基于單元模型的復雜輪系運動方案設計*

陳 志，方 振，馬雅麗，沈瑞豪，閆立山

(大連理工大學機械工程學院，遼寧 大連 116024)

0 引言

機械系統的方案設計是要在給定的功能需求與設計約束的條件下完成系統的方案綜合，而功能需求是方案設計過程中最主要的元素之一。輪系的運動功能需求最關鍵是要考慮輸入輸出的方向與大小。

近些年，齒輪輪系的方案設計方法主要基于圖論理論。圖論理論在輪系中的應用方法是尋找構件與構件關系去對應圖論模型，從而進行復雜輪系的結構衍化與性能分析工作，進而綜合出所有的運動鏈[1]。文獻[2-4]應用圖論思想確立了用于復雜輪系系統化研究的圖論模型。文獻[5]基于圖論法進行方案窮舉和篩選以實現傳動方案的自動生成。文獻[6]列舉了單自由度有9個構件的復雜輪系運動鏈。文獻[7]綜合出7個構件的多自由度復雜輪系運動方案圖。

由功能需求出發，文獻[8]根據四軸加工中心機構的拓撲結構特性，對其機構方案進行創新設計研究。文獻[9-11]根據矩陣分解規則以及狀態空間的理念，建立了單自由度、多自由度的串聯、混聯機械的系統運動方案設計體系。文獻[12]提出了基于單元能量與結構特征狀態的機械系統方案設計方法。本文以狀態空間為基本理論依據，通過研究復雜輪系的基本傳動單元，抽象出數學模型，研究模型的分解與重構，提出了一種新式的輪系運動方案設計方法，完善了輪系的設計理論體系。

1 復雜輪系的基本傳動單元

復雜的齒輪系統是由若干輪系單元相互組合而構成的，輪系基本傳動單元是構成復雜輪系系統分析、設計的最小功能單元，對輪系基本傳動單元的研究才是解決輪系問題的根本。因此，復雜輪系的分析與拆解是運動方案設計的基礎，對空間輪系系統而言，其基本傳動單元分別為：定軸基本傳動單元、單雙自由度行星基本傳動單元。如圖1～圖3所示。

(1)平行軸內嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯軸外嚙合圖1 定軸基本傳動單元

(1)平行軸內嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯軸外嚙合圖2 單自由度行星基本傳動單元

(1)平行軸內嚙合 (2)平行軸外嚙合 (3)相交軸外嚙合 (4)交錯軸外嚙合圖3 雙自由度行星基本傳動單元

2 輪系單元的運動特征模型

輪系傳動單元的運動轉換特征模型是用來描述運動的變換，即輪系輸入端到輸出端的運動方向與大小的變化。由于拆分后的行星基本傳動單元可將定軸與動軸的傳動相互轉換，故在輸入輸出為定軸的周轉輪系中，行星傳動也只是構成其中的一部分。因此，在行星基本傳動單元的數學模型的構建過程中，可以忽略行星輪任意時刻的運動狀態，描述其運動初始狀態下的運動特征轉換信息。故本文主要研究內容為基于單元模型的輸入輸出為定軸的輪系運動方案的設計方法，只需給定復雜輪系的輸入端與輸出端的運動特征空間，得到其運動轉換特征模型，從而根據抽象的數學模型與相應分解算法得到運動方案。下面，用數學模型對輪系基本傳動單元的運動特征轉換過程進行描述。

首先建立笛卡爾坐標系，設輸入端的傳動方向與x軸方向相同，y軸方向由輸入構件幾何中心指向輸出構件的幾何中心的方向，z軸方向與xoy平面垂直，運動的正負方向以右手定則確定。令i，j分別表示輸入與輸出齒輪，對定軸基本單元與行星基本單元，它們相對運動轉換方程可統一寫為如下形式。

(1)

3×1列向量表示輸入輸出齒輪相對于機架或行星架的運動大小和方向，稱為運動特征空間。3×3矩陣表達在齒輪的傳動過程中，運動的轉換關系，稱為運動轉換矩陣。若輪系單元輸入輸出的運動特征空間已知，通過矩陣的運算規則，可以得到運動轉換矩陣。

例如，以zi表示主動輪i的齒數，zj表示從動輪j的齒數，若齒輪i的運動輸入方向為x軸的正方向，齒輪j的運動輸出方向為y軸的正方向，則運動轉換方程為：

若齒輪i的運動輸入方向為x軸正方向，齒輪j的運動輸出方向為y軸的負方向，則運動轉換方程為：

3 輪系的運動方案設計方法

復雜輪系系統的運動方案設計的研究重點在基本傳動單元上，設計過程就是通過對拆分得到的基本傳動單元進行再組合過程，按照制定的分解規則對復雜輪系的運動特征矩陣進行拆分，得到單元轉換矩陣，再對照傳動單元庫，組合后得到復雜輪系的運動方案。

