基于遞推最小二乘法的仿人機(jī)械手控制技術(shù)研究

秦洪浪

(陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空工程學(xué)院，陜西 咸陽 712000)

0 引言

智能技術(shù)和傳感控制技術(shù)是機(jī)器人研發(fā)制造的核心技術(shù)。機(jī)器人的智能化程度直接取決于核心技術(shù)水平的高低[1]。面對(duì)復(fù)雜的環(huán)境，機(jī)器人要完成一些具有難度的任務(wù)，需要對(duì)獲取的信息進(jìn)行綜合分析和自主決策，這就意味著對(duì)機(jī)器人各種核心控制技術(shù)具有更高的要求[2-3]。現(xiàn)階段我國(guó)機(jī)器人的控制技術(shù)雖已達(dá)到計(jì)算機(jī)智能層面，但在遠(yuǎn)程控制中還存在反應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)和靈敏差等不足之處[4]。要實(shí)現(xiàn)機(jī)器人反應(yīng)靈敏度和動(dòng)作協(xié)調(diào)性的提高，需要不斷對(duì)各種核心技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

本文結(jié)合仿人機(jī)械手的設(shè)計(jì)原理，在對(duì)機(jī)械手進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，研究、分析機(jī)械手的自抗擾控制技術(shù)和響應(yīng)的算法優(yōu)化，以提高機(jī)械手的整體控制精度。

1 仿人機(jī)械手動(dòng)力控制技術(shù)研究

1.1 仿人機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

研究混合采用3D打印材料與鋁合金707加工制作仿人機(jī)械手，組合使用諧波減速器和永磁同步電機(jī)，在保證機(jī)械手剛性的同時(shí)，兼顧機(jī)械手的精度[5]。機(jī)械手結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)主要選用腱傳動(dòng)模式，動(dòng)力驅(qū)動(dòng)選用電機(jī)驅(qū)動(dòng)[6]。基于腱傳動(dòng)原理，欠驅(qū)動(dòng)手指各個(gè)指關(guān)節(jié)通過繩輪串聯(lián)，牽引繩子即可控制手指的彎曲伸展。

選擇合適的電機(jī)，在帶動(dòng)輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)可起到牽引繩子的作用。電機(jī)主要根據(jù)功率大小、體積大小和響應(yīng)速度等因素進(jìn)行選擇，其直徑一般為6～14 mm。機(jī)械手指結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 機(jī)械手指結(jié)構(gòu)

驅(qū)動(dòng)輪結(jié)構(gòu)采用光敏樹脂3D打印，鋼絲繩通過其通孔可固定整個(gè)手掌結(jié)構(gòu)[7]。整個(gè)手掌大小與真人手掌結(jié)構(gòu)比例接近1∶1。手指指尖采用應(yīng)變式薄膜壓力傳感器，壓力檢測(cè)范圍為0～50 N，電阻變化范圍為4 000～8 000 Ω。機(jī)械手指在不受外界阻力時(shí)，計(jì)算式如式(1)所示。

v0=w0R0

(1)

式中：v0為繩子速度；w0為電機(jī)減速后輸出的軸轉(zhuǎn)速；R0為動(dòng)力輪半徑。

假設(shè)手掌和手指連接部位的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的速度為w1，其動(dòng)力輪半徑為R1，則w1為：

(2)

手掌和手指連接部位的轉(zhuǎn)動(dòng)部位相鄰關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)速分別用w2和w3表示，計(jì)算方法同w1。當(dāng)手指碰到障礙物時(shí)，各個(gè)關(guān)節(jié)部位具有線性疊加的關(guān)系，如式(3)所示。

(3)

式中:R=R1=R2=R3。

將機(jī)械手臂結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，聯(lián)合采用D-H參數(shù)法和坐標(biāo)系后置的方式，可構(gòu)建仿人機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型[8]。根據(jù)機(jī)械手結(jié)構(gòu)，設(shè)置各D-H參數(shù)。

坐標(biāo)后置各參數(shù)定義如圖2所示。D-H參數(shù)值如表1所示。

圖2 坐標(biāo)后置參數(shù)定義

表1 D-H參數(shù)值

連桿坐標(biāo)系從{i-1}到{i}，其齊次變換矩陣如式(4)所示。機(jī)械手臂的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解可用式(5)表示。

(4)

(5)

(6)

結(jié)合式(5)，可解得工具坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的位置表達(dá)式，如式(7)所示。

(7)

