作基礎，通過構造相應的感知矩陣和觀測序列實現了聲圖測量。但受復雜海洋環境影響，采用壓縮感知進行水下目標方位估計或定位中，會存在性能下降問題，對此：康春玉等[17-18]基于壓縮感知采用單快拍數據實現了目標方位估計和信號恢復，并采用重構頻域陣列信號提升壓縮感知在目標方位估計中的性能；周明陽等[19]基于改進的高斯先驗模型提升了貝葉斯壓縮感知在目標方位估計中的性能。上述基于壓縮感知進行的目標方位估計或定位均是在頻域實現的，構造觀測序列和感知矩陣方法相似，低信噪比條件情況下，均存在一定的性能退化問題。因此，必須建立一種其他變換域壓縮感知近場聲圖測量模型方法，通過改變觀測序列和感知矩陣構建方式，提升壓縮感知近場聲圖測量對信噪比寬容性。

1 頻域壓縮感知方法

1.1 信號模型

線列陣近場信號模型如圖1所示，線列陣布放在空間x軸上，掃描平面上有K個聲源，K∈[1,M]，M為線列陣傳感器個數，圖1中展示了第k個聲源與線列陣之間的空間幾何關系，k∈[1,K]。

圖1 均勻線列陣布放示意圖Fig.1 Schematic diagram of liner array layout

圖1中：(0,0)為線列陣中心位置；1#為線列陣第1個傳感器編號；M#為線列陣第M個傳感器編號；R為聲源相對線列陣中心位置距離標識；θ為聲源相對線列陣整橫方向夾角標識；N為空間掃描點數，N?K.

如圖1所示，令K個近場聲源相對該線列陣中心位置(參考點)所在空間位置為(RK,ΘK)=[(R1,θ1),(R2,θ2),…，(RK,θK)]，則線列陣拾取數據X(f)(后續簡稱陣列數據)可表示為

X(f)=A(RK,ΘK)S(f)+V(f)，

(1)

式中：f為頻率變量；S(f)為K個聲源輻射信號，S(f)=[S1(f),S2(f),…，SK(f)]T；V(f)為線列陣拾取背景噪聲數據，V(f)=[V1(f),V2(f),…，VM(f)]T；A(RK,ΘK)為線列陣陣列流形矩陣，A(RK,ΘK)=[a(R1,θ1),a(R2,θ2),…，a(RK,θK)]；(·)T為矩陣轉置運算符。

在近場聲傳播中，a(Rk,θk)的具體形式為：

a(Rk,θk)=[e-j2πfτk,1,e-j2πfτk,2,…，e-j2πfτk,M]T，

(2)

1.2 聲圖測量原理

a(fj,(n,n))=
[e-j(2πfj/c)τn,1,e-j(2πfj/c)τn,2,…,e-j(2πfj/c)τn,M]T.

(3)

陣列數據的頻域窄帶模型可表示為

(fj)=A(fj,N,N)S(fj)+V(fj).

(4)

很顯然，A(RK,ΘK)∈A(fj,N,N)；在(RK,ΘK)位置上，S(fj)值較大，而其他位置上，S(fj)較小，即S(fj)是信號空間域的一種稀疏表示。此時，如果將(fj)作為觀測序列，A(fj,N,N)作為感知矩陣W(fj,N,N)，S(fj)為待求解稀疏系數分量，則可按壓縮感知模型通過求解如下凸優化問題實現空間信號稀疏系數S(fj)求解。

(5)

通過S(fj)計算出每個掃描點上對應的信號能量，如(6)式所示，即第j子帶的聲圖測量，且在存在目標位置(RK,ΘK)上有最大值，而無目標位置則為一個足夠小的值。

P(fj,N,N)=|S(fj)|2.

(6)

所有子帶重復上述過程，并對P(fj,N,N)累加求和，可得寬帶聲圖測量結果P(N,N)，搜索P(N,N)峰值位置即可完成對(RK,ΘK)估計。

(7)

(5)式是基于陣列數據頻域形式實現近場聲圖測量[17-18]，本文將該方法稱為頻域壓縮感知(FCS)方法。

由凸優化問題來求解過程可知，FCS方法凸優化求解過程核心步驟是根據觀測序列(fj)和感知矩陣W(fj,N,N)按S(fj)=(WT(fj,N,N)·W(fj,N,N))-1WT(fj,N,N)(fj)求解空間信號稀疏系數，該結果只是對觀測序列采用線性累加方式近似求解得到空間信號稀疏系數，未對觀測序列做相應變換處理以提高觀測序列數據所含信噪比，提升凸優化求解穩定性。

2 復域壓縮感知方法

2.1 問題解析

由FCS近場聲圖測量模型可知，利用頻域數據構建觀測序列時，只是利用各傳感器數據自身信息，并未利用各傳感器數據中信號與噪聲相關性差異特性實現處理數據所含信噪比的增強。對此，本文提出一種復域處理方法，在復域通過對各傳感器數據進行相關、累加處理，提升壓縮感知重構聲圖的穩定性，稱之為復域壓縮感知(CCS)方法。

2.2 原理分析

可得經時延補償后數據為

(8)

(9)

式中：I=[1,1,…,1].

