一元二次方程常見錯誤剖析

于宗英

初學一元二次方程，許多同學因對相關知識點掌握不牢固，很容易出現種種錯誤.現把此部分內容常見錯誤歸類分析，以幫助同學們防微杜漸.

一、忽視概念的條件

例1（2020·甘肅）方程（m + 2）[xm+3mx+1=0]是關于[x]的一元二次方程，則（ ）.

A. [m=±2] B. [m=2] C. [m=-2] D. [m≠±2]

錯解：由一元二次方程的定義可得|m| = 2，解得[m=±2]. 故選A.

剖析：一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數的最高次數是2;（2）二次項系數不為0. 據此即可求解.

正解：由一元二次方程的定義可得[ m=2， m+2≠0，]解得[m=2]. 故選[B].

點評：一元二次方程的一般形式是：[ax2+bx+c=0]（a，[b]，[c]是常數且[a≠0]），特別要注意[a≠0]這一條件，這是在解題過程中容易忽視的.

二、兩邊同時除以相同因式導致漏解

例2（2020·甘肅·蘭州）一元二次方程[x]（[x-2]）[=x-2]的解是（ ）.

A. [x1=x2=0] B. [x1=x2=1] C. [x1=0]，[x2=2] D. [x1=1]，[x2=2]

錯解：方程兩邊同時除以x - 2，得x = 1，故選B.

剖析：解一元二次方程時，若方程兩邊有公因式，不能直接約去，這樣會造成漏解，而應該用因式分解法求得方程的解.

正解：[x]（x - 2）[ =x-2]，移項，得[x]（x - 2） - （x - 2） [=0]，

提公因式，得（x - 2）（x - 1）[ =0]，

∴[x-2=0]或[x-1=0]，

解得[x1=2]，[x2=1].

故選D.

點評：解一元二次方程時不能直接把兩邊的公因式約掉，而應利用提公因式法解方程.

三、忽視限制條件

例3（2020·西藏）某駐村工作隊為帶動群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅成效，決定在該村山腳下圍一塊面積為[600 m2]的矩形試驗茶園，便于成功后大面積推廣. 如圖所示，茶園一面靠墻，墻長[35 m]，另外三面用[69 m]長的籬笆圍成，其中一邊開有一扇[1 m]寬的門（不包括籬笆）. 求這個茶園的長和寬.

錯解：設茶園垂直于墻的一邊長為x m，則另一邊的長度為（[69+1-2x]）[m]，

根據題意，得x（[69+1-2x]）[=600]，整理，得[x2-35x+300=0]，

解得[x1=15]，[x2=20].

當[x=15]時，69 + 1 - 2x = 40;

當[x=20]時，69 + 1 - 2x [=30].

答：這個茶園的長和寬分別為40 m 、15 m或[30 m]、[20 m].

剖析：本題墻長35 m是一個限制條件，茶園的長須小于（或等于）墻長，故解出的籬笆長度應據此進行取舍.

正解：設茶園垂直于墻的一邊長為[x m]，則另一邊的長度為（[69+1-2x]）[m]，

根據題意，得x（[69+1-2x]）[=600]，

整理，得[x2-35x+300=0]，

解得[x1=15]，[x2=20].

當[x=15]時，[69+1-2x=40>35]，不符合題意舍去;

當[x=20]時，[69+1-2x=30]，符合題意.

答：這個茶園的長和寬分別為[30 m]、[20 m].

點評：在列一元二次方程解應用題時，求出未知數的值后，一定要根據題目的要求，選取符合實際意義的數值.

總之，在解決一元二次方程問題時，一定要注意全面考慮問題，這樣才能避開 “雷區”，得到正確的答案.