生活中的一次函數(shù)

吳娟

一次函數(shù)是刻畫實(shí)際生活中變量關(guān)系的一個(gè)有效模型，許多生活中的實(shí)際問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)造一次函數(shù)模型來(lái)解決.下面舉例說(shuō)明，以期幫助同學(xué)們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，用數(shù)學(xué)的思維思考生活，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述生活.

一、合腳購(gòu)鞋問(wèn)題

例1（2021·安徽）某品牌鞋子的長(zhǎng)度y cm與鞋子的“碼”數(shù)x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系. 若22碼鞋子的長(zhǎng)度為16 cm，44碼鞋子的長(zhǎng)度為27 cm，則38碼鞋子的長(zhǎng)度為（ ）cm.

A. 23 cm B. 24 cm C. 25 cm D. 26 cm

分析：設(shè)[y=kx+b]，分別將（22，16）和（44，27）代入，求出一次函數(shù)解析式，將[x=38]代入即可求解.

解：∵鞋子的長(zhǎng)度y cm與鞋子的“碼”數(shù)x之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，

∴設(shè)一次函數(shù)解析式為y = kx + b（k ≠ 0），

由題意知，當(dāng)x = 22時(shí)，y = 16，當(dāng)x = 44時(shí)，y = 27，∴[16=22k+b，27=44k+b，]解得[k=12 ，b=5，]

∴一次函數(shù)解析式為y[ =12]x + 5.當(dāng)x = 38時(shí)，y[ =12 ×] 38 + 5 = 24（cm）.故應(yīng)選B.

反思：本題告訴我們，鞋子的“碼”數(shù)與鞋子的長(zhǎng)度滿足一次函數(shù)關(guān)系，這樣我們?cè)谫I鞋時(shí)就可以心中有數(shù)，購(gòu)適合自己腳的鞋.

二、適時(shí)加油問(wèn)題

例2（2021·浙江·麗水）李師傅將容量為60升的貨車油箱加滿后，從工廠出發(fā)運(yùn)送一批物資到某地. 行駛過(guò)程中，貨車離目的地的路程s（千米）與行駛時(shí)間t（小時(shí)）的關(guān)系如圖1所示（中途休息、加油的時(shí)間不計(jì)）. 當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，貨車會(huì)自動(dòng)顯示加油提醒. 設(shè)貨車平均耗油量為0.1升/千米，請(qǐng)根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）直接寫出工廠離目的地的路程;（2）求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式;（3）當(dāng)貨車顯示加油提醒后，行駛時(shí)間t在怎樣的范圍內(nèi)貨車應(yīng)進(jìn)站加油？

分析：（1）根據(jù)圖象可以直接得出結(jié)論;（2）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式;（3）分別求出余油量為10升和0升時(shí)行駛路程，根據(jù)函數(shù)解析式求出對(duì)應(yīng)的t值，即可求得t的取值范圍.

解：（1）由圖象可知，當(dāng)t = 0時(shí)，s = 880，則工廠離目的地的路程為880千米.

（2）設(shè)s=kt + b（k ≠ 0），

將（0，880）和（4，560）代入s = kt + b，得[880=b，560=4k+b，]解得[k=-80，b=880，]

則s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式為s = -80t + 880（0 ≤ t ≤ 11）.

（3）當(dāng)油箱中剩余油量為10升時(shí)，s = 880 - （60 - 10） ÷ 0.1 = 380（千米），

∴380 = -80t + 880，解得t [=254];

當(dāng)油箱中剩余油量為0升時(shí)，s = 880 - 60 ÷ 0.1 = 280（千米），

∴280 = -80t + 880，解得t [=152];

∵k=-80<0，∴s隨t的增大而減小，∴t的取值范圍是[254 <] t [<152].

反思：本題用一次函數(shù)的增減性來(lái)確定加油的時(shí)間范圍.生活中應(yīng)注意行車需安全，加油要適時(shí).

三、最佳帶長(zhǎng)問(wèn)題

例3（2021·湖南·衡陽(yáng)）圖2是一種單肩包，其背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成. 小文購(gòu)買時(shí)，售貨員演示通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短單層部分的長(zhǎng)度，可以使背帶的長(zhǎng)度（單層部分與雙層部分長(zhǎng)度的和，其中調(diào)節(jié)扣所占長(zhǎng)度忽略不計(jì)）加長(zhǎng)或縮短，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度為x cm，單層部分的長(zhǎng)度為y cm. 經(jīng)測(cè)量，得到右表中數(shù)據(jù). （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)規(guī)律，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;（2）按小文的身高和習(xí)慣，背帶的長(zhǎng)度調(diào)為130 cm時(shí)為最佳背帶長(zhǎng).請(qǐng)計(jì)算此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度;（3）設(shè)背帶長(zhǎng)度為L(zhǎng) cm，求L的取值范圍.

分析：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y = kx + b，代入表中數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)k，b即可;（2）根據(jù)函數(shù)關(guān)系式和背帶長(zhǎng)度為130 cm，列二元一次方程組求解;（3）根據(jù)x和y都為非負(fù)數(shù)求出L的最大值和最小值，即可確定L的取值范圍.

解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx + b，由題意知[148=2k+b，136=8k+b，]解得[k=-2，b=152.]

∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y = -2x + 152.

（2）根據(jù)題意知[x+y=130，y=-2x+152，]解得[x=22，y=108，]

∴此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度為22 cm.

（3）由題意知，當(dāng)x = 0時(shí)，y = 152，當(dāng)y = 0時(shí)，x = 76，∴76 ≤ L ≤ 152.

反思：適度的背帶長(zhǎng)度可以使我們背包時(shí)感到更舒服，要達(dá)到最好的效果，可讓一次函數(shù)來(lái)幫忙.

（作者單位：江蘇省興化市安豐初級(jí)中學(xué)）