面向增材制造的宏微結構一體化設計方法

肖人彬 張彪 吳紫俊

摘要 針對面向增材制造的多尺度結構設計微結構之間材料連通性及尺度關聯的問題，本文提出了基于自定義構型的子結構代理優化模型的宏微結構一體化設計方法。在該方法中，假設宏觀結構由多個子結構構成，其子結構構型由相對密度等參數控制。利用設計域劃分時子結構與宏觀尺度比例關系，實現宏微結構尺度關聯設計。在優化過程中，以子結構相對密度為優化設計變量，構建了以系列子結構為基礎的自定義構型的微結構樣本，設計了基于分段樣條插值的代理優化模型，結合傳統的優化準則建立了模型增材制造的宏微結構一體化設計框架，分析了代理模型的變量靈敏度及優化計算效率。通過計算實例，驗證了所提方法的可行性及其所設計構型的可制造性。

關 鍵 詞 微結構連通性;代理模型;多尺度優化;樣條插值;增材制造

Abstract This work presents an integrated design method for multiscale structure in additive manufacturing to solve the problem of material discontinuity and scale separation among microstructures. In this proposed method， the macrostructure is assumed to be composed of substructures with a self-defined lattice geometry pattern with different densities. The strict proportional relationship between macrostructure and microstructure is defined on the basis of the substructure theory in FEA. In the process of optimization， the density of substructure is taken as the design variable. And a surrogate model is built with the cubic spline interpolation method to map the density to the super-element stiffness matrix in the micro scale. The substructure-based optimization framework is established on the Optimality Criteria （OC） and the efficiency of the proposed model is demonstrated. An example of beam is given and the connectivity among microstructure is verified.

Key words microstructure connectivity; surrogate model; multi-scale optimization; spline interpolation; additive manufacturing

0 引言

宏微結構是由系列特定構型的細微觀單胞根據一定規律在物理空間中組合而成、兼具承載等多功能特性的多尺度結構，已在現代航空航天、汽車制造、醫學等領域得到高度關注[1]。其超輕量化、高比強度和高特定剛性等力學特性[2]，對于推動高性能裝備發展、支撐裝備結構產品性能升級具有重要作用。已發展了密度投影法[3]、大規模桿梁法[4]和材料結構一體化法[5]等設計方法，實現了理想粘彈性微結構[6]、負泊松比結構[7]等高性能結構的設計。Zhao等[8]提出了一種強解耦靈敏度分析方法，采用模態疊加和模態降階相結合的方法進行宏微結構頻響分析。Zhang等[9]提出了由梯度微結構組成的蜂窩復合材料頻率響應多尺度優化方法，通過Kriging元模型預測微結構的有效性質，利用準靜態Ritz矢量法分析宏觀結構的有效頻率響應。黃毓[10]詳細研究了多種典型微結構的帶隙性質及其彈性波局部衰減特性，分析了微觀結構拓撲構型對帶隙性的影響。Liu等[11]基于SIMP和水平集法提出了一種高效的拓撲優化方法，設計了基于不同粒度網格的宏微結構設計并行計算框架。Xia等[12]結合均勻化方法和并行計算方法，通過正交分解與擬合方法構建微結構代理計算模型，建立了線上線下的宏微觀結構耦合設計方法。Wu等[5]基于子結構自由度凝聚方法，設計了基于自定義微結構構型優化代理模型的宏微結構計算框架，并把該方法應用到了一階頻率最大化的結構設計中[13]。Kumar等[14]提出基于譜分解的多尺度結構設計方法，利用特征值回歸和特征向量方向插值，確保了宏微結構性能設計方法的計算精度和效率。

但由于多胞結構的幾何復雜度和增材制造工藝的限制，面向增材制造的多胞結構設計已成為拓撲優化設計領域的難點[8]。考慮制造的結構拓撲優化設計方法是在現有的多尺度結構設計方法中增加增材制造工藝約束[16]，把結構的尺寸、連通性、自支撐性等制造約束內化成為優化設計變量之間的相互關聯關系[17]，實現“設計即制造”的結構設計。由于尺寸控制的結構拓撲優化方法相對成熟[18]，目前研究工作主要集中基于增材制造的連通性和自支撐結構設計方面。