為了實現CCS近場聲圖測量模型構建，對(9)式進行變換處理，將I作為觀測序列，P(N,N)作為待求解稀疏系數分量，則感知矩陣W(N,N)=[W(1,1)W(2,2) …W(N,N)]，W(n,n)可設計為

W(n,n)=

(10)

采用(10)式處理后，可使陣列數據相關所得結果變為與掃描位置信息有關的列數據，賦值到感知矩陣相應列中，完成感知矩陣構建。

最后，可通過求解如下凸優化問題來求解空間信號稀疏系數S(t)：

(11)

根據空間信號稀疏系數S(t)，此時可得近場聲圖測量結果P(N,N)，搜索P(N,N)峰值位置即可完成對(RK,ΘK)估計。

P(RN,N)=|S(t)|2.

(12)

2.3 能力分析

(13)

(fj)=[X1(fj),X2(fj),…，XM(fj)]T=
[S(fj)+V1(fj),S(fj)+V2(fj),…，S(fj)+VM(fj)]T，

(14)

式中：S(fj)為代表空間目標信號；Vm(fj)為第m個傳感器噪聲數據。觀測序列每個位置數據所含信噪比為

(15)

同樣，由(13)式和(10)式可知，事先將陣列信號處理引入到感知矩陣構造中，充分利用了信號噪聲之間相關性差異特性，通過對陣列數據進行相關、累積處理，可使感知矩陣各位置數據具有一定陣增益，因而CCS方法中感知矩陣每個位置元數所含信噪比為

(16)

對比(15)式和(16)式可知，通過將FCS方法中觀測序列數據移植到感知矩陣構建中，CCS方法提升了感知矩陣每個位置數據所含信噪比，改善了FCS方法對聲圖重構效果，對最低信噪比的適應性得到近10lgMdB提升。

由此可知，CCS方法與FCS方法本質區別是壓縮感知數學模型構建中對陣列數據處理方面的不同。FCS方法是直接將陣列數據作為觀測序列；然后再采用完備陣列流形或陣列某一傳感器數據形成感知矩陣；在壓縮感知模型構建中未對陣列數據之間進行相應處理。而CCS方法首先對FCS中觀測序列數據進行相關、累加等處理，即將FCS方法中觀測序列數據事先進行非線性處理，將其移植到感知矩陣構建中，即利用觀測序列各位置數據所含信號、噪聲相關性差異特性提升感知矩陣各位置數據所含信噪比；之后采用凸優化求解方法對空間信號稀疏系數求解過程進一步對陣列數據作了二次非線性處理，提升了求解空間信號稀疏系數的穩定性。

2.4 CCS方法實現

由2.3節理論分析可知，CCS方法實現流程如圖2所示，具體過程可分為如下步驟實現：

圖2 復域壓縮感知方法實現流程圖Fig.2 Flow chart of compressed sensing in complex domain

輸入：陣列數據x(t)，處理頻帶[wd,wu]，wd為處理頻帶下限，wu為處理頻帶上限，L為分幀數。

輸出：聲圖P(N,N)，目標位置估計值(K,K)。

5) 更新處理幀數據，l=l+1，重復執行步驟2至步驟4，直到l=L；

6) 對L個聲圖測量值Pl(N,N)進行累加處理，得到本次處理最終聲圖測量值：

(17)

7) 對P(N,N)進行峰值篩選，可得到目標位置估計值(K,K)。

3 數據處理分析

由于本文只討論CCS近場聲圖測量模型搭建思路，與凸優化算法無關，所以后續數據處理分析中，無論是FCS方法還是CCS方法，均采用正交匹配跟蹤(OMP)算法實現對聲圖重構。

3.1 數值仿真分析

3.1.1 單目標情況

在該仿真中首先按表1所示參數進行設置，然后采用不同方法進行處理分析。

表1 水平陣仿真參數Tab.1 Numerical simulation parameters of horizontal array

掃描平面為水平距離[20 m,100 m]、方位角度[-90°,90°]形成的區域，將該區域按掃描網格劃分，垂直方向網格間距為2 m，水平角度網格間距為1°.在最小方差無畸變響應(MVDR)方法、多重信號分類(MUSIC)方法、FCS方法和CCS方法實現中首先對單次處理數據分64幀處理，相鄰幀按半幀采樣數據重疊處理。圖3～圖5為目標信噪比(SNR)為-25～0 dB情況下，由MVDR方法、FCS方法和CCS方法通過200次獨立統計所得目標檢測概率和估計均方根誤差(RMSE).

