利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律
——解析幾何內容分析與教學思考(之二)

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

4 “圓錐曲線”的內容和要求

課程標準提出，本單元將在“直線和圓的方程”的基礎上，通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用；幫助學生在平面直角坐標系中，認識橢圓、拋物線、雙曲線的幾何特征，建立它們的標準方程；運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系；運用平面解析幾何方法解決簡單的數學問題和實際問題，感悟平面解析幾何中蘊含的數學思想；提升直觀想象、數學運算、數學建模、邏輯推理和數學抽象素養.本單元的內容和要求是：

1.了解圓錐曲線的實際背景，例如，行星運行軌道、拋物運動軌跡、探照燈的鏡面，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.

2.經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質.

3.了解拋物線與雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.

4.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.

5.了解橢圓、拋物線的簡單應用.

另外，課程標準還要求收集、閱讀平面解析幾何的形成與發展的歷史資料，撰寫小論文，論述平面解析幾何發展的過程、重要結果、主要人物、關鍵事件及其對人類文明的貢獻.

分析課程標準的上述內容和要求，可以得到如下認識.

首先，圓錐曲線與客觀世界事物的運動規律、人類生活實際聯系緊密，本單元的學習有堅實的現實背景和應用的支撐，教學中應充分利用這些素材，引導學生認識學習圓錐曲線的意義.

第二，本單元的研究對象是圓錐曲線(幾何圖形)，研究過程中，數形結合思想和坐標法統領全局.因為橢圓、雙曲線、拋物線的研究內容、過程和方法是“同構”的，所以對每一種圓錐曲線都可以按照“曲線的幾何特征——曲線的標準方程——通過方程研究曲線的性質——應用”的過程展開，并把橢圓作為重點，要求學生通過橢圓的學習掌握圓錐曲線的研究架構，理解圓錐曲線的研究內容、研究過程以及蘊含在內容中的數學思想和基本方法，雙曲線、拋物線的研究通過類比橢圓來完成.

第三，用坐標法研究幾何問題，其理論基礎是曲線與方程的關系(一種充要條件)，這是討論各種具體問題的基礎，也是數形結合思想的主要載體.以往的處理方法都是先講“曲線與方程”的理論，再用以研究各種曲線.為了降低抽象程度，同時體現“邊學邊用”的理念，課程標準刪去了“曲線與方程”的概念，要求在建立圓錐曲線標準方程后，就著方程的建立過程討論“曲線上點的坐標都滿足方程”、“以方程的解為坐標的點都在曲線上”.這樣處理，既不失科學性，又不讓學生感到過于抽象，可以使學生在潛移默化中體驗曲線與方程之間的一一對應關系，進一步理解通過方程研究曲線性質的合理性，使數形結合思想融入在具體內容中.

第四，圓錐曲線是解析幾何中的核心內容，是平面幾何沒有涉及的.用數形結合思想研究這些曲線，應貫徹“先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標法解決”的策略.對于每一種圓錐曲線，要加強概念的抽象過程，即要在探索、明確其幾何特征(主要是對稱性)的基礎上，再利用幾何特征建立坐標系、求出標準方程，然后通過方程、運用代數方法進一步認識圓錐曲線的性質以及它們的位置關系.

第五，從幾何角度看，圓錐曲線是平面截圓錐所得的截線，因此三種曲線具有內在的緊密聯系，可以利用離心率給出它們的統一定義.同時，每一種曲線又有各自的“個性特征”，相應的“個性定義”就描述了這些個性特征，并且我們可以根據這些個性特征分別得到其圖形，通過直觀就能發現每一種圓錐曲線的基本特征——對稱性.因此，如何處理好“個性特征”與“統一定義”之間的關系，是教材和教學需要認真思考的問題.人教A版以三種曲線的“個性特征”為明線，分別定義三種曲線；同時，以“具體例子+拓展性素材”的方式滲透和明確“統一定義”，并在引出拋物線概念時進行適當歸納，就體現了這樣的思考.

第六，用代數方法研究圓錐曲線有一般套路可以遵循：背景——概念——方程——性質——應用；同時，每一個環節也有一定的程序性，這就體現出用坐標法研究幾何問題的優勢——程序化、機械化.特別是求曲線的方程，所遵循的一般步驟是：

(1)建立適當的坐標系，用有序實數對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；

(2)寫出適合條件p的點M的集合P={M|p(M) }；

(3)用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)=0；

(4)化方程f(x，y)=0為最簡形式；

(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上.

人教A版沒有明確給出這些步驟，但在求每一種曲線方程的過程中進行了滲透，并通過“思考”、“探究”等欄目，讓學生自己推出不同坐標系下的標準方程，以達到既熟練推導過程又加強代數運算的訓練，并使學生把握標準方程的多樣性表示.