結構連通性是避免結構內形成封閉內孔并提高單胞間材料連接性的約束，目前結構連通性設計主要集中在以下兩個方面：一方面是為了避免封閉內孔中未熔融粉末或支撐結構影響結構性能的無內孔設計方法，如虛擬溫度法[19]、基于圖論的連通性結構設計方法[20]、自由特征驅動的連通性設計方法[21]等;另一方面是提高相鄰微結構的材料連通性，避免力傳遞路徑不連續影響結構性能的設計方法，如含邊框的微結構連接性設計[22-23]，預定義微結構連接頭的連通性設計[24]、預定義微結構構型的連接性設計[25]、微結構連接邊界再優化[26]、基于均勻化的構型幾何映射[27]等。這些結構連通性設計方法已解決材料在設計空間的連接性問題，為在制造約束下的多胞結構設計提供了理論參考。

結構自支撐是通過調整懸空結構的傾斜角度或填充微結構，使結構加工成型過程中不需要額外輔助成型支撐的約束。自支撐結構設計提高了材料利用率，節省了結構加工完成后的后處理時間成本，避免了因去除支撐結構而破壞結構實際性能[28]。自支撐結構的拓撲優化設計方法有45度原則法[29]和基于桁架連接的設計方法[30]等。45度原則法，即在結構設計過程中將懸挑角小于45度角的幾何特征進行優化[31]，使結構內所有幾何特征的懸挑角不小于45度。由于材料性能不同，在多尺度結構設計中基于45度原則的自支撐結構設計方法的適應性較弱。

為解決宏微結構設計中，微結構之間的連通性問題，本文基于子結構優化代理模型優化方法ARSP，提出了面向增材制造的微結構材料連通性設計方法，并通過增材制造設備試制了所設計的模型，結果表明所提出的方法可較好解決微結構設計連通性問題。

1 基于子結構的優化代理計算模型

1.1 基于子結構微結構構建

為構建不同構型的微結構，本文利用子結構內部節點凝聚到其邊界的特點，根據特定構型自定義一些列的微結構，并建立微結構的相對密度[ρi]與每個微結構的映射關系，如圖1所示，相對密度范圍為[0≤ρi≤1]。

1.2 基于子結構的連續密度代理計算模型

由式（6）可得不同密度下的系列剛度矩陣[K*sub（ρi），0<ρi≤1，i=1，…，m]。在圖1中，定義孔洞時只能設定該單元是否有材料，因此該相對密度為離散變量。為了獲得連續密度下的剛度矩陣，把[N]個剛度矩陣看作為一個樣本，并寫為列矩陣的形式[[k*1，…，k*m]]，通過插值的方式構建剛度矩陣代理模型：

2 基于代理計算模型的拓撲優化

2.1 優化問題定義

2.2 靈敏度計算及變量迭代

2.3 基于子結構的拓撲優化框架

根據子結構及其代理模型的構建，結合拓撲優化方法，本文所提的基于子結構的代理模型構建方法由3個部分組成：子結構化、樣條插值和密度懲罰。其建立過程如表1所示。

該方法的計算框架如圖2所示。左邊部分為代理模型建立過程，獲取超單元信息即為得到宏觀結構的網格劃分和子結構大小。右邊部分為宏觀結構優化框架，在宏觀結構分析中引入代理計算模型，實現宏微結構一體化設計。

3 數值算例及分析

文獻[5]中，由于POD方法截斷誤差以及需要計算整個矩陣樣本空間的特征值，其計算精度和計算效率存在相離的情形：截斷誤差越小需要消耗更多的計算資源。由于調整POD的保留模態階數可以使其計算精度與樣條插值方法保持一致，因此本文中，在POD方法中，對于2種構型子結構均保留了4階模態使其截斷誤差均小于10?15。本文不再對2種方法計算精度進行分析，而是分析其計算效率。2種方法在構建整體剛度矩陣過程種所消耗的時間如表2所示。