采用Robotics Toolbox 10.2.0確定六個(gè)關(guān)節(jié)間所形成的角度矢量。通過輸入各關(guān)節(jié)角度，可得到機(jī)械手臂的三維空間姿態(tài)[9]。

1.2 自抗擾電機(jī)控制技術(shù)研究

本次研究的機(jī)械手驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)采用三相永磁同步電機(jī)(permanent magnet synchronous motor,PMSM)，忽略電機(jī)鐵心飽和和磁滯、渦流造成的損耗，將相電流波看作對(duì)稱的三相正弦波，對(duì)電機(jī)的數(shù)學(xué)分析模型進(jìn)行簡(jiǎn)化[10-13]。三相永磁同步電機(jī)的電壓方程式在ABC三相靜止坐標(biāo)系中，可用式(8)表示。

(8)

式中:u3s為電機(jī)三相繞組的電壓；i3s為電機(jī)三相繞組電流；R為電機(jī)三相繞組的電阻；ψ3s為電機(jī)三相繞組的磁鏈。

三相永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩方程如式(9)所示。

(9)

式中：Pn為電機(jī)的極對(duì)數(shù)；θm為電機(jī)的機(jī)械角度，rad。

三相永磁同步電機(jī)的機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程如式(10)所示。

(10)

式中：TL為負(fù)載力矩,N·m；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,kg·m2；wm為機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,rad/s；B為阻尼系數(shù)。

采用Clark變換將自然坐標(biāo)系A(chǔ)BC變換成α-β靜止坐標(biāo)系。在α-β坐標(biāo)系下，永磁同步電機(jī)的狀態(tài)方程如式(11)所示。

(11)

式中：L為定子繞組電感,H。

為了便于設(shè)計(jì)控制器，研究選擇兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系d-p軸下的三相永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行控制算法設(shè)計(jì)，主要采用Park轉(zhuǎn)換，如式(12)所示。

(12)

在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，永磁同步電機(jī)定子電壓方程如式(13)所示。

(13)

式中：Ld、Lq為定子電感軸分量；ud、uq為定子電壓軸分量；id、iq為定子電流軸分量；ψf為永磁磁鏈。

永磁同步電機(jī)的矩陣方程如式(14)所示。采用表貼式則存在Ld=Lq的關(guān)系，矩陣方程簡(jiǎn)化后得式(15)。

(14)

(15)

將ABC三相靜止坐標(biāo)系的相關(guān)變量變換到同步旋轉(zhuǎn)d-p坐標(biāo)軸下進(jìn)行運(yùn)算是磁場(chǎng)定向控制(field oriented control,FOC)的核心思想[14]。把永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型等效看作是直流電機(jī)模型，其電流環(huán)采用比例積分(proportional integral,PI)控制器。永磁同步電機(jī)的電流環(huán)控制策略為id=0，通常采用MATLAB中的S函數(shù)編寫永磁同步電機(jī)在同步旋轉(zhuǎn)d-p軸下的數(shù)學(xué)模型。自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)算法主要針對(duì)不確定系統(tǒng)，不需要構(gòu)建相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型[15]。自抗擾控制系統(tǒng)主要由非線性狀態(tài)誤差反饋、跟蹤微分器和擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器3個(gè)部分組成[16]。機(jī)械手自抗擾控制系統(tǒng)均具有慣性，無法實(shí)現(xiàn)階躍信號(hào)的控制跟蹤，系統(tǒng)輸入階躍信號(hào)還會(huì)在一定程度上限制最大加速度[17]。本研究采用離散跟蹤器建立1個(gè)過渡過程，以解決這個(gè)問題。離散跟蹤微分器的基本形式如式(16)所示。

(16)

式中：u為輸入的目標(biāo)控制信號(hào)；xn-1為當(dāng)前時(shí)刻過濾的控制信號(hào);xn為下一時(shí)刻過濾的控制信號(hào),如果信號(hào)為位置輸入，則xn為下一時(shí)刻的目標(biāo)位置；vn-1為當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)速度；vn為下一時(shí)刻的目標(biāo)速度；h為積分步長(zhǎng)；r為跟蹤加速度；h0為濾波系數(shù)，不需要濾波時(shí)，設(shè)置為h0=h。

