徜徉在數學的無邊海洋
——記香港城市大學數據科學學院副院長、劉璧如數學科學研究中心主任周定軒

戶 萬

數學對于很多人來說，或許是一門“枯燥難懂”“高深莫測”的學科。香港城市大學講座教授、數據科學學院副院長、劉璧如數學科學研究中心主任周定軒卻將其視為讓自己畢生快樂的源泉。函數論、小波分析、學習理論、深度學習的數學理論……在近40年的時間里，周定軒執著于“熱愛自己的熱愛”，他徜徉在數學的無邊海洋里，馳騁在科研的無盡道路上，懷著對數學的赤子之心，解決了一個又一個數學猜想，完成了一次又一次從應用到數學理論的升華。

立志成為“了不起”的數學家

1967年，周定軒出生于浙江紹興市，盡管在農村家庭長大，但聰明好學的周定軒從小就喜歡數學，立志長大后要做一名數學家。“我喜歡做數學題的過程，坐在那里慢慢地思考、重新規劃，把一個非常復雜的問題弄成一個很簡單的問題。”在周定軒看來，數學與科學和文學一樣，是人類文化的瑰寶。

周定軒（左一）隨張信剛校長（左四）率領的訪問團訪問歐洲六國

20世紀70年代的浙江，農村小學師資力量仍十分薄弱，幾個年級常混在一起上課，同一個老師給一、二年級的學生上完課，然后再給三、四年級的學生上課。有一次，數學老師上完課后布置作業，先讓四年級的學生回答題目，但幾天下來，四年級的學生還是未能回答出，而上二年級的周定軒卻都回答出來了。對于數學，周定軒一直有著自己的執著。讀小學三年級時，老師將周定軒的一道數學題目批改錯了。晚上睡覺前，他跟父親說了這事，父親不相信，認為老師應該是對的，但周定軒堅持自己的想法，他拿出試題重新查對，結果證明他是對的。1984年，周定軒上高三，正逢浙江大學在“文革”后首次招收32名保送的學生，他們挑遍了十幾所浙江省內的重點高中，作為紹興一中的年級第一名，周定軒順利被保送至浙江大學數學系。

數學系仿佛從來都是大學里一座孤獨的城堡，數學系的學生也通常被視為“異類”，他們聰明、低調，卻又充滿神秘。20世紀80年代的中國，對于數學系學生有著更高的期待。對這群“最聰明的人”，高校在學科培養上也更加嚴格。在大學的殿堂里，周定軒終于找到了自己的人生坐標，他把陳省身、丘成桐視為學習榜樣，對數學近乎癡迷，做一個“了不起的數學家”成為扎根在他心里的夢想。在名師的指導下，他如饑似渴地學習著數學。有一些課程，他提前參加考試并通過之后，就用其他的多余時間去鉆研更為艱深的數學問題。

扎實的積累使得周定軒在本科階段就嶄露頭角，在《數學研究與評論》雜志發表了一篇抽象代數相關的研究論文。“當時老師讓我們讀一篇有著創新概念的論文，這個創新能夠幫助理解環的結構，但我讀了之后卻不是很理解。”有一天掃地的時候，周定軒突然萌生了一個想法，可以證明那個概念存在的范圍很窄，他進而得出了一個反面性的結論。在老師的鼓勵下，周定軒就這樣寫下了自己在數學研究領域的第一篇論文。“一路走來，我都是很幸運的，因為碰到了很多好老師。在大學，我最大的收獲是能夠將學習過的數學講出來，把數學和語言統一起來。”周定軒說。憑借多年積累，到碩士博士研究生階段，僅用了3年，周定軒就拿到了博士學位。在此期間，他還用自己出色的科研功底，解決了一位加拿大數學學者提出的一個逼近論猜想。

從函數逼近論，到小波分析和調和分析，再到小波分析和多元逼近論，周定軒的數學之路步步深入，他的步伐也從浙江走到北京，從北京飛到德國，又從德國轉到加拿大。1991年，周定軒在浙江大學應用數學系博士畢業后，導師希望他能夠留下，但是，周定軒卻有了更遠大的目標，他受邀到中國科學院數學研究所進行博士后研究。1993年，他又獲得了國際上聲譽極高的“洪堡”獎學金，應邀到德國進修。“洪堡”獎學金一般只給予那些極富才能且有望將來在其本土成為研究領域領導人的青年學者，每年全世界只有600人獲此殊榮。最讓他開心的是，可以和世界上的名家一道開展數學研究。在德國進修的兩年時間里，周定軒又解決了另一位國際學者提出的關于箱樣條的猜想，由此獲邀赴加拿大進行博士后研究。

