小學(xué)生代數(shù)思維培養(yǎng)探析

商紅領(lǐng)/北京市海淀區(qū)中關(guān)村第一小學(xué)副校長(zhǎng)

商紅領(lǐng)

小學(xué)代數(shù)學(xué)習(xí)主要內(nèi)容包括用字母表示數(shù)和正反比例。用字母表示數(shù)參與到“等量關(guān)系”和“變化規(guī)律”的表示和運(yùn)算中，等量關(guān)系和變化規(guī)律就可以刻畫一類事件，體現(xiàn)著字母表示一般性。

方程以及與方程有關(guān)的函數(shù)，是基礎(chǔ)教育階段數(shù)學(xué)教學(xué)最為核心的內(nèi)容，小學(xué)的字母表示數(shù)和正反比例作為代數(shù)思維培養(yǎng)的起始，其重要性可見(jiàn)一斑。

長(zhǎng)期以來(lái)，小學(xué)生早期代數(shù)思維培養(yǎng)一直是老師非常關(guān)心的問(wèn)題。我們知道，算術(shù)和代數(shù)作為兩種不用的思維方式，它們有著本質(zhì)的不同。算術(shù)思維是一種程序性思維，是由已知推出未知，指向問(wèn)題的答案，而代數(shù)思維更加關(guān)注問(wèn)題本身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是一種關(guān)系性思維和結(jié)構(gòu)性思維，將未知與已知放在同等地位上，實(shí)現(xiàn)對(duì)一般性表示、運(yùn)算和推理的認(rèn)識(shí)和理解。用字母表示數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)中的等價(jià)關(guān)系，是幫助學(xué)生從算術(shù)思維走向代數(shù)思維的關(guān)鍵，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。這種“難”，體現(xiàn)在思維方式的“轉(zhuǎn)變”。之所以是“轉(zhuǎn)變”，是因?yàn)樵谥暗膶W(xué)習(xí)中算術(shù)思維的主導(dǎo)地位，已經(jīng)使算術(shù)思維成為學(xué)生的思維習(xí)慣。從算術(shù)到代數(shù)，不但是思維方式的轉(zhuǎn)變，同時(shí)也是一種思維習(xí)慣的轉(zhuǎn)變，這種轉(zhuǎn)變就更加不易了。

如何幫助學(xué)生建立代數(shù)思維呢？如何幫助學(xué)生順利地從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維呢？筆者從實(shí)踐探索中總結(jié)了以下策略：

保護(hù)關(guān)系性思維、結(jié)構(gòu)性思維

（一）用好教材資源，充分理解等號(hào)的等價(jià)關(guān)系

東北師范大學(xué)史寧中教授形象地描述，“方程就是講了兩個(gè)故事，這兩個(gè)故事說(shuō)的是同一件事，是等價(jià)的，我們把兩個(gè)故事用等號(hào)連接起來(lái)，就是方程”。可見(jiàn)方程的核心是建立等價(jià)關(guān)系，而算術(shù)思維，將等號(hào)作為指向結(jié)果的過(guò)程，因此，讓學(xué)生正確認(rèn)識(shí)等號(hào)的功能非常重要。等號(hào)代表等價(jià)關(guān)系，在教材中有很多的體現(xiàn)，例如：

上圖是北師大版一年級(jí)教材中的一道思考題。在這個(gè)題目中等號(hào)代表的不是要算出結(jié)果是多少，而是表達(dá)等號(hào)兩邊是等價(jià)的關(guān)系。教學(xué)中，我們可以把重點(diǎn)放在解題的思考過(guò)程上。例如，引導(dǎo)學(xué)生思考，把這八個(gè)數(shù)分成四組，每組兩個(gè)數(shù)的和是相等的，應(yīng)該如何分組呢？學(xué)生要結(jié)合數(shù)的特征，最大的和最小的湊在一起，第二大的和第二小的放在一起……這樣的思考過(guò)程中，是利用數(shù)的特征，思考相等關(guān)系，等號(hào)是表示兩邊的算式相等，而不是算出結(jié)果是9。我們還可以將題目進(jìn)行一點(diǎn)變化，如下圖：

經(jīng)過(guò)改造后的題目答案不唯一，可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比思考，使學(xué)生意識(shí)到，只要每組中兩個(gè)數(shù)的和相等就是正確的，強(qiáng)化等號(hào)表示的等價(jià)關(guān)系。

再如，小學(xué)四則運(yùn)算中的第二個(gè)基本關(guān)系——乘法。下圖是北師大版四年級(jí)下冊(cè)教材的內(nèi)容。學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，不是真的要通過(guò)計(jì)算找到哪兩個(gè)數(shù)相乘等于4.48或者等于1.015，本質(zhì)上是尋找1.6×2.8=□×□；0.29×3.5=□×□。學(xué)生是在利用關(guān)系解決問(wèn)題，同時(shí)感受等號(hào)代表的等價(jià)關(guān)系。

