基于BLUE與PCRLB的快速雷達資源管理*

羅 靜，趙嬋娟，方 明，湯繼偉

(1.上海航天電子技術研究所，上海 201109;2.上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引 言

相控陣雷達具有波束捷變能力，可以同時產生多個發射波束，分別獨立地執行搜索、跟蹤等任務[1]，波束駐留時間、波束的指向等參數值也可實時變化。在有限的雷達資源限制下，如何合理地對資源進行管理，使雷達作戰能力最大化，具有重要的研究意義。

雷達資源管理主要分為目標跟蹤和資源管理兩個部分。資源管理部分利用目標跟蹤反饋的目標信息對發射端資源進行實時分配。傳統的資源管理方法主要有協方差控制[2]、基于信息熵值方法[3]。Alexey等人[4]將目標跟蹤誤差協方差作為評價函數，建立數學優化模型，對雷達的功率資源進行分配。該方法易受到濾波算法優劣性影響，因此Tharmarasa等人[5]提出將后驗克拉美羅界作為目標跟蹤精度衡量標準。嚴俊坤、秦童等人[6-7]將其作為評價函數，對雷達功率進行分配，后又提出一種波束和波束寬度的聯合管理。后驗克拉美羅界(Posterior Cramer-Rao Lower Bound,PCRLB)具有一定的預測性，通過計算上一時刻跟蹤的貝葉斯信息矩陣(Bayesian Information Matrix,BIM)可以預測得到下一時刻的克拉美羅下界，為下一時刻雷達資源的分配提供了相關依據，可減少單次運算誤差。

實際環境中，雷達跟蹤問題大多是非線性量測下的跟蹤濾波問題，多使用拓展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filterr，EKF)算法、無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)算法、粒子濾波(Particle Filter，PF)算法和量測轉換[8]等方法。EKF方法計算簡單，但誤差大；PF方法不受線性化誤差或高斯噪聲假定的限制，濾波精度高，但計算復雜度高，工程實際應用受限；UKF精度比EKF高，計算量較PF方法小；使用量測轉換方法可以減少運算量，但傳統轉換測量過程中會產生誤差，導致目標跟蹤不一致性。針對這種情況，基于位置量測的無偏量測轉換卡爾曼濾波算法[9]被提出，但該類型算法仍然存在誤差的統計特性與實際不符等情況。之后最佳線性無偏估計器(Best Linear Unbiased Estimation,BLUE)被提出[10]，與UKF相比較，兩者的跟蹤精度近似，但BLUE算法計算量更小，更符合實時性的要求。綜合計算量和跟蹤性能，BLUE算法最佳[11]，可用于處理在極坐標系或者球坐標系下觀測目標的跟蹤問題，工作實時性好，跟蹤精度高。

為進一步提高雷達資源管理實時性，本文提出了一種結合BLUE和PCRLB的快速資源管理算法。首先建立目標跟蹤模型，使用BLUE算法進行目標跟蹤，再快速計算PCRLB作為資源管理的依據，進行波束分配和駐留時間的優化。仿真結果表明，本文提出的算法在維持跟蹤效果的同時可大幅降低運算量，更符合工程中實時性的要求。

1 基于克拉美羅下界的雷達資源管理

1.1 系統模型

假設雷達探測區域內有N個運動目標，雷達可以同時生成Q個波束照射目標。假設一個波束一次只能對一個目標進行照射，當Q>N即波束數目大于目標個數時，可使多余的波束執行搜索等其他任務；反之，當Q≤N時，需要對各個目標狀態進行判斷，選擇被照射的目標以及確定波束的駐留時間。本文針對波束和駐留時間的聯合管理展開研究。雷達通過資源管理模塊對當前時刻目標信息進行處理，得到發射參數反饋給發射端，決定下一時刻的發射參數。

首先建立信號模型。假設雷達發射脈沖信號為s(t)，在k時刻有M個脈沖照射到目標，目標回波表達式為

exp(-j2πfd,k(m)t)+ωk(t,m)。

(1)

(2)

式中：ΔTk為波束駐留時間。式(2)說明目標回波信噪比與波束駐留時間、發射平均功率等參數有關。

xk=Fxk-1+wk-1。

(3)

式中：wk-1～N(0,Q)為狀態噪聲，F為狀態轉移矩陣。

k時刻目標非線性觀測方程為

(4)

目標觀測向量為

(5)

(6)

1.2 基于PCRLB的資源管理

(7)

式中：E表示求取期望；J(xk)為目標狀態xk的BIM，其逆即克拉美羅界CPCRLB(xk)，且滿足

(8)

(9)