3.1 設計基本要求

輸入端與輸出端都是定軸的復雜輪系，故設計的基本要求如下：

(1)輸入構件與輸出構件必須為連架桿；

(2)輸入與輸出的運動方向確定；

(3)輸入與輸出的軸線相對位置：同軸、垂直、平行不同軸。

3.2 設計約束條件

(1)類型約束

連接的構件具有相同的運動類型，即同為定軸轉動或者同為行星運動。

(2)方向約束

前一個基本傳動單元的輸出與后一個基本傳動單元的輸入需保持相同的運動方向，如果運動方向不一致，需要對后一個基本單元的坐標進行轉換。

假如：已知前一個基本傳動單元輸出構件的運動方向為y軸方向，而后一個基本傳動單元中輸入構件的方向與x軸同向，則后一個基本傳動單元需繞z軸進行坐標轉換，使其輸入方向與y軸相同。

3.3 設計過程

(1)在笛卡爾坐標系下，由輸入輸出的運動功能要求得出輸入輸出運動特征空間。將運動特征空間映射為運動的傳動方向矢量，這個傳動方向矢量與基本單元的運動特征空間為一一對應關系。以x軸方向為標準方向，如果輪系的輸入方向與x軸不同向，則需要對輪系系統做方向轉換，將輸入方向轉換與x軸同向。例如，輸入方向Ri與x軸同向，輸出方向Ro與y軸同向，則傳動方向矢量為：

(2)由已知的輸入輸出傳動方向矢量，根據矩陣運算規則，可以得到傳動方向轉換矩陣。

通過傳動方向轉換矩陣，可以匹配得到基本傳動單元。傳動方向轉換矩陣公式為：

A=Ro·RiT

(2)

按(1)的實例，可求出：

(3)如果沒有匹配的基本傳動單元，則將這個轉換矩陣按指定的組合方式進行矩陣分解(分解方法將在下節敘述)，再到單元庫中搜索與分解后的輪系單元轉換矩陣相對應的基本傳動單元。

3.4 運動轉換矩陣的分解方法

輪系問題的基礎是研究輪系基本傳動單元的性能。輪系單元主要有三種組合形式，分別是串聯式、并聯式以及混合式，混合式中既有串聯式又有并聯式，因此，在研究輪系單元組合性能時，需要首先對串聯式和并聯式進行組合性能研究。下面以x軸輸入、x軸輸出的傳動方向轉換矩陣為例說明矩陣分解算法。

矩陣元素的運算規則：

0⊕0=0 1⊕1=1 0?0=0 1?1=1

串聯式組合矩陣分解算法：

(3)

并聯式組合矩陣分解方法：

(4)

綜上所述，輪系的運動方案設計流程如圖4所示。

圖4 輪系的運動方案設計流程圖

4 運動方案設計實例

下面將通過2K-H型空間周轉輪系的例子，對輪系的運動方案設計方法進行說明。因為雙自由度的輪系可以蛻化為單自由度的輪系，所以本文只考慮雙自由度的2K-H型空間周轉輪系的設計，該輪系的運動方案設計是根據其初始狀態下的相對運動轉換設計的。

(1)設計要求：2K-H型空間周轉輪系的輸入輸出方向均與x軸同向且保持同軸，它們的輸入輸出傳動方向矢量為：

(2)輸入-輸出傳動方向轉換矩陣為：

(3)建立單元組合矩陣

由于是定軸輸入輸出，單個行星基本單元無法滿足運動要求，需要對轉換矩陣進行分解，來尋找滿足要求的基本傳動單元。

將傳動方向轉換矩陣按照串聯方式進行分解為2個基本傳動單元，其分解情況如下所示：

由2個基本傳動單元組合得到的周轉輪系設計方案應用最普遍，對傳動方向轉換矩陣繼續分解，將其再次分解為3個基本單元，則其分解情況為：

對方案2做具體分析，轉換矩陣的具體分解情況如下所示：

對分解得到的3個單元轉換矩陣與單元庫進行匹配檢索，可得到相對最優的3個基本傳動單元，如圖5所示。

圖5 基本傳動單元

將得到的3個基本傳動單元組成合并，得到2K-H型空間周轉輪系系統的機構簡圖，如圖6所示。

圖6 2K-H周轉輪系機構簡圖(方案2)

對其余5種含3個基本傳動單元的2K-H型周轉輪系按上述過程進行運行方案設計，可以得到5種相對最優的機構簡圖，如圖7所示。

(1) 方案一 (2)方案三 (3) 方案四

(4) 方案五 (5) 方案六圖7 2K-H周轉輪系機構簡圖

通過基于單元模型的輪系方案設計方法，可以得到輸入與輸出端確定的所有輪系運動方案，并從中搜尋所需求的傳動方式。

5 結論

(1)復雜輪系單元的運動狀態模型是表征輪系傳動單元輸入、輸出的轉換關系的數學表達式，建立輪系單元的運動狀態模型是進行復雜輪系運動方案設計的根本途徑，是研究輪系問題的理論依據；

(2)輪系的單元組合的方法是運動方案設計的理論基礎，研究輪系單元組合以及單元組合的逆向求解過程是解決復雜輪系運動方案設計的重要因素；

(3)通過建立輪系系統的傳動方向轉換矩陣，對該矩陣進行逆向分解，得到滿足系統運動轉換方程的輪系單元轉換矩陣，將該轉換矩陣與輪系單元庫進行匹配，得到若干個輪系基本傳動單元，從而對復雜輪系系統的運動方案進行設計。