接受湯森路透代表頒發的“高被引科學家”證書

對于屢次解決業內頂尖數學家提出的猜想，周定軒卻從未驕傲，在他看來，“這并不能稱之為了不起，只能說是功夫還可以”。那個時候，周定軒的目標是自己提出一個方向，讓別人跟著做。隨著研究的深入，他逐漸將自己的研究領域轉向調和分析，這是現代核心數學的重要組成部分之一，其思想和方法幾乎滲透到數學的所有領域。自20世紀70年代以來，現代調和分析在理論上有許多突破性的進展，調和分析理論上的進展對偏微分方程、多復變函數論、小波分析等領域的發展產生了深刻影響。在國外4年的博士后研究讓周定軒受益匪淺，經過持續不斷的努力，他在相關領域的學術積累突飛猛進，學術研究論文多次發表在國際著名期刊上，收獲了不錯的反響。

從應用到理論研究的重大突破

1996年，周定軒放棄了美國知名大學的工作邀請，來到了即將回歸祖國的香港，到香港城市大學數學系任教。對于周定軒來說，香港城市大學是一個完全陌生的環境。一個內地城市成長起來的學者，要在香港的大學立足，需要付出比常人更多的努力。剛開始的時候，香港城市大學給他開出的是一個3年期的合同，職位不高，工資水平也低。但應承下來之后的周定軒卻完全沒有“后悔”的概念。盡管合同年限短，但好處是教學量減半，周定軒有更多的時間做研究。時任香港城市大學數學系主任曾對他說，學校考察人的標準只有一個，那就是學術聲譽。利弊都清楚地擺在眼前，周定軒所能做的，就是朝著自己的學術目標不斷前進。

機會也總是垂青有準備的人。周定軒到香港城市大學深入研究一年多后，就解決了美國科學院院士、工業與應用數學學會主席Gilbert Strang有關小波分析的疑難問題，與數學界最高獎項菲爾茲獎獲得者Stephen Smale合作發表的有關學習理論的一系列論文也在國際上引起了學術界的轟動。

Strang教授曾給周定軒出了一個問題，他憑借自己多年的經驗，幾經驗證，在幾天內就解決了這一問題，獲得了對方的高度認可，兩人由此展開了多個研究項目的深度合作。在研究文章的寫作上，周定軒也深受對方的影響。“我記得很清楚，有一次我去麻省理工訪問他的時候，我們合作寫一篇文章，他說我們這篇文章寫得太長了，他說你應該leave something for graduate students，就是不能把自己能做的都做完，一些比較簡單的東西，文章里只列一個框架性的東西，留給研究生做就行了。”這句話對周定軒的觸動很大，也讓他更加清楚該如何帶自己的學生。

1999年，周定軒開始就機器學習的數學理論進行鉆研，他與這一領域的頂尖專家進行了深入合作，并逐漸在國際上建立了機器學習數學理論的基礎。從事機器學習和深度學習的數學理論并不容易，剛開始甚至被人誤認為是研究學生該“如何學習”。“我讀書的時候研究的是逼近論，去了國外之后開始做小波分析，到了香港之后開始就慢慢做機器學習的數學理論，最近六七年就做深度學習的數學理論。”周定軒說。

從機器學習的數學理論轉向深度學習的數學理論，源自在德國舉行的一次計算機科學方向會議。一位意大利學者向周定軒建議，深度學習在計算機視覺等領域非常熱門，但當時完全沒有數學理論，且對這一領域有些指導意義的相關經典理論都比較艱澀難懂，希望周定軒能填補這一空白。“我回來之后好好地搜索了一下有關的論文，這里面明顯有很多數學問題需要解決，而當時已經做出來的還很少。”周定軒說，特別是關于如何搭建起深度學習的理論框架，他花了四五年時間進行了比較深入的思考，并在最近兩三年里寫了一系列深度學習理論的研究論文。

深度學習不像純粹的數學猜想一樣，一個人可以慢慢研究，很多人甚至把它形容為一個勞動密集型研究，需要用大量的博士生或者博士后去編程序，嘗試各種各樣的算法。深度學習提供了各種模型和算法來像生物神經系統或神經反應一樣有效地處理數據。它基于深度神經網絡結構，這些結構為在實際應用中獲得數據特征和功能表示帶來了必要的工具。

比如在自動駕駛過程中，車輛相機和傳感器拍攝了多張照片，計算機視覺智能系統要很快地進行判別是否存在危險。深度學習在語音識別、計算機視覺等領域取得了快速發展，但其理論體系遠遠落后于成功的應用。原因是30年前發展起來的經典神經網絡理論只局限于全連接神經網絡，無法解釋深度卷積神經網絡等帶有結構的神經網絡所產生的深度學習方法的強大學習或泛化能力。由于深度學習在各種實踐領域的成功應用，人們非常需要為結構化深度神經網絡建立一個堅實的理論基礎，從而為深度學習在更多實際領域的應用提供理論指導和設計方法。

近年來，周定軒在這一領域取得了諸多重大突破，他證明了一個深度卷積神經網絡是普適的，這意味著當神經網絡的深度足夠大時，它可以用來以任意的精度逼近任何連續函數。“這回答了深度學習理論中的一個開放問題。我們的定量估計，嚴格地根據要計算的自由參數的數量，驗證了深度卷積神經網絡處理大維數據的效率，也證明了卷積在深度中樞神經網絡中的作用。”