BIM計算涉及大量矩陣運算，為簡便計算，Tichavsky[12]給出了一種迭代方法，將其表示為目標先驗Fisher信息矩陣Jp(xk)和數據Fisher信息矩陣JD(xk)兩部分之和，即

J(xk)=Jp(xk)+JD(xk)=

(10)

式(10)表明，J(xk)和JD(xk)均為駐留時間的函數，則對應的PCRLB也為駐留時間的函數。由于對角線上的元素分別為對應目標狀態估計協方差提供一個下界，提取出目標跟蹤精度誤差方差的下界Cn：

Cn=CPCRLB(1,1)+CPCRLB(4,4) 。

(11)

式中：CPCRLB(1,1)和CPCRLB(4,4)分別為CPCRLB(xk)對角線上第一個和第四個元素。Cn為目標n的跟蹤距離均方誤差(Mean Square Error,MSE)提供了一個下界。

針對波束和駐留時間的聯合管理展開研究，建立數學模型如下：

(12)

2 快速資源管理算法

結合式(10)～(12)發現，由于雷達觀測是非線性的，使用傳統跟蹤算法諸如EKF或者UKF等方法對目標進行跟蹤時，在每一時刻的資源管理求解中都涉及大量的雅可比矩陣的計算和求逆，導致運算量增加。針對此問題，本文提出一種結合BLUE和PCRLB的快速資源管理算法。

BLUE算法可用于解決非線性量測下的跟蹤濾波問題，跟蹤性能與UKF相當，但計算實時性更優。通過BLUE的卡爾曼濾波形式進行目標跟蹤，在維持跟蹤效果的前提下，提高了目標跟蹤的實時性，同時避免雅可比矩陣計算，可快速計算PCRLB，為下文資源管理提供依據。

BLUE算法基本步驟如下：

(13)

(14)

式中：Pk-1是k-1時刻的估計協方差矩陣。

(15)

(16)

Step5 計算k時刻濾波增益因子Kk：

(17)

(18)

Step7 計算估計誤差協方差矩陣Pk：

(19)

(20)

由上述假設經過推導[12]可得

(21)

式中：

(22)

計算S中對角線元素可得到

(23)

(24)

通過以上推導，計算轉換后的量測誤差的協方差矩陣為

(25)

將式(25)代入式(9)可得

(26)

相應地，可以得到信息矩陣JBLUE(xk)和克拉美羅界CBLUE：

JBLUE(xk)=Jp_blue(xk)+JD_blue(xk)=

(27)

(28)

本文研究的波束和駐留時間的聯合管理主要解決兩個問題：一是如何選擇下一時刻的跟蹤對象；二是如何確定波束駐留時間。式(12)表示的模型直接求解難度大，對此，本文使用一種分步算法，分步解決上述兩個問題。針對問題一，由式(10)可知，目標的先驗信息矩陣與當前時刻的觀測無關，僅反映過去時刻的目標跟蹤效果，可求其逆用于選擇下一時刻的跟蹤對象。針對問題二，確定照射目標后，以目標PCRLB作為代價函數，駐留時間最短為目標函數，進行駐留時間的優化。

結合以上理論推導與分析，本文提出快速資源算法，具體步驟如下：

Step5 重復Step 1～4，完成跟蹤。

同時，依據上述分析可知算法的計算量與lp3成正比，其中p為目標狀態維數，l為可選駐留時間數目。

3 實驗仿真與分析

采用仿真數據來驗證本文算法的有效性。考慮到計算復雜性和結果直觀性，設置2個波束對3個目標進行仿真，跟蹤時間為60 s，駐留時間限制為0.01 s≤ΔTn,k≤0.45 s。脈沖重復周期Tpri=400 μs，脈沖寬度τ=10 μs，采樣間隔為1 s。

設置目標初始協方差矩陣均為P0=diag[400,10,0.001,400,10,0.001]，初始信息矩陣均為J0=diag[0.5,1,0.001,0.5,10,0.001]，進行200次蒙特卡洛實驗。將目標的均方根誤差定義為

(28)

式中：Nmo為蒙特卡洛試驗次數。

3.1 實驗1：勻速直線運動

仿真場景如圖1(a)所示，設置跟蹤精度分別為300 m2、200 m2和150 m2。雷達位置即原點，三個目標均做勻速直線運動，目標1、目標2逐漸靠近雷達，目標3距離雷達較近，逐漸遠離雷達。圖1(b)為三個目標的跟蹤誤差均方根曲線圖。