表2列出了整體剛度矩陣的平均構建時間。由于在同一種插值方法下2種構型的子結構構建剛度矩陣方法相同，其所消耗時間基本相同。經過分析可知基于樣條插值的代理模型的計算效率是POD方法的1.37倍。由于基于POD的插值方法構建剛度矩陣的過程中，需要根據相對密度先對POD映射系數進行插值，利用保留模態獲得相應密度下的剛度矩陣。而基于樣條插值，則直接對剛度矩陣樣本進行分段插值。省略了映射系數的計算過程，因此可減少計算時間的消耗。

在POD和樣條插值2種矩陣擬合方法中，POD首先對剛度矩陣樣本進行特征值分解后計算保留模態階數的相對誤差，并根據保留模態階數和特征向量，重構任意相對密度下的微結構剛度矩陣;而基于分段樣條插值的剛度矩陣擬合中，不再計算樣本剛度矩陣的模態和截斷誤差，而是直接利用樣本剛度矩陣的樣本點直接擬合，從而直接獲得擬合的任意密度下的剛度矩陣，其矩陣重構方法更為直接，減少了截斷誤差的計算過程，使得分段樣條插值的計算效率要高于POD方法。

在優化過程中，優化步長設置為0.1，當2次迭代的目標函數值差值小于0.001時所獲得優化結果即為最優構型。為了驗證所提出的剛度矩陣重構方法的有效性，本文在該算例計算過程中，設置懲罰因子分別為1，2，3，靈敏度過濾半徑設置為所劃分子結構大小的1.1倍。在這些條件下獲得優化構型如圖5和圖6所示。

從優化結果中，可推斷出：相同數目的子結構，優化時所選擇的子結構構型不同，其最終的優化拓撲構形也不同。根據文獻[19]可知，對于同種子結構構型，優化拓撲構形與子結構劃分數量無關。在圖5a）和圖6a）情形下，由于懲罰因子為1，優化拓撲結構中存在大量中間密度子結構，沒有明顯的桿系結構特征。為了得到更為精細的局部結構特征，在此把懲罰因子設置[p=2]和[p=3]。所獲得宏觀結構沒有出現棋盤格現象。

隨著懲罰因子的增大，其中間密度的微結構數目變少，當懲罰因子為3時，在構型A下所獲得的宏觀構型中的微結構的相對密度接近于1，變成了實體結構，在構型B下的優化構型中，密度接近于1的微結構外圍均覆蓋密度較小的微結構。

從兩類子結構下的目標函數可以看出，構型B的子結構所優化出的結構柔度值略小于基于構型A的柔度值，表明具有更好的性能。從優化結果看，由于構型B下獲得的優化構型中密度較大的微結構均覆蓋密度較小的微結構;而構型B下的宏觀結構，由于懲罰因子的增大，其桿特征均只含有一個微結構，且只有微結構的一條棱邊連接，其微結構間連接的強度較弱。從制造角度看，構型B下所得到的優化結果均具有良好的材料連通性，更適合于制造;構型A下所獲得構型，當懲罰因子增大時其所獲得構型的制造性變差，因此在考慮構型制造的宏觀結構設計中，盡量避免選取A構型的微結構。

在相同的優化參數下，把設計域細化為[N1×N2×N3=30×15×3]個子結構，基于構型A和構型B的優化結構分別如圖7和圖8所示。

從優化結果來看，基于構型B的微結構所優化的結構的柔度值均小于構型A，這是由于構型B具有可變的內部結構，而構型A的內部結構為孔洞，無法通過改變微結構內部構型獲得性能更優的微觀結構。即內部結構單一的構型A喪失了一部分優化設計空間，其靈活性沒有構型B高。