為了克服對卷積引起的寬度線性增大的網絡進行理論分析的困難，周定軒引入了一個下采樣算子來減小復雜度，證明了下采樣的深度卷積神經網絡可以很好地學習脊函數，這暗示了這些結構化網絡在學習或建模方面的一些優勢。他和團隊還證明了任何多層全連接神經網絡的輸出可以由一個帶有同階自由參數的下采樣深度卷積神經網絡來實現。他們通過給出流形上的函數逼近定理，證明了深度卷積神經網絡可用于學習數據的流形特征。

如今，周定軒正帶領團隊繼續從事深度學習的研究，運用神經網絡處理信號跟圖像。與此同時，針對處理自然語言這一更為復雜的領域，他也致力于開發處理自然語言的深度學習算法，并將相關的研究數學化、理論化。

但行其事，莫問前程

從3年期的合同制研究助理教授，到擔任香港城市大學數學系系主任、講座教授，周定軒用成果證明了自己的實力，也贏得了業界的尊重。如今，周定軒還擔任著劉璧如數學科學中心主任及新組建的香港城市大學數據科學學院副院長，也曾兼任香港研究資助局（RGC）理科組專家成員。除了活躍于香港各類學術活動，周定軒參與組織了內地、國外多種學術會議，包括計算調和分析系列國際會議和德國黑森林數學研究中心的學習理論與逼近系列工作坊。2014年至2017年，他被評為高被引科學家之一；2021年，他被斯坦福大學評為世界前2%的科學家。

對于自己近年來在國際數學界取得的成就，周定軒用打趣自己來回應，他說自己是“后勁足”，雖然“起跑比別人慢，但未必就一定會落后”。近年來，周定軒在國際核心數學期刊上，發表了100多篇SCI論文。

周定軒任職的香港城市大學劉璧如數學科學研究中心成立于1995年，首任主任為加拿大皇家科學院院士王世全教授。20多年來，劉璧如研究中心致力于推動具世界頂尖學術水平的應用數學及計算數學的研究和發展，如今已經成為具有一定領導地位的亞太區數學研究中心。該中心經常邀請來自世界各地的著名學者交流訪問，同時定期舉辦國際性的學術會議、工作坊、座談會等，并積極深入探討及解決市場上如工業及金融領域中涉及數學及計算的難題。2008年，該中心設立了William Benter應用數學大獎，授予世界杰出的應用數學家，以表彰其研究成果對科學、商業、金融、工程學等方面的重要影響。與此同時，劉璧如數學科學研究中心也是世界一流的數學學術期刊Analysis and Applications的創辦者和編輯部所在地，該期刊過去5年的影響因子高達1.835。

“劉璧如數學科學研究中心主要從事應用數學的研究，既包括由好奇心驅動的問題，又有具強烈應用背景的研究課題，比如做統計就跟數據有關，做金融技術就跟金融有關，研究中心接觸的是方方面面的應用數學，屬于香港城市大學一級的研究中心。”身兼劉璧如數學科學中心主任一職，周定軒對該中心在應用數學研究領域所展現出來的巨大推動潛力充滿了期許，所以即使再忙，他都會帶領團隊全力以赴。

除了與國外專家學者開展數學科研上的合作外，周定軒還依托與內地高校的合作研究資源，獲得了國家自然科學基金委與香港研究資助局的支持。此外，他與中國科學技術大學、復旦大學、中山大學、武漢大學等內地知名學校連續多年開展博士生的聯合培養，不少學生已經成為知名大學的正教授或副教授。

“學生其實對我影響很大，作為一個團隊，我們可以一起把事情做好。我覺得除了科研，教授對學生有兩種貢獻：一種是做好的榜樣，一種是給他們指導。上課很重要，要用心教，教不好怎么能當教授呢？”周定軒會把學生當成是自己的朋友和戰友，這樣的相處方式其實源于他在浙江大學讀書時的導師郭竹瑞教授帶給他的影響，“導師對我的培養極其用心，無論是科研上還是生活上，關心無微不至”。如今，周定軒也希望給自己的學生帶去同樣的感受。

“我記得在浙大讀書的時候，每個星期六導師就帶我去爬山，一邊爬山一邊聊數學，爬完山就去他家吃飯。要知道，那時候學生窮，在食堂的伙食也不太好，師母就煮飯、燒菜給我吃，幾乎每周如此。直至今日，我為人師多年，卻也無法做到像導師一樣，但我還是會將導師當成自己的榜樣，對學生提供盡可能多的關心和幫助。”

在科研上，周定軒認為作為導師要給學生建立信心信念，同時倡導要給學生多一些靈活性，這樣的方式深受學生喜愛。在香港城市大學，學生給周定軒授課的評分一直很高。也有很多學生會給他評語稱“謝謝你教這門課”。他時常會用自己的經歷去鼓勵學生“數學研究需要能挨，挨過最艱苦的時候，就能迎來曙光”。“做數學研究，是但行其事，莫問前程，干自己喜歡的事情本身就是一種享受。”周定軒說。