第七，圓錐曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質的研究，需要發揮“幾何圖形的性質指什么”、“如何利用方程研究幾何圖形的性質”、“先直觀感知圖形的性質，再用方程進行論證”等一般觀念的引領作用，要將坐標法具體結合到幾何性質的研究過程中去，這樣才能增強教學的思想性，從而也就把直觀想象、邏輯推理等素養的培養和理性思維的發展落在了實處.離心率刻畫了圓錐曲線的扁平程度，通過適當的問題引導學生將“扁平程度”(形)與確定橢圓的“基本量”(數)聯系起來，設法使他們想到用“基本量之比”刻畫“程度”，有利于發展學生的直觀想象和邏輯推理素養.雖然“漸近線”在函數中已經出現(例如反比例函數、指數函數和對數函數的圖象特征)，但雙曲線的漸近線仍然是一個教學難點，需要通過精心的教學設計進行化解.例如可以通過從特殊到一般的過程，利用信息技術增強直觀性和操作性，使學生體會“漸近”的含義，并利用雙曲線上的點到漸近線的距離隨x(或y)的不斷增大而逐漸減小進行推理.

第八，用坐標法解決幾何問題，其基礎是利用坐標系將點表示為有序數組，建立起平面內點與有序數組之間的一一對應，由此可以將曲線表示為一個方程，幾何問題就歸結為代數問題；然后借助于代數運算和邏輯推理，對這些數、代數式及方程之間的關系進行討論；最后再把討論的結果利用坐標系翻譯成相應的幾何結論.這就是我們熟悉的三步曲：幾何問題翻譯為代數問題——代數運算與推理——代數結論翻譯為幾何結論.與圓錐曲線相關的主要問題是：(1)求有某種幾何特征的曲線方程；(2)根據曲線的方程，用代數方法證明(或討論)曲線的幾何性質；(3)賦予代數方程以幾何意義，用幾何方法研究它的代數性質，例如通過方程研究直線與圓錐曲線的位置關系等.這里，問題(1)、(2)是基本的.與圓錐曲線相關的題目浩如煙海，但讓學生做太多的題目對他們理解圓錐曲線的特征沒有多大好處，所以圓錐曲線教學中特別要注意精選題目.人教A版特別注意把圓錐曲線豐富多彩的性質選作例題和習題，不僅使題目的思想內涵得到增強，而且通過這些題目加強了知識間的相互聯系，從而幫助學生建立對圓錐曲線的整體認識.例如，橢圓的例題中，就包含了橢圓與圓的聯系、定義橢圓的其他方式、橢圓的光學性質等，這些題目的“數學含金量”是非常高的，同時這些題目的可拓展性也是很強的.

第九，因為圓錐曲線在現實中有大量的應用，特別是圓錐曲線的光學性質的應用，要注意通過這些應用落實課程標準提出的“通過行星運行軌道、拋物運動軌跡等，使學生了解圓錐曲線的背景與應用”的要求.

第十，動態幾何軟件在探索圓錐曲線性質中可以大顯身手，不僅可以有效地降低學習難度，而且能發現很多性質，有利于提高學生的學習興趣，所以要特別注意發揮信息技術的作用.人教A版不僅在正文中明確提出利用信息技術進行探究的要求，而且安排了利用信息技術探究圓錐曲線性質的欄目、拓展性材料等.

第十一，人類對圓錐曲線的興趣古已有之，在2000多年前的古希臘時期，阿波羅尼奧斯(Apollonius，約公元前262～前190)的《圓錐曲線論》中就已經用綜合幾何的方法得出了現在高中階段涉及的幾乎所有的圓錐曲線性質(這從一個側面說明老師們乃至高考題中“創造”出大量圓錐曲線題目是一件很沒意思的事情，除了給學生制造不必要的麻煩，別的意義很少).解析幾何的創立是數學史上的里程碑，也給圓錐曲線的研究插上了翅膀，解析幾何的發展中蘊含了豐富的數學文化元素，是高中數學課程中提升學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值認識水平的不可多得的好載體.因此，教材和教學都要重視解析幾何發展史的這一育人功能.人教A版在本單元安排了“文獻閱讀與數學寫作 解析幾何的形成與發展”，要求學生查閱與解析幾何有關的文獻，了解解析幾何形成與發展的過程，以及解析幾何對人類文明的主要貢獻，其目的就是為了體現本單元內容在數學文化中的特殊作用.

5 “圓錐曲線”的內容理解與教學思考

圓錐曲線是傳統內容，對它的改革思路，總體上看是“削支強干”，以“精簡”為基調，并注重用向量方法進行拓展.因此人教A版在編寫本單元教材時，注意吸收以往教科書的優點，強調在繼承基礎上進行創新.具體地，在內容的選擇上，圍繞圓錐曲線的核心概念，以橢圓、雙曲線、拋物線的主要性質及其應用為重點，做到削支強干；在結構體系上，強調知識發生發展的邏輯合理性，加強背景和應用，從而使學生在三種曲線的學習中經歷完整的研究過程；注重按照學生學習心理組織教科書內容，加強數學思想的引導和解題方法的分析，循序漸進地提高論理要求；注重坐標法思想內涵的理解和應用，減少機械套用、死記硬背；注重與平面幾何、函數等相關主線的聯系與綜合，強調代數運算與邏輯推理的融合，體現解析幾何的學科特征；注重利用數學史料，滲透數學文化；等.貫徹“問題引導學習”思想，通過“觀察”、“思考”、“探究”、“信息技術應用”等欄目，以層層遞進、邏輯連貫的“問題串”為載體創設系列化數學活動，引導學生開展創造性學習活動；強調根據學生的認知規律，采用“歸納式”呈現學習內容，引導學生自己歸納和概括數學結論；注意使用“先行組織者”手段，從方法論高度，對如何觀察、發現圓錐曲線的幾何特征，如何構建研究路徑，如何發現圓錐曲線的性質，如何用坐標法研究幾何問題等加強指導，從而提高教科書的思想性；注重學習經驗的積累和應用，在用坐標法研究一個幾何對象的統一思想統領下，以直線與圓的方程的學習為基礎，從橢圓、雙曲線到拋物線順次展開內容，逐漸增強開放性，引導學生通過類比已有經驗展開學習活動；等等.以下就幾個主要問題，通過教科書設計思路的討論，闡釋本單元內容的理解與教學問題.