傳統(tǒng)的線性ADRC控制不需要構(gòu)建控制系統(tǒng)模型，各個(gè)參數(shù)具有易發(fā)生變動(dòng)的特點(diǎn)。實(shí)際控制過程中產(chǎn)生的非線性摩擦和測(cè)量噪聲會(huì)對(duì)整體的控制效果造成諸多不良影響。非線性ADRC系統(tǒng)中多且復(fù)雜的參數(shù)則會(huì)直接增加CPU的運(yùn)行負(fù)擔(dān)[18]。本研究基于對(duì)PMSM模型進(jìn)行前饋，然后采用ADRC算法，以便于控制系統(tǒng)根據(jù)在線慣量識(shí)別結(jié)果完成系統(tǒng)參數(shù)的實(shí)時(shí)調(diào)整，從而保證整個(gè)電機(jī)控制系統(tǒng)的控制精確度和穩(wěn)定性。因遞推最小二乘法具有良好的穩(wěn)定性，此次研究采用帶遺忘因子的遞推最小二乘(recursive least square,RLS)法實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別，主要識(shí)別慣量和阻尼系數(shù)2個(gè)參數(shù)。將參數(shù)識(shí)別結(jié)果和自抗擾算法結(jié)合使用，可提高整個(gè)機(jī)械手控制系統(tǒng)的適應(yīng)性和控制穩(wěn)定性[19]。最小二乘法作為1種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，可通過最小化誤差的平方和找到各個(gè)數(shù)據(jù)的最佳匹配，求得未知數(shù)據(jù)[20]。在機(jī)械手控制技術(shù)中，首先進(jìn)行最小二乘法算法初始化處理。其處理過程如式(17)所示。

P(0)=δI∈CM×M

(17)

式中：δ為足夠小的正數(shù)；I為單位矩陣，階數(shù)為M×M。

取n=1,2,…,N，則迭代運(yùn)算過程如式(18)所示。

(18)

更新n=n+1，進(jìn)一步進(jìn)行迭代運(yùn)算。根據(jù)電機(jī)運(yùn)動(dòng)方程和電磁轉(zhuǎn)矩方程，可簡(jiǎn)化計(jì)算得到式(19)。

iq=k1a+k2w+k3TL

(19)

式中：iq為q軸電流，由三相電流合成計(jì)算得到；a為電機(jī)的加速度；w為電機(jī)轉(zhuǎn)速；TL為負(fù)載力矩;k1、k2、k3均為系數(shù)。

iq、a、w和TL四者存在線性疊加關(guān)系，可利用最小二乘法對(duì)系數(shù)進(jìn)行最小方差估計(jì)。結(jié)合系數(shù)可分別計(jì)算得到系統(tǒng)慣量、阻尼系數(shù)和負(fù)載力矩的估計(jì)值。系統(tǒng)處于初始化狀態(tài)時(shí)，各系數(shù)值均為0。因?yàn)槌跏紩r(shí)刻估計(jì)值誤差較大，電機(jī)運(yùn)行一段時(shí)間后才會(huì)收斂。所以先根據(jù)遞推最小二乘法對(duì)靜態(tài)空載下的電機(jī)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，把辨識(shí)得到的參數(shù)寫入FLASH；再把電機(jī)裝入執(zhí)行關(guān)節(jié)，對(duì)其進(jìn)行控制。

2 電機(jī)自抗擾控制試驗(yàn)

此次研究的電機(jī)自抗擾控制試驗(yàn)由4個(gè)不同的試驗(yàn)組成；一是電機(jī)抗外界干擾試驗(yàn)；二是低速轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制試驗(yàn)；三是在線參數(shù)辨識(shí)試驗(yàn)；四是位置動(dòng)態(tài)控制試驗(yàn)。所有試驗(yàn)均使用MAXON ECI-40-50W電機(jī)。電機(jī)抗外部干擾試驗(yàn)的具體過程如下：首先，使電機(jī)處于空載狀態(tài)，并鎖定于當(dāng)前位置；隨后，將控制系統(tǒng)的帶寬升高至800 rad/s，設(shè)定電機(jī)的最大輸出電流的波動(dòng)幅度為±3 A，并在電機(jī)軸上加入外界干擾力矩。

電機(jī)抗外界干擾試驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，1 s內(nèi)總共包含2 049個(gè)采樣點(diǎn)。加入外界干擾力矩之后，電流峰值達(dá)到1.5 A。最大位移控制誤差為6個(gè)脈沖，角度表示為0.526°。電機(jī)控制的位置穩(wěn)態(tài)誤差為±20個(gè)脈沖，控制角度誤差為0.017 58°。將減速器的減速比設(shè)置成100，電機(jī)控制角度誤差顯示為0.005 26°。通過查詢相應(yīng)的參數(shù)手冊(cè)可得到減速器的角度傳達(dá)精度，結(jié)合機(jī)械手設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)值，可計(jì)算得到機(jī)械手的控制位置精度。X軸的控制精度為0.543 0 mm，Y軸和Z軸分別為0.490 86 mm和0.513 08 mm，各數(shù)值均小于1 mm，滿足精度要求。

