“五家共井”問題的圖形化、Python和APPInventor解法

王德貴

中國古代數學巨著《九章算術》是張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。其內容十分豐富，總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。是當時世界上最簡練有效的應用數學，它的出現標志著中國古代數學形成了完整的體系。其中有一道題是“五家共井”問題，原文如下：

五家共井，甲二綆不足，如乙一綆;乙三綆不足，如丙一綆;丙四綆不足，如丁一綆;丁五綆不足，如戊一綆;戊六綆不足，如甲一綆，皆及。

這道題的白話解釋是：五家合用一口井，甲家的2根井繩和乙家1根井繩總長為井深;乙家的3根井繩和丙家的1根井繩總長為井深;丙家的4根井繩和丁家1根井繩總長為井深;丁家的5根井繩和戊家1根井繩總長為井深;戊家的6根井繩和甲家1根井繩總長為井深。問：井深、各家井繩各多少？（每家的井繩均等長）

下面我們也來分析一下“五家共井”問題，并用Python、圖形化和APPInventor分別求解。

一、創意來源

在教授學生學習Python四級課程時，合用的練習和案例并不多，于是在搜索案例過程中，看到了這個“五家共井”問題，經過研究發現比較適合用Python四級的知識點來解決，現分享出來。

二、設計思路

這是一個不定方程問題。遇到方程最初的想法還是用枚舉法，在100范圍內運行后，無果。說明最小正整數解，一定比100大，于是擴大范圍到300，結果運行很久也沒有輸出結果，看來運算時間過長了，沒有能等到程序運行出結果。

于是想到庫函數sympy，它是一個符號計算的Python庫。我在文章《阿基米德群牛問題的分析及Python驗證》里講過，這里不再贅述。

通過解方程，得到關系式，從而求出最小正整數解。

在使用Python求解過程中，想試著再用Scratch和APPInventor求解，通過編程，運行，在對比三種代碼之后很有啟發，下面把求解過程分享給大家。

三、程序設計

（一）Python程序設計

1.枚舉法

這是一種最直接的思路，不知道具體結果，那就用枚舉法測試（圖1）。根據題意，設甲、乙、丙、丁、戊五根繩子分別長a、b、c、d、e，井深2a+b，5個未知數的滿足方程2a+b=3b+c=4c+d=5d+e=6e+a，將1到100分別代入進行試算。

由于運行時間較長，運行時將消耗時間打印出來了，此時顯示的是運行了a取值1到10的運行時間222秒（圖2）。

2.時間復雜度

如果取值范圍在100以內，則時間復雜度是10的10次方，按運行時間算，運行了10個a將近4分鐘，那運行100個a，需要的時間就大約是40分鐘（圖3）。

當a的取值在300以內時，運行1個a需要的時間將近30分鐘，那300個a就是近150個小時，需要6天多的時間（圖4）。

這樣長的運行時間程序完全無法實用，必須通過縮減無效運算來優化程序。改為將最短的繩子e作為枚舉的主要參數，根據題目分析我們也能提前知道各未知數的大小關系，將d的試算起始數量從1改為從e開始，其他幾個未知數以此類推。根據網絡搜索答案，我已經知道e的最小正整數解小于100，b小于300。新增了變量bj=1用來判斷，當獲得答案后立刻跳出循環。等待一段時間能夠獲得答案（圖5）。

運行10個e的時間將近是6分鐘，隨e值增大，單次運算時間還會縮短。優化后，運行時間大大縮短了，只需25分鐘左右，已經獲得了一組結果（圖6）。

我們根據已有答案回推優化程序，最終獲得了結果。但是如果我們不知道答案的范圍，即使只在300范圍內試算，運行也要6個小時左右。枚舉法在面對這樣一個不定方程的情況時，如果不知道結果的范圍，那么運行時間就會非常長！必須去尋找更簡捷的算法。

3.方程解法的程序設計

（1）利用sympy庫函數先求出不定方程的關系式（圖7）。