5.1 如何定義三種圓錐曲線

我們知道，一個數學對象的本質特征可以有多種等價的表現形式，所以數學對象的定義是不唯一的.數學定義是選擇的結果.這就帶來一個問題：如何選擇才更有利于后續研究？對這個問題的回答可能是沒有統一標準的.事實上，數學定義是一代代數學家不斷研究、改進的結果，特別是一些處于基礎地位的概念，例如函數的定義.有時，對一個數學對象的不同定義也反映了人們對其本質屬性認識的不同抽象層次.因為要考慮學生的可接受性，所以對于教材和教學而言，不一定是越嚴謹的定義越好.這樣，就需要思考怎樣的定義才能既反映數學對象的本質特征，又能與學生的認知水平相適應.

在阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中，三種圓錐曲線的定義是基于平面截圓錐的.由平面與圓錐的軸所成角的不同范圍，可將截線區分為三類，阿波羅尼奧斯將它們分別稱為齊曲線(拋物線)、超曲線(雙曲線的一支)、虧曲線(橢圓).利用相似三角形、圓的有關性質，通過一系列的幾何推理，他分別推出三類曲線的性質：

(2)拋物線：y2=px；

得到上述圓錐截線的性質后，就不再利用圓錐曲面而直接從這三條性質推出其他性質，“橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為2a”、“橢圓上任意一點到焦點的距離與到準線的距離之比為大于0小于1的常數”等都可由此推出.[1]

從上所述可見，由平面截圓錐得到三種截線，這是最原始的定義.由這個定義可以容易地區分截線的類型，但每一種截線的幾何特征卻不明顯.由此出發推導圓錐曲線的方程，需要用到較多的幾何知識，推理過程比較復雜，對大多數學生而言難度太大，顯然不合適.其他定義實際上都是從這個原始定義推出的性質.因為“平面內，與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓”的幾何特征非常明確，可以與圓的定義相銜接(當兩個定點的位置逐漸接近時，橢圓的形狀就逐漸接近圓)，容易作圖，其基本幾何性質(對稱性)也易于直觀想象，由此就方便于我們合理地建立直角坐標系求出橢圓的方程，而由“距離的和等于常數”聯想到“距離的差等于常數”也是非常自然的，所以一直以來，解析幾何教科書都以此作為橢圓的定義，對稱地把雙曲線定義為“平面內，與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線”.

不過，這樣的選擇存在一個缺陷，即與拋物線的定義無法銜接.為了解決這個問題，人教A版在橢圓、雙曲線的內容設置中做了一定的鋪墊：

在“橢圓”一節設置例題

和“信息技術應用”欄目

“用信息技術探究點的軌跡：F是定點，l是不經過點F的定直線，動點M到定點F的距離和它到定直線l的距離的比e是小于1的常數.用信息技術軟件畫出動點M的軌跡，觀察這個軌跡，可以發現它是一個橢圓.在0

在“雙曲線”一節設置例題

和習題

在“拋物線”的節引言中先進行引導：

“在前面的學習中我們發現：設動點M到定點F的距離與動點M到定直線l的距離的比為常數k，當01時，動點M的軌跡是雙曲線.一個自然的想法是，如果k=1，即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離相等，那么動點M的軌跡是什么形狀？”

然后通過“探究”欄目，讓學生用信息技術畫出動點的軌跡，在此基礎上再給出拋物線的定義.

這樣的處理方式，兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，使概念的引入、定義的給出基本做到了銜接自然、光滑.

5.2 如何認識解析幾何的學科特點

解析幾何的創建是為了科學發展的需要，而從數學內部看，則是出于對數學方法普遍性、統一性的追求.認識清楚這一點，對于我們理解解析幾何的基本思想很重要.追溯笛卡爾(Descartes，1596～1650)創立解析幾何的心路歷程，可以明顯看出這種追求.

笛卡爾不僅在數學上做出了重要的開創性貢獻，而且在哲學、生物學、物理學等眾多領域都有杰出貢獻.他是機械自然觀的第一個系統表述者，被譽為近代哲學的開創者.他以大哲學家的眼光審視數學，認為數學立足于公理上的證明是無懈可擊的，而且是任何權威所不能左右的.數學提供了獲得必然結果以及有效地證明其結果的方法.數學方法“是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而它是所有其他知識工具的源泉……所有那些目的在于研究順序和度量的科學，都和數學有關.”他研究數學，目的是想尋找一種能在一切領域里建立真理的方法.他認為，以往的幾何、代數研究都存在很大缺陷：歐氏幾何中沒有那種普遍適用的證明方法，幾乎每一個證明都需要某種新的、技巧性很強的想法；代數的方法具有一般性，其推理程序也是機械化的，但它完全受法則和公式的控制，以至于“成為一種充滿混雜與晦暗、故意用來阻礙思想的藝術，而不像用來改進思想的科學”.所以，代數與幾何必須互相取長補短.不過，他推崇代數的力量，認為代數方法在提供廣泛的方法論方面要高出幾何方法，因此代數具有作為一種普遍的科學方法的潛力.于是，他提出了一個計劃，即：

任何問題→數學問題→代數問題→方程求解.