圖3 電機(jī)抗外界干擾試驗(yàn)結(jié)果

設(shè)置轉(zhuǎn)速的目標(biāo)為5 rad/min，則低速轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制試驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。

圖4 低速轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)抑制試驗(yàn)結(jié)果

由圖4(a)可知，將勻速狀態(tài)下的電機(jī)控制看作位置和時(shí)間的正相關(guān)函數(shù)，電機(jī)位置控制誤差為1個(gè)脈沖。由圖4(b)可知，為了抵抗低速條件下轉(zhuǎn)矩的非線性摩擦，電流整體呈現(xiàn)出波浪形的狀態(tài)。究其原因，可能是低速下編碼器的離散誤差致使速度觀測(cè)器的速度估算出現(xiàn)不準(zhǔn)確的現(xiàn)象，使位置控制出現(xiàn)誤差。因此，可根據(jù)位置控制誤差推導(dǎo)出速度控制誤差范圍值。

基于遞推最小二乘法的慣量識(shí)別響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 慣量識(shí)別響應(yīng)曲線

由圖5可知，在0.7 s左右，實(shí)際慣量為初始慣量的10倍。實(shí)際值與真實(shí)值接近，此時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為1×10-7kg/m2。

設(shè)置電機(jī)電流激勵(lì)幅值為額定電流的30%，在3個(gè)不同測(cè)試周期內(nèi)不斷進(jìn)行在線識(shí)別，所得的在線參數(shù)辨識(shí)試驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6 在線參數(shù)辨識(shí)試驗(yàn)結(jié)果

由圖6可知，上述慣量和阻尼參數(shù)適用于機(jī)械手的自抗擾控制系統(tǒng)。進(jìn)一步就辨識(shí)結(jié)果對(duì)速度控制和位置控制進(jìn)行準(zhǔn)確度驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)自抗擾算法雖然不依賴參數(shù)，但通過參數(shù)識(shí)別可提高控制系統(tǒng)整體的控制精度。

在位置動(dòng)態(tài)控制試驗(yàn)中，設(shè)置正弦位置目標(biāo)信號(hào)的角頻率為80 rad/s，幅值設(shè)為0.015圈。位置動(dòng)態(tài)控制響應(yīng)曲線和誤差曲線如圖7所示。

圖7 位置動(dòng)態(tài)控制響應(yīng)曲線和誤差曲線

分析圖7(a)～圖7(c)，不同位置控制響應(yīng)值分別用圈數(shù)、rad/min和A三種單位形式表示。圖7(d)為正弦位置響應(yīng)動(dòng)態(tài)誤差隨時(shí)間變化的曲線。由圖7可知，在基于遞推二乘法的自抗擾算法的機(jī)械手控制數(shù)學(xué)模型中，在電流控制和采樣頻率均為20 kHz的條件下，位置動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差可控制在±20脈沖內(nèi)。

3 結(jié)論

仿人機(jī)械手控制精度的提高對(duì)機(jī)器人智能化發(fā)展有著至關(guān)重要的作用。因此，本文研究在對(duì)機(jī)械手設(shè)計(jì)原理和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，為提高機(jī)械手控制精度和靈敏度，對(duì)機(jī)械手設(shè)計(jì)中的電機(jī)自抗擾控制技術(shù)進(jìn)行研究分析，并引入帶有遺忘因子的遞推二乘法對(duì)電機(jī)數(shù)學(xué)模型的慣量和阻尼系數(shù)進(jìn)行識(shí)別，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)控制算法的優(yōu)化。分別對(duì)機(jī)械手的力矩、速度和位置控制進(jìn)行性能測(cè)試。結(jié)果顯示，電流控制頻率達(dá)到20 kHz時(shí)，位置動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差可控制在±20脈沖內(nèi)。該研究表明，引入帶有遺忘因子的遞推二乘法有助于提高機(jī)械手的整體自抗擾控制技術(shù)水平。提高機(jī)械手的自主反應(yīng)速度和靈敏度依然是下一步研究的主要方向。