與此同時，通過與圖4、圖5的優化構型對比，可以發現：在宏觀設計域的子結構劃分中，所劃分的子結構數越多，其構型越復雜。若在z向劃分為3個子結構，獲得的設計構型的空間特征更為明顯，不再是圖4和圖5中的2.5維的類三維結構。但宏觀設計域的子結構劃分數目越多，優化構型的柔度值會增大，由于此時可獲得更為明顯的三維構型，需要更為嚴格的優化條件進行結構設計，如圖7c）所示，宏觀結構頂部會多出一部分構型。

由于宏觀設計域子結構劃分的數目增多，在這2類微結構構型A和B下，所獲得的優化結構構型具有良好的連通性，尤其是構型A下的宏觀結構，當懲罰因子增大時其宏觀桿系特征不再是只含有一個子結構，微結構的連接也是微結構之間的面連接，確保了所優化宏觀結構的材料連通性。然而，對于構型B，當懲罰因子增大時，其所示設計宏觀結構更為復雜，如圖8c）所示。

利用光固化打印機object30 pro，制造出圖5與圖6中的懲罰因子p=1時的優化結果，如圖9所示。為了節省打印時間，一次打印出來了2個模型，并采用的是“啞光”模式，其實際制造的宏觀結構被支撐材料包裹。

從制造的模型中可看出，兩類構型微結構的材料連通性較好，有效保證了宏觀結構連續力傳遞路徑。在除去支撐材料的時候，如圖10所示，由于相對密度較小的微結構內所含有的幾何特征較小，尤其是分布在宏觀結構外圍的微結構，由于微結構內部的桿系較細，其結構強度弱，在除去支撐材料的時候，很難保證不損傷制造構型。因此，對于該方法所設計的構型，在利用考慮增材制造對構型進行制造時，需要進一步考慮提升其相對密度小的微結構的結構強度性能。

4 結論

本文利用分段樣條插值和子結構方法，提出了基于自定微結構構型的優化代理模型，由于自定義微結構構型確保了微結構間的連接邊界，使得所設計的宏觀結構具有良好的材料連通性，更具有可制造性。利用分段樣條插值，直接擬合剛度矩陣樣本，避免了因POD方法的模態設計而引起的截斷誤差，使優化構型更精確，剛度矩陣擬合的計算效率更高。從優化結果來看，在兩類自定義微結構構型下，隨著懲罰因子的增大，其宏觀構型的桿系特征越明顯，相對密度接近于1的微結構數目也越多;同時，當設計域劃分的子結構數目越多，其宏觀結構的柔度值越大，但宏觀結構基本相同。最后，利用光固化打印機對所設計的構型進行了制造，試驗表明所提的方法設計的結構具有良好的可制造性，為面向增材制造的宏微結構拓撲優化設計提供了新的思路和方法。

盡管所提方法可解決面向增材制造的宏微結構一體化設計中的材料連通性與尺度關聯問題，但還有以下幾個方面需要進一步研究。1）子結構內節點數與子結構剛度矩陣的映射關系。在構建微結構優化代理模型過程中，由于微結構剛度矩陣的擬合重構效率得到了較大提高，盡管對于宏觀結構的優化效率有積極作用，但當宏觀結構中子結構劃分數目增多時，仍然曾在效率低下問題。這是由于單個微結構的剛度矩陣規模較大，當宏觀結構子結構數增多時其對應的整體剛度矩陣規模更大，當宏觀子結構數劃分超過30×15×3時，每一個迭代步的計算時間超過120 min，因此需要進一步研究子結構凝聚與對應剛度矩陣映射關系，采用規模較小的等效剛度矩陣進行宏觀結構設計。2）微結構性能與增材制造工藝約束之間的映射關系需要進一步研究。受制于增材制造工藝，微結構的設計性能與制造性能之間不完全匹配，如細小桿件、支撐結構等，需要從增材制造工藝方面做進一步的探討。

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