他把精力集中在把代數方法用于解決幾何問題的研究，其結果是創立了解析幾何.

笛卡爾的理論建立在兩個觀念的基礎上：坐標觀念；利用坐標方法把帶有兩個未知數的任意代數方程看成是平面上的一條曲線的觀念.基于坐標法思想，給出了一系列新穎的結論，例如：曲線的次與坐標軸的選擇無關，因此選擇的坐標軸要使得方程越簡單越好；在同一坐標系內寫出兩條不同曲線的方程，解它們的聯立方程組就求出兩條曲線的交點；用方程的“次”給幾何曲線分類，圓錐曲線的方程是二次的(沒有證明)；等.

總之，笛卡爾創立解析幾何的原動力是他對普適性方法的追求，“創造一種方法，以便用來解決所有的幾何問題，給出這些問題的所謂一般的解法”的思想指引著他的創新之路，而幾何、代數和一般變量概念的結合是坐標法的起源，所以解析幾何具有濃厚的“方法論”色彩.了解這一點很重要，因為這能使我們理解為什么在解析幾何的教學中要把重點放在對坐標法的理解和應用上，而不是把精力浪費在一些復雜的求曲線方程的代數變換上.

基于上述分析，我們認為，教師要把“解析幾何是一種方法論”作為解析幾何的一個核心定位，而且在教學中要把如何講好“方法論”作為一個關鍵問題進行思考.事實上，人教A版正是基于這樣的定位對教材內容作出安排的：

首先，在章、節引言及小結中，用明確的語言表述數形結合思想、坐標法的內涵.例如，本章小結中明確指出：

用坐標法研究幾何問題，首先要注意觀察相應幾何圖形的特征，認識確定幾何圖形的要素，例如橢圓是平面內到兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡，這里“兩個定點”、“距離之和為定長”等就是確定橢圓的幾何要素；然后再用坐標法解決，即利用幾何特征合理建立坐標系，用坐標表示點，用方程表示幾何要素的關系.在此基礎上，利用方程研究曲線的性質.可以看到，解析幾何中研究橢圓、雙曲線、拋物線的過程和方法是一致的.這表明，用代數方法研究幾何問題(如圓錐曲線的性質)，其處理方法具有統一性.實際上，通過運算來發現幾何圖形的性質，不但能迅速地證明曲線的性質，而且這種解決問題的方式基本上是程序化的，這是解析幾何的優勢所在，是體現數形結合思想威力的典范.……用坐標法研究幾何圖形時，代數式的化簡、方程的變形與等價轉化等起著很重要的作用.例如，當我們把橢圓的方程化簡為標準方程后，就能容易地看出橢圓的范圍、對稱性、頂點等等，發現長軸、短軸、焦距之間的關系，并由此得到刻畫橢圓扁平程度的離心率等等.所以，學習解析幾何需要較強的邏輯推理、數學運算等能力.

第二，在正文的表述中，隨時隨地強調坐標法的基本思想，強調“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決”的過程，并在“如何以直角坐標系為參照，確定問題中的幾何要素”上加強引導，體現“從推理幾何到解析幾何”的過渡.按“直線與圓的方程”小結中給出的坐標法基本步驟呈現標準方程的推導過程、例題的解答過程，強調用坐標法研究問題的規范，完整地給出利用方程討論圖形的幾何性質的示范，并以“三步曲”為指導，在小結中進一步給出用坐標法解決圓錐曲線問題的基本思路.

第三，從圓錐曲線的標準方程出發，用坐標法研究圓錐曲線的性質及數學內外的各種應用問題，引導學生理解解析幾何的基本思想，體會坐標法的力量.為使學生集中精力于坐標法的學習，在素材選擇上，人教A版特別關注了圓錐曲線的性質，把那些通過不太復雜的代數運算就能得出的性質及其在現實中的應用設計為例題、習題.例如，鑒于三種圓錐曲線的定義都是從“距離”間的關系給出的，在例題中專門設置了從“角度”間的關系反映的性質：

事實上，把這個題目反過來，就是圓錐曲線的一條性質：橢圓、雙曲線上的點(長軸端點除外)與長軸的兩個端點連線所成角是定值.同時，這條性質還具有可推廣性，給教學留下了空間.

另外，與其他單元比較，本單元設置了更多的拓展性資源，其目的也是為了給學生提供從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機會.

以上從數學的角度討論了本單元內容的理解及教學中應關注的問題，下面再從學習心理的角度討論一下本單元的教材內容處理和教學問題.

5.3 根據學生學習心理安排教學內容

與以往比較，在強調教科書的科學性、邏輯性、結構性的同時，特別關注學生的學習心理，注意按學生的心理邏輯組織教學內容，這是新人教A版的一個總體特色.本單元內容的教材處理注意了如下一些問題.

