借助一元二次方程 感受數(shù)學(xué)模型魅力

文／呂 雯

縱觀“一元一次方程”“二元一次方程”“分式方程”“一元二次方程”等內(nèi)容，我們要學(xué)會的其實(shí)是一種數(shù)學(xué)方法——數(shù)學(xué)建模。一元二次方程是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的條件，更是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，還能解決生活中經(jīng)常遇到的問題。從每年的中考數(shù)學(xué)試卷中，我們都能看到一元二次方程實(shí)際應(yīng)用的身影。下面，就讓我們一起來歸納探討。

一、增長率問題

例1（2021·江蘇鹽城）勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學(xué)校加大投入，建設(shè)校園農(nóng)場，該農(nóng)場一種作物的產(chǎn)量兩年內(nèi)從300千克增加到363千克。設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x，則可列方程為________。

【解析】可先表示出第一年的產(chǎn)量，那么第二年的產(chǎn)量×（1+增長率）=363。把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解第一年的產(chǎn)量為300×（1+x），第二年的產(chǎn)量在第一年產(chǎn)量的基礎(chǔ)上增加x，為300×（1+x）×（1+x），則列出的方程是300（1+x）2=363。

【點(diǎn)評】本題考查平均變化率問題，解題的關(guān)鍵在于理解平均變化率。若設(shè)變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a（1±x）2=b。

二、銷售問題

例2（2021·山東煙臺）直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活。某電商在抖音上對一款成本價為40 元的小商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件60 元銷售，每天可賣出20 件。通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品售價每降低5 元，日銷售量增加10件。

（1）若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應(yīng)定為多少元？

（2）小明的線下實(shí)體商店也銷售同款小商品，標(biāo)價為每件62.5 元。為提高市場競爭力，促進(jìn)線下銷售，小明決定對該商品實(shí)行打折銷售，使其銷售價格不超過（1）中的售價，則該商品至少需打幾折銷售？

【解析】（1）根據(jù)日利潤=每件利潤×日銷售量，可求出售價為60 元時的原利潤。設(shè)每件售價應(yīng)定為x元，則每件的利潤為（x-40）元，日銷售量為20+=（140-2x）件。根據(jù)日利潤=每件利潤×日銷售量，得（x-40）（140-2x）=（60-40）×20，即可得出關(guān)于x的一元二次方程x2-110x+3000=0，解得x1=50，x2=60，取較小值即可。

（2）設(shè)該商品需要打a折銷售。由題意得，解得a≤8，即該商品至少需打8折銷售。

【點(diǎn)評】這是一個生活中常見的銷售類問題，解題的關(guān)鍵在于從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型。通過方程模型的建立，我們能更好地感受到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，同時增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識。

三、面積問題

例3（2020·貴州遵義）如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm 的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒。若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，設(shè)剪去小正方形的邊長為xcm，則可列方程為（ ）。

A.（30-2x）（40-x）=600

B.（30-x）（40-x）=600

C.（30-x）（40-2x）=600

D.（30-2x）（40-2x）=600

【解析】設(shè)剪去小正方形的邊長是xcm，則紙盒底面的長為（40-2x）cm，寬為（30-2x）cm，根據(jù)長方形的面積公式，結(jié)合紙盒的底面積是600cm2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程（30-2x）（40-2x）=600。

【點(diǎn)評】本題考查用含有x的代數(shù)式表示長、寬這些量，感受用字母表示量的思想，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程。

四、球賽問題

例4（2020·廣西桂林）參加足球聯(lián)賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行兩場比賽，共要比賽110 場，設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意，下面列出的方程正確的是（ ）。

【解析】設(shè)有x個隊(duì)參賽，每兩隊(duì)之間都進(jìn)行兩場比賽，共要比賽110 場，可列出方程x（x-1）=110。

【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，我們可以根據(jù)總比賽場數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解。

數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。如何學(xué)好數(shù)學(xué)？這就要求我們要會用數(shù)學(xué)的眼光從生活中捕捉數(shù)學(xué)問題，自主運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析生活現(xiàn)象，將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，從而解決生活中的實(shí)際問題。那么，在運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的過程中，我們應(yīng)找出問題中的已知量和未知量，分析數(shù)量之間的等量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，列出符合題意的方程，同時不忘檢驗(yàn)方程的解是否合理。這樣，問題便能迎刃而解，同時學(xué)習(xí)的知識也能形成體系。