圖3 4種方法的目標檢測概率Fig.3 Target detection probabilities of four methods

圖4 4種方法的距離估計RMSEFig.4 RMSEs of space estimation of four methods

圖5 4種方法的方位估計RMSEFig.5 RMSEs of bearing estimation of four methods

由圖3～圖5的仿真結果可知，相比FCS方法，CCS方法對最低信噪比要求上降低了8 dB，提升了壓縮感知重構聲圖穩定性，低信噪比情況下實現了對目標位置有效估計。

3.1.2 多目標情況

陣列參數、數據處理參數以及4種方法實現與單目標情況一致，目標信號為兩個等強度信號，頻帶為200～500 Hz，目標分別位于相對線列陣陣中心(40 m,-2°)和(40 m,2°)位置處。 圖6～圖8為不同信噪比情況下，由4種方法所得聲圖。

圖6 4種方法所得40 m處不同方位聲圖(SNR=5 dB)Fig.6 Output acoustic images at 40 m obtained by four methods (SNR=5 dB)

圖7 4種方法所得40 m處不同方位聲圖(SNR=-5 dB)Fig.7 Output acoustic images at 40 m obtained by four methods (SNR=-5 dB)

圖8 4種方法所得40 m處不同方位聲圖(SNR=-15 dB)Fig.8 Output acoustic images at 40 m obtained by four methods (SNR=-15 dB)

由圖6～圖8仿真結果可得：相比MVDR方法和MUSIC方法，FCS方法和CCS方法具有更窄的主瓣寬度，可對相鄰目標實現高分辨檢測和分辨；但隨著信噪比的降低，MVDR方法和MUSIC方法分辨能力下降較為厲害，在SNR為-5 dB時，MVDR方法和MUSIC方法已不能對兩目標的實現有效分辨，而FCS方法和CCS方法同樣保持著高信噪比情況下的目標分辨能力；但在SNR為-15 dB時，FCS方法所得聲圖中兩目標之間的背景級受噪聲污染比較嚴重，已無法對兩目標實現有效檢測。

3.1.3 運算量分析

由于CCS方法可事先求取所需復解析小波，所以影響CCS方法運算量主要因素為復解析小波函數與陣列數據卷積運算、協方差矩陣求取以及OMP求解，FCS方法的運算量主要在于傅里葉變換、協方差矩陣及其求逆運算以及OMP求解，由于FCS方法和CCS方法都有OMP求解過程，后續兩種方法計算復雜度比較過程不再將OMP求解過程考慮進去。

3.2 海試數據分析

本次處理數據由進行近場目標定位試驗所得，相關參數如表2所示。

表2 水平陣數據處理參數Tab.2 Parameters of processing data

水平陣布放示意圖如圖9所示，在小于100 m、-90°～90°范圍內，存在兩個近場目標，兩個目標輻射信號頻帶主要為200～500 Hz.掃描平面為水平距離[20 m,100 m]、方位角[-90°,90°]形成的區域，將該區域按掃描網格劃分，垂直方向網格間距為2 m，水平角度網格間距為1°.在該處理數據時段，目標1相對水平陣中心位置(52 m，-16°)附近處，目標2相對水平陣中心位置(68 m，-9°)附近處。

圖9 陣列布放示意圖Fig.9 Schematic diagram of array layout

4種方法處理過程與3.1.1節數值仿真一致。圖10～圖13為4種方法所得某一時聲圖。

圖10 MVDR方法所得聲圖Fig.10 Output acoustic image obtained by MVDR method

圖11 MUSIC方法所得聲圖Fig.11 Output acoustic image obtained by MUSIC method

圖12 FCS方法所得聲圖Fig.12 Output acoustic image obtained by FCS method

圖13 CCS方法所得聲圖Fig.13 Output acoustic image obtained by CCS method

由圖10～圖13所示結果可知：MVDR方法和MUSIC方法背景級較高，顯示效果較差，影響最后目標位置估計；FCS方法受信噪比影響比較嚴重，主要原因在于采用FCS模型構建觀測序列時，其穩定性差于經過多個時域采樣點數據相關處理后數據，在低信噪比下，再采用凸優化進行空間信號稀疏系數求解所得結果穩定性不如高信噪比下穩定，容易致使其他位置處出現虛假目標；而CCS方法所得聲圖能清晰顯示兩目標位置，且目標方位明晰可辨，背景級遠低于另外3種方法，該現象進一步說明了通過對復域數據進行相關、累加處理，提升了基于壓縮感知模型的近場聲圖測量性能。

實測數據處理結果再次驗證：CCS方法通過對陣列數據進行復解析變換和數據相關處理，在低信噪比下對目標位置實現了有效估計。

4 結論

針對FCS近場下降的問題，本文從觀測序列和感知矩陣構建方面入手，通過對壓縮感知觀測序列進行相關、累加預處理，將觀測序列數據移植到感知矩陣構建中，并根據目標在空間域的稀疏性，構建了復域壓縮感知凸優化模型，實現了CCS近場聲圖測量。

本文方法的關鍵是采用相關、累加處理對陣列數據進行預處理，構建感知矩陣和凸優化問題，得到了具有更高信噪比的感知矩陣，保證了后續聲圖測量方法性能提高。數值仿真和實測數據處理結果均證明了CCS方法在聲圖測量方面的有效性，待別是在弱目標檢測方面明顯優于FCS方法。

另外，可以預見，如果進一步采用改善FCS的方法來改善CCS方法，則CCS方法的聲圖測量性能也將會進一步得到改善，這也是后續需要進一步研究的問題。