1.強調“先行組織者”的使用

認知心理學認為，“先行組織者”有助于學生形成有意義學習的心向，能為學生提供一個學習的整體架構，避免學習的盲目性，同時也能為新舊知識搭建聯系通道.前已指出，解析幾何具有“方法論”的學科特征，在解決具體問題之前明確其結構、方向和主要過程正是“先行組織者”的“強項”.所以，在本單元內容的展開過程中，特別是在章節的開篇、內容之間的銜接與過渡等地方，人教A版賦予“先行組織者”以重要地位，特別注重用坐標法討論問題這一基本思路的引導.實際上，這既是解析幾何思想的教學，又是一種思維策略的教學，對于學生獲得數學基本思想、積累基本活動經驗，增加發現和提出問題的可能性，以及培養理性思維等都能起到非常重要的作用.

2.循序漸進地引導學生領悟數學基本思想

我們知道，坐標法、數形結合思想、運動變化思想(以靜制動、以動御靜)等都是數學中關于“怎么想”、“怎么做”的知識，屬“默會知識”范疇.這種知識的掌握，更多地依賴于實踐中的體悟，需要有一個“滲透——明確——應用”的過程.因此，本單元在“直線與圓的方程”中明確坐標法思想、提供用坐標法解決平面幾何問題的示范并進行適當訓練的基礎上，進一步明確了坐標法和數形結合思想，并加強了用坐標法解決綜合性問題的訓練，使學生在實踐中加深理解，逐步養成數形結合地思考和解決問題的思維習慣.

3.用“歸納式”呈現內容引導學生經歷概念抽象過程

針對一些較為抽象的概念，人教A版特別注意從簡單到復雜、從單一到綜合地組織內容，按照從具體到抽象、從特殊到一般的方式，給學生提供歸納、概括的機會.例如，對“曲線的方程”、“方程的曲線”概念的處理，雖然它在培養學生思維的邏輯性和嚴謹性方面都是很好的載體，但這也是一個不容易把握的概念，沒有足夠的知識準備，不僅會導致學生理解的困難，還會使他們產生“為什么要這樣來要求”的疑問.因此，教科書根據課程標準的要求，在圓錐曲線方程的推導中，繼續采取“結合具體曲線呈現相關內容”的方式，最后再在本章小結中對“曲線與方程的關系”進行歸納，并指出“利用坐標系建立曲線與方程的這種關系，是解析幾何的基礎，在今后的學習中可以進一步體會到”.

5.4 設計系列化的數學活動引導學生開展有結構有邏輯的系統學習

以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境、提出數學問題，引導學生以獨立思考、自主學習、合作交流等多樣化的方式開展數學學習，是課程標準的基本理念.為此，人教A版強調構建系列化數學活動，注重創設與學生的現實緊密關聯的真實問題情境，引導學生開展體驗學習、合作學習、建構學習，通過有結構、有邏輯的系統學習，逐步形成數學學科觀念、數學思維方式和探究技能，促進數學知識和技能的持續結構化，使學生的理性思維不斷走向成熟.系列化的數學活動涵蓋了通過數學抽象獲得研究對象，構建研究數學對象的基本路徑，發現和提出值得研究的數學問題，探尋解決問題的數學方法，獲得有價值的數學結論，直至建立數學模型解決現實問題，這是在通盤考慮課程內容基礎上作出的設計.

在本單元的數學活動設計中，人教A版根據圓錐曲線的內容特點，首先注意發揮“史料”的作用，從整體上提出圓錐曲線的產生以及所要研究的問題.如前所述，解析幾何的發明既是為了解決人類實踐活動中提出的問題，又是為了探尋科學研究的普適性方法.教科書以歷史資料為素材，以用坐標法研究幾何圖形的過程與方法為導向，從宏觀上提出系列問題，引導學生感受坐標法.這樣的處理對學生把握解析幾何的基本思想和學習方向很有好處，這是教師在分析和理解教科書編寫意圖時需要關注的一個問題.

在每一種圓錐曲線的研究中，人教A版從節引言開始，通過“觀察”、“思考”、“探究”等欄目，根據知識的發生發展需要提出層層遞進的問題，從而形成環環相扣的系列化數學活動.這些問題是學生在學習具體內容時普遍都會遇到的，教科書通過它們來引導學生的思考方向，為學生獨立思考、自主探究構建平臺.例如，在“橢圓”一節中，教科書按知識的發展過程順次提出了如下問題：

(1)節引言以“橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們該如何利用這些特征建立橢圓的方程，從而為研究橢圓的幾何性質奠定基礎？”從宏觀上提出問題，給出研究目標.

(2)在引入橢圓概念時，以“探究：移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件是什么？”引導學生探究橢圓的幾何特征，為抽象橢圓概念、展開后續內容做好必要準備.

圖3.1-3

(3)以“思考：觀察橢圓的形狀，你認為怎樣建立坐標系可能使所得的橢圓方程形式簡單？”引導學生思考如何利用橢圓的幾何特征(主要是對稱性)合理建立坐標系.