(a)三目標運動軌跡仿真圖

(b) 目標跟蹤RMSE曲線圖圖1 實驗1仿真場景

圖2為目標均方誤差和PCRLB對比圖。跟蹤穩定后，目標MSE逐漸趨近PCRLB，由于算法以PCRLB作為比較準則，故MSE略高是合理的。以目標2為例，在0～10 s內，跟蹤均方誤差MSE產生小高峰，主要是由于初始條件相同情況下，算法傾向于將資源分配給跟蹤效果最差的目標，導致其在跟蹤初期未被跟蹤或者分配駐留時間少。在第25 s時，MSE和PCRLB產生小尖峰，這是由于當前時刻目標未被波束照射，算法在此處以預測值代替濾波值。目標3初始距離雷達近，所需要的照射次數最少，導致曲線多起伏，目標逐漸遠離時，為維持跟蹤精度，照射次數增多，曲線起伏逐漸變小。

圖2 實驗1中目標MSE和PCRLB對比圖

圖3為算法優化后的駐留時間分布圖，同一時刻雷達最多可對兩個目標進行跟蹤，駐留時間隨目標靠近雷達而減少。同時，目標1和2與雷達距離近似，目標2期望精度高，所以所需的駐留時間高于目標1。目標2雖然距離雷達比目標1近，但是由于其期望精度高，所需要的駐留時間長。目標3逐漸遠離雷達，所以波束照射次數逐漸增多，但由于距離雷達較近，駐留時間較少。與固定駐留時間相比較，本文提出算法可以在維持目標跟蹤精度的同時，有效地對駐留時間進行實時管理，避免資源浪費。

圖3 實驗1中駐留時間分布圖

選用基于UKF和PCRLB的傳統資源管理算法作為對照組，使用相同的仿真初始條件和管理策略和方式，表1給出了本文快速算法和傳統算法結果對比。可以看出，在具備i7平臺的雷達資源調度模擬器上計算仿真，本文算法經過200次蒙特卡洛試驗平均后，完成跟蹤每一步的所需時間為1.8 ms，而傳統方法每步跟蹤所需的時間為20.9 ms，快速算法計算性能提高近11倍。

表1 本文算法和傳統資源管理算法結果對比(勻速)

3.2 實驗2：勻加速直線運動

仿真場景如圖4(a)所示，目標加速度分別為沿x軸負向1g、y軸負向1g、x軸正向0.5g。圖4(b)為三個目標跟蹤RMSE曲線圖。

(a) 目標運動軌跡仿真圖(勻加速)

(b) 目標運動軌跡仿真圖圖4 實驗2仿真場景

圖5為目標MSE和PCRLB對比圖。與勻速情況類似，由于波束數目小于跟蹤目標數，在每一時刻的跟蹤，都會優先選擇跟蹤效果較差的兩個目標，導致曲線出現起伏。

圖5 實驗2中目標MSE和PCRLB對比圖

圖6為勻加速目標的駐留時間分布圖，圖中黑色虛線為固定駐留時間0.2 s。目標2先靠近再遠離雷達，對應的駐留時間的分布呈U型。目標1遠離雷達，被波束照射的次數和照射的時間均減少，目標3則反之。結合以上分析可以看出，本文算法可以按照目標跟蹤的需求，合理地分配駐留時間。

圖6 實驗2中駐留時間分布圖

通過表2可看出，在具備i7平臺的雷達資源調度模擬器上計算仿真，兩種算法完成每一步跟蹤的時間分別為1.8 ms和22.86 ms，本文所提算法對于勻加速運動的目標依然適用。綜合算法分析，本文算法較傳統算法運算速度高的原因主要有兩點：一是BLUE作為跟蹤算法實時性較UKF好，UKF濾波時，使用UT采樣方法得到目標狀態值、觀測值預測，是一種以運算量獲取高精度的方法；二是在計算PCRLB過程中，本文提出的快速算法避免了雅可比矩陣的重復計算，大幅減少了運算量，提高了運算的實時性。以上結果及分析說明算法有效可行。

表2 本文算法和傳統資源管理結果對比(勻加速)

4 結束語

為提高雷達多目標跟蹤任務情況下資源管理的實時性，本文提出了基于BLUE和PCRLB算法的雷達資源快速分配算法。使用BLUE算法對目標進行跟蹤時，可得出更精確的轉換后量測誤差統計特性；同時，PCRLB為離散非線性濾波問題的均方誤差提供了一個下界，可作為資源分配的代價函數。本文提出的快速資源管理算法通過BLUE算法跟蹤目標，快速計算PCRLB，避免了傳統過程中對雅可比矩陣的求解。以此為基礎，建立了多目標雷達跟蹤模型，并根據雷達跟蹤效果和期望精度自適應地調整雷達的波束和駐留時間分配，實現了多目標雷達跟蹤的資源自適應管理。最后結合試驗仿真驗證了該方法的可行性與高效性。

下一步將針對機動目標的實時跟蹤問題，設計基于BLUE的交互多模型算法(IMM-BLUE)。