彈珠與分油問題

謝曲波

“爸爸，你聽說過韓信立馬分油的故事嗎？”瑞瑞一進家門，書包還沒有放下，就向爸爸發問。

“嗯……這個故事，我沒聽說過。”爸爸假裝沒有聽過，他最近經常用這一招，“你能講給我聽聽嗎？”

“好吧……”瑞瑞似乎識破了爸爸的偽裝，不過他想了想，還是繼續說了下去。

韓信分油

“有一天，韓信在經過一個集市時，遇見一位賣油的老人正在與顧客爭吵。他一打聽，原來是這么回事：顧客想買5斤油，而老人家只有三個裝油的葫蘆，大的葫蘆里裝滿了油，一共是10斤。另外還有兩個空的小葫蘆，分別可以裝3斤油和7斤油。老人家說他沒有辦法賣5斤油，而顧客卻執意要買5斤油。老人家認為這個顧客在故意為難他，于是兩人就吵了起來。韓信了解了事情的原委后，稍加思索，便下馬解決了這個問題，雙方皆大歡喜，連連稱謝。”

“原來是這樣一個故事啊。看來韓信不僅是個軍事家，還是個數學家啊！”爸爸微笑道，“那你是想問我，韓信究竟是怎么分油的嗎？”

“不是，我知道他是怎么分油的！”瑞瑞的回答出乎了爸爸的意料。

“哦，那你說一說，韓信是怎么分油的？”爸爸扶了扶眼鏡。

“為了讓你理解得更清楚，我先畫一個表格吧！”瑞瑞麻利地拿出直尺，邊說邊畫，不一會兒，就畫出了下表——

“10斤→7斤，這表示把10斤的葫蘆中的油倒進7斤的葫蘆中，3斤→10斤就表示要把3斤的葫蘆中的油倒進10斤的葫蘆中去，其它的意思也是如此……”瑞瑞生怕爸爸還沒看懂，又解釋了一遍。

彈珠游戲

看著瑞瑞把韓信分油的問題解釋得明明白白，爸爸心中倒是升起了疑云：“你已經解決這個問題了，還有什么疑問嗎？”

“還有更簡單的方法嗎？”瑞瑞顯然不太滿意自己的解法，“這樣的解決方法太繁瑣，而且沒辦法用數學語言直觀地表示出來。”

爸爸似乎早就猜到瑞瑞會是這個反應：“哈哈，我就知道你不會滿意。還好，我還有絕招！”

只見爸爸繪制了一幅像統計圖一樣的圖，并在上面標明了一些數據，介紹道：“這叫直角坐標系。不過，這樣的圖你應該見過了。”

“是的，這種圖我在五年級學‘用數對確定位置的時候見過。”瑞瑞回憶道：“我還記得老師說這個直角坐標系是法國數學家笛卡爾最早引入的。”

爸爸很高興兒子能記住老師上課講過的知識：“沒錯，笛卡爾也是世界上第一個用代數方法研究幾何的人。從此以后，平面上的任意一點都可以用一對有序數對來表示了。”

“不過，爸爸你畫直角坐標系是用來做什么啊？”瑞瑞顯然還沒有明白爸爸的用意。

“不急不急，聽我慢慢道來。”爸爸指著直角坐標系說：“我們這里的橫坐標表示7斤葫蘆里所裝的油，縱坐標表示3斤葫蘆里所裝的油，而坐標的單位就表示葫蘆中油的斤數。”

說著，爸爸又在直角坐標系中畫上了一些斜線——

看著滿臉疑惑的瑞瑞，爸爸不緊不慢地繼續說：“現在，我們來玩一個彈珠游戲。首先規定一下行走規則，彈珠只能走直角坐標系中的紅色網格線，并且每一次必須走到四周（也就是碰到黑色線），才能選擇另一條紅色網格線反彈。”

“也就是說，我們想要得到5斤油，就得讓彈珠到達（5，3）或（5，0）的位置。你觀察一下，如果我們從（7，0）出發，可以選擇哪一條路線到達（5，3）呢？”爸爸把彩筆交給瑞瑞，示意他可以畫一畫。

瑞瑞接過彩筆，認真思考，不一會兒，就找到了一條路線（如圖藍色直線）。

“如果是彈珠游戲的話，我知道彈珠這樣走就可以到達（5，3）這個位置，可是這與分油問題有什么關系呢？”瑞瑞雖然找到了路線，但心中的疑問卻沒有解開。

爸爸依舊慢條斯理：“不急，我們看看彈珠走過的位置（7，0）→（4，3）→（4，0）→（1，3）→（1，0）→（0，1）→（7，1）→（5，3），這一系列坐標正好對應著每次倒油后兩個葫蘆的狀態，而且相鄰的坐標在現實中是可以互相進行轉換的。”

說著，爸爸也畫了一張表，來解釋剛才這番話。

“為什么一定要碰到四周才能反彈呢？”瑞瑞提出了一個關鍵問題。

“嗯，這是一個好問題！”爸爸不失時機地表揚瑞瑞，“這是因為分油問題中的葫蘆都是沒有刻度的。也就是說我們必須保證，在每一次倒油的過程中，有一個葫蘆要么是滿的，要么是空的，而這種情形正好對應著直角坐標系的邊緣。”

“這個方法好，以后碰到這類問題再也不用發愁了！”瑞瑞拍手叫好，非常開心：“老爸，我也想到一個妙招——用倒推法來尋找這條路線。比如我們從（5，3）或（5，0）這個終點出發，一路倒推回去，就可以輕松地找到第一次出發時的起點，這樣會更容易！”

“真棒！我就是喜歡你愛思考的樣子！”爸爸也從不吝嗇對兒子的贊揚。

親愛的小讀者，你會用這種方法解決分油問題了嗎？