(5)以“思考：如果焦點F1，F2在y軸上，且F1，F2的坐標分別為(0，-c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？”引導學生通過類比，自主推導焦點在y軸上時的標準方程.

(6)以“先用幾何眼光觀察，再用坐標法解決”為指導，以“與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等”為導入語，設置“觀察”欄目，提出問題“觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？”從整體上明確橢圓性質的主要研究內容，再以系列化的欄目引導學生具體探究性質：

①探究：觀察橢圓的形狀，可以發現橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.如何利用橢圓的方程描述橢圓的對稱性？

③思考：不同形狀的橢圓的扁平程度不同，相同形狀的橢圓的扁平程度相同.扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當的量定量刻畫橢圓的扁平程度嗎？

教科書以上述系列化情境與問題為載體，構建了“分析背景——探索幾何特征——選擇坐標系、建立標準方程——探索不同形式的標準方程——通過方程研究幾何性質”的系列化數學活動.

這里順便指出，討論橢圓的性質要注重從概念到性質的過程，要引導學生利用確定橢圓的要素研究和表達橢圓的性質.例如，有的老師刻意引導學生用多樣化的方式刻畫離心率，認為這樣可以拓展學生的思路，我們認為這是沒有必要的.

5.5 加強背景和應用，完善學習過程

我國數學教學有以練習促理解、以技能訓練代替思維訓練的習慣，解析幾何教學也以解答大量題目為主，這是一種“掐頭去尾燒中段”的做法，對學生形成全面的數學理解沒有好處.解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學科，應當以“用坐標法研究問題”為主線，以讓學生領會數形結合思想為主要任務，僅靠做題目是無法達成這一目標的.為此，加強背景和應用，使學生經歷完整的用坐標法解決問題的過程，變“掐頭去尾燒中段”為“接頭續尾燒全魚”，是解析幾何教學中必須予以充分重視的問題.人教A版在這方面加強了引導.

1.加強對圖形的幾何特征的分析

完整的坐標法是在清晰地描述圖形的幾何特征(圖形的要素及其基本關系)、搞清楚要解決的問題是什么的基礎上，再進入建立直角坐標系、求方程及利用方程討論圖形性質等環節.實際上這是“先用幾何眼光觀察”的體現，在建立幾何直觀的基礎上，再進行代數表達與運算、推理，可以提高運算效率，這也是化解解析幾何學習中運算、代數推理難點的舉措.

2.加大用數形結合思想分析問題的力度

從簡潔性考慮，以往的教科書往往直接呈現邏輯過程，這是一種思考的“結果”，而對“為什么這樣思考”則需要學生自己去體會，但這對學生而言是比較困難的.為此，人教A版特別加強了用數形結合思想分析問題的環節，既展示了過程，又體現了對學生思維的引導.

例如，在“3.3.2拋物線的簡單幾何性質”中專門安排了例4、例5，通過這兩個例題，一方面讓學生體會如何利用圓錐曲線的定義和性質去研究相關圖形的性質、解決問題；另一方面，通過不同解法的比較，使學生體會坐標法中的運算所具有的特點：先分析清楚研究對象的幾何特征，將幾何元素及其關系代數化，在運算過程中還要充分利用相應的幾何特性以簡化運算.通過這樣的示例，使學生逐步建立如下觀念：用坐標法解決問題，建立在幾何直觀基礎上的運算是有效解題的關鍵，這里的運算具有“數形結合”的特征，而不僅僅是代數運算.

5.6 體現單元教學設計思想

發展學生的數學學科核心素養是當前數學課程改革的核心目標，也是數學教學中立德樹人的抓手.那么，一個基于核心素養的教學到底應包括哪些要素呢？

首先，從教學目標看，應以發展數學學科核心素養為目標導向，使學生在掌握知識與技能的同時，體悟知識所蘊含的數學思想和方法，積累數學地思考和解決問題的經驗，發展理性思維.

其次，實現上述目標，有賴于高水平的教學活動設計，要根據數學知識的本質和學生的認知規律，設計教學情境(生活情境、數學情境、科學情境等)并提出數學問題，用以激發學生的學習欲望，開展獨立思考、自主探究、合作交流等學習活動.

第三，高水平的教學設計，有賴于教師“理解數學，理解學生，理解教學”的水平.把握教學內容的本質，了解學生的數學思維過程，懂得學生的數學學習心理，是設計高質量數學教學活動的前提.

顯然，圍繞碎片化的知識點，以“知識點講解+例題+練習”的方式設計教學活動，已經無法承載數學基本思想和基本活動經驗教學的重任，對“四能”的提高不利，對核心素養發展更不利.總之，這樣的教學是無法實現核心素養教學目標的，“知識點教學”這一舊習必須破除.為了幫助教師提升“三個理解”的水平，根據課程標準提出的“教材編寫應體現整體性”，“要便于教師把握知識本質，駕馭課程內容；要便于教師把握知識結構，統籌教學安排；要便于教師教學設計，創設教學情境、提出合適問題、有效組織教學；要為教師自主選擇、增補和調整教學內容預留必要空間”等要求，人教A版特別注意引導教師在整體把握圓錐曲線內容的基礎上，展開教學活動的整體設計.教科書將圓錐曲線內容分為三個單元，以每一種圓錐曲線的幾何特征、方程、性質和應用為明線，以坐標法和數形結合思想為暗線，以邏輯連貫、環環相扣的“問題串”為腳手架，設計系列化的數學活動，引導學生充分調動已有經驗展開探究性學習.這是一種以單元整體設計思想為指導的設計思路，可以比較好地實現課程標準提出的要求.