如上的例題，在教材中不勝枚舉，都是非常重要的、能幫助學(xué)生理解、深化等號(hào)的等價(jià)關(guān)系的重要資源。

等號(hào)的結(jié)構(gòu)性關(guān)系有一個(gè)突出的呈現(xiàn)就是教材中的運(yùn)算定律。如下圖：

在慣有的思維中，學(xué)習(xí)運(yùn)算律最重要的作用是簡(jiǎn)便運(yùn)算。因此，老師們非常注重引導(dǎo)學(xué)生觀察算式中數(shù)的特征，恰當(dāng)?shù)剡x擇運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。實(shí)際上運(yùn)算定律的學(xué)習(xí)過(guò)程，本身也是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、理解等號(hào)表示等價(jià)關(guān)系和運(yùn)算律本身結(jié)構(gòu)的重要途徑。甚至在解題過(guò)程中，也要適當(dāng)打開(kāi)思路，為學(xué)生創(chuàng)造更多感悟等價(jià)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的機(jī)會(huì)。例如下面的例題：

從題目引導(dǎo)的思路上看，主要目的是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注簡(jiǎn)便運(yùn)算，如果我們把目光放得更加長(zhǎng)遠(yuǎn)，這樣的題目可以放得更開(kāi)，后面兩個(gè)題目的答案是不唯一的，每一個(gè)答案都有加法交換律和結(jié)合律做保障，同時(shí)強(qiáng)調(diào)這些都是等價(jià)關(guān)系，在若干答案中，有些答案在獲取結(jié)果上有一定優(yōu)勢(shì)。這樣的活動(dòng)在分析和說(shuō)理過(guò)程中，對(duì)交換律和結(jié)合律有了充分的應(yīng)用，利于學(xué)生理解，同時(shí)強(qiáng)化了等價(jià)關(guān)系和運(yùn)算律本身的結(jié)構(gòu)性，在對(duì)比中也可以突出根據(jù)數(shù)的特征運(yùn)用運(yùn)算定律可以達(dá)到簡(jiǎn)算的目的。

（二）允許學(xué)生的思維順序，呵護(hù)正向思維

在常態(tài)教學(xué)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題，學(xué)生的算式寫“錯(cuò)”了，回答的問(wèn)題結(jié)果卻是正確的。這種“錯(cuò)”指的是所求的結(jié)果沒(méi)有寫到等號(hào)后面。將答案寫在等號(hào)后面，實(shí)際上就是算術(shù)思維的一種顯著表現(xiàn)（在算術(shù)思維中等號(hào)指向的是運(yùn)算結(jié)果）。例如以下例題：

學(xué)生在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，一般會(huì)出現(xiàn)兩種情況。一種是5-4=1（個(gè)）、5-3=2（個(gè)），還差1個(gè)杯子2個(gè)勺子，這是我們所期望的學(xué)生表現(xiàn)。另外一種是4+1=5（個(gè)）、3+2=5（個(gè)），還差1個(gè)杯子2個(gè)勺子，這就是上面提到的算式寫“錯(cuò)”了，特別是當(dāng)提問(wèn)的方式是：需要增加幾個(gè)杯子？增加幾個(gè)勺子？寫成這樣的“錯(cuò)誤”算式的同學(xué)會(huì)更多一些。

教師如何看待學(xué)生的第二種情況，直接反映了我們頭腦中對(duì)代數(shù)思維的認(rèn)識(shí)。如果我們站在代數(shù)思維的角度看第二種情況，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的算式是建立在一個(gè)等量關(guān)系基礎(chǔ)上的數(shù)學(xué)表達(dá)，只是學(xué)生還不會(huì)使用代數(shù)的表達(dá)方式。這個(gè)等量關(guān)系就是“現(xiàn)有的杯子+增加的杯子=5”“現(xiàn)有的勺子+增加的勺子=5”。我們需要幫助學(xué)生解決的是如何進(jìn)行正確表達(dá)，而不是糾正學(xué)生算式的錯(cuò)誤，不能簡(jiǎn)單粗暴地要求將答案放到等號(hào)后面。

站在算術(shù)思維和代數(shù)思維的視角看待我們學(xué)生的兩種方法都是正確的，這樣的教學(xué)落在每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知中兩種方法都是對(duì)的。這個(gè)時(shí)候，在學(xué)生頭腦中，算術(shù)法和代數(shù)法是并存的，可以減少后繼學(xué)習(xí)中對(duì)代數(shù)法的不適應(yīng)，減少思維方式和思維習(xí)慣的扭轉(zhuǎn)阻力。

（三）創(chuàng)造更多使用關(guān)系性思維解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)

有了上面教材中的示例，有了學(xué)生表現(xiàn)的分析，我們可以沿著這樣的思路給學(xué)生創(chuàng)造更多使用關(guān)系性思維解決問(wèn)題的機(jī)會(huì)。例如以下例題：

學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，觀察數(shù)的變化，利用關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題。在解決□+△=10；3+〇=▽兩個(gè)問(wèn)題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生找到所有答案，感受符號(hào)的代表性，以及在等量關(guān)系中變化的依存關(guān)系，滲透函數(shù)思想。

整體把握教材，關(guān)注單元主題

列方程解題的優(yōu)勢(shì)是在解決相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，將未知量放在和已知量同等地位來(lái)思考問(wèn)題，可以降低思維的負(fù)擔(dān)。例如，在北師大版五年級(jí)下冊(cè)教材中安排的《郵票張數(shù)》和《相遇問(wèn)題》兩個(gè)內(nèi)容。《郵票張數(shù)》解決的是“和倍問(wèn)題”中求一倍量的問(wèn)題，《相遇問(wèn)題》是一個(gè)求相遇時(shí)間的問(wèn)題。

以相遇問(wèn)題為例，相信很多老師都會(huì)在課堂上給學(xué)生