具體地，在“橢圓”一節中，如前所述，教科書用前后連貫、循序漸進的十多個問題組成“問題串”，將內容連成一體，引導學生有邏輯地展開學習與探究.這些問題既有針對整體思路的，也有針對具體內容的；既有針對思想方法、研究策略的，也有操作性的、針對特例或細節的.它們是以橢圓知識的內在邏輯為依據而設置的、自然而然的學習主線，解決了這些問題就可以形成思想內涵豐富的“橢圓與方程”知識體系.在“問題串”的引導下，學生可以完整地經歷如下過程：

通過具體情境(如行星運行軌道)，了解橢圓的背景與應用；

結合情境、通過動手操作清晰地描述圖形的幾何特征與問題，即橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡；

結合幾何特征合理地建立坐標系，用代數語言描述這些特征與問題；

借助幾何圖形的特點，形成研究橢圓性質的思路，利用方程，并通過直觀想象和代數運算得到結果；

給出代數結果的幾何解釋，解決問題.

顯然，教師只要按照教科書給出的上述過程設計與實施教學，就可以引導學生展開結構化的系統學習，建立清晰、穩定和可利用的“橢圓與方程”的認知結構.

雙曲線、拋物線兩節內容與橢圓同構，所以設計思路完全一致.如果橢圓的基礎扎實，那么就可以讓學生通過類比橢圓的研究過程自主學習雙曲線和拋物線，只要在雙曲線的漸近線、拋物線的背景和定義等難點上適當啟發指導即可.

5.7 發揮信息技術的作用，為幾何直觀提供方便

解析幾何是形數結合的學科，“通過幾何建立直觀，通過代數予以表達”是其基本理念[3].在圓錐曲線的研究中，對它們的幾何特征的直觀認識是第一步，但要畫出這三種曲線以及相關的圖形并非易事.所以，人教A版根據本單元內容的特點，較充分地發揮信息技術的作用，注意利用動態幾何軟件，既為作圖提供方便，又向學生展示動點的運動變化規律，引導學生觀察方程中參數的變化對方程所表示的曲線形狀、大小的影響，并通過信息技術軟件探究圖形之間的關系.例如，研究橢圓的離心率、雙曲線和拋物線的定義、雙曲線的漸近線等都利用了信息技術軟件的優勢，讓學生在獲得充分的直觀認識基礎上，再進行代數運算得出結果.

6 “圓錐曲線”教學的幾點建議

6.1 以坐標法為核心和紐帶

在本單元教學中，只有體現好解析幾何的學科特點，抓住它的核心，才能真正發揮它的育人作用，達成它的教學目標.圓錐曲線的內容非常豐富，教材中只是最基礎的、最簡單的部分，但其中蘊含的思想具有一般意義.因此，應以圓錐曲線與方程為載體，圍繞用坐標法解決幾何問題展開教學.

坐標法是數形結合思想的完美體現.面臨具體問題，用數形結合的眼光去看，從幾何、代數的不同角度去分析，就使我們對問題的條件、結論以及它們的聯系和轉化方式有了多角度的理解，從而也就可以使條件、結論得到不同形式的表達，形成多樣化的解題方法，使得幾何直觀、代數推理綜合地發揮作用，這就是解析幾何中解決問題的方法總是不唯一，且有方法的難易、代數運算的繁簡之分的原因.事實上，用坐標法解決問題的過程中，引導學生數形結合地看問題，探尋簡潔的解題方法并深入思考其原因，就是在解析幾何中發展學生直觀想象、邏輯推理、數學運算等素養的關鍵舉措.

6.2 重視對研究對象幾何特征的分析

解析幾何是“以代數方法研究幾何問題”，但教學中要注意代數運算與幾何直觀的相互為用.因為研究對象是幾何圖形，所以把握所研究對象的幾何特征、明確面臨的幾何問題，這是首要的一步，然后才是用代數方法研究之.所以，教學中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用代數方法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環.實際上就是要處理好“代數求解”與“幾何直觀”之間的關系.如果只把注意力集中在代數角度研究，雖然能達到細致入微的境界，但沒有直觀形象的支撐，最后還是不能很好地把握幾何性質.所以，教學中適當地進行“代數關系的幾何意義”的訓練也是很有必要的.

下表給出了中學平面解析幾何中的主要對象和問題：

基本圖形點,直線,圓,橢圓,雙曲線,拋物線特征量距離,斜率,半徑,長、短軸,實、虛軸,焦距,離心率,焦半徑等位置關系平行,垂直,相交,相切等度量和計算長度,角度,面積研究的主要問題直線、圓、圓錐曲線的方程及其幾何性質,位置關系,圖形在運動變化中的不變性、不變量等

6.3 使學生正確理解解析幾何中的運算

解析幾何對運算能力的要求頗高.對學生而言，代數運算是主要攔路虎之一.解題過程中，許多學生都是因為不能順利完成代數運算而導致失敗.鑒于當前學生運算技能水平不高的實際狀況，為了使學生更好地把握坐標法的基本思想，控制代數運算的難度和技巧是必須的.但必要的運算是不可避免的，這是由解析幾何的學科特點決定的.關鍵是要把握解析幾何中運算的特點.解析幾何中的運算是建立在幾何背景下的代數運算，所以先用幾何眼光觀察，分析清楚幾何圖形的要素及其基本關系，再用代數語言表達，而且在運算過程中時刻注意利用圖形的幾何特征及圖形間的關系來簡化運算，這是解析幾何教學中突破運算難點的關鍵舉措.解析幾何教學中，提高運算能力不能僅僅從代數角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，也就是要在落實數形結合思想上下功夫.

6.4 注意用好教科書中的例題、習題

從當前教學實際看，各種教輔資料中充斥著大量解析幾何題，諸如單動點軌跡問題、雙動點軌跡問題、多動點軌跡問題，圓錐曲線中參數的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題……這些題目的解答往往需要一些特定技巧，需要學生投入大量時間和精力，但對理解圓錐曲線的定義與性質卻起不了多大作用.這種現狀需要改變.

教科書中的例題與習題，其選編的原則是幫助學生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質以及它們的位置關系，并能解決有一定綜合性的問題，通過解題感悟解析幾何中蘊含的數學思想.具體的題目主要是研究圓錐曲線的性質.教學中應注意這些題目的教學功能，使學生認識到認真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關題目進行適當的變式拓展.

6.5 注意循序漸進地提高綜合和聯系的要求

解析幾何的學科特點就在于它的綜合性，但對學生而言，綜合解決問題的能力需要逐步培養.有些問題，雖然所需要的基礎知識學生都具備，但由于綜合與聯系會極大地提高問題的復雜程度、抽象層次，需要綜合運用各種思想方法，伴隨著的是對學生思維能力的高要求，因此這樣的問題也不能過早出現.同時，要注意正確理解“綜合與聯系”的含義，通過知識點的疊加、加大題目的難度并不是日常教學所需要的，綜合與聯系的目光要聚焦在核心概念上，目的在于促使學生從整體上更好地把握圓錐曲線.

例如，在本單元的小結教學中，可以引導學生針對圓錐曲線的統一、整體認識展開綜合研究：

我們知道，“運算”是代數的核心概念，“距離”、“角度”是幾何的核心概念，“斜率”是幾何概念代數化的結果，是解析幾何的核心概念……前面分別研究了橢圓、雙曲線、拋物線，獲得了許多結論，初步學會了用坐標法研究幾何問題.在“個別研究”的基礎上，如果把這些曲線的定義放到一起，從這幾個關鍵詞出發考察它們的共性，會不會有所發現？

橢圓：到兩個定點的距離之和為常數的點的軌跡；

雙曲線：到兩個定點的距離之差為常數的點的軌跡；

拋物線：到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡；

統一定義：動點到定點的距離與到定直線的距離之比為常數的點的軌跡.

可以發現，它們都是以幾何基本元素(點、直線)的相互關系為考察對象，以“距離”為紐帶，以“運算”為方法，通過“運算中的不變性”發現各種圓錐曲線的幾何特征，給出定義.

我們知道，定義揭示了概念的內涵，給出了數學對象的本質屬性，是數學對象基本性質的反映.類似的，能否以“角度”換“距離”，通過“運算”發現規律呢？

平面幾何中有“直徑上的圓周角是直角”，稍作改造就能得到如下結論：

類似的可以得到雙曲線的同樣結論.

根據圓錐曲線的方程，a，b，c，p，e等是決定圓錐曲線性質的關鍵量.圓錐曲線的焦點、頂點、軸、準線、弦及其中點、切線、焦距、長(短)軸的長、焦半徑、面積、內接圖形(特別是內接三角形、內接矩形等)、角(與焦點、中心等相關)等以及它們之間的相互關系，都可以用這些不變量來表示.對此展開一番研究，能極大地提升學生對圓錐曲線的認識水平，這比盲目地做一大堆沒有什么主題、雜亂無章的題目要好得多.

總之，解析幾何的教學一定要注重綜合性，以單元整體教學幫助學生認識數學的整體性，這是由解析幾何的內容特征所決定的.以上的教學思路，先是把握圓錐曲線的基本要素、不變量，再從“相互關系”、“相互轉化”等角度發現和提出問題、獲得性質，然后通過邏輯推理證明其正確性.在發現曲線性質的過程中，運算、距離、角度、斜率、不變量等核心概念提供了基本思路和方法.這樣的教學比較準確地體現了圓錐曲線的整體性，以數形結合思想和坐標法為核心，圍繞“以圓錐曲線的不變量表示幾何元素或幾何關系”這個主題，將直觀想象、邏輯推理、數學運算以及數學抽象等數學學科核心素養有機融入于內容之中，構建了一個邏輯連貫的持續探索過程，引導學生利用已有知識和學習經驗，通過代數運算得出圖形的各種各樣性質，不僅把“四基”、“四能”落實到位，而且滲透了學習方法指導，可以有效地幫助學生養成良好的數學學習習慣，包括理解概念、把握本質，數形結合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯等等，從而為學生鋪設了一條發展數學學科核心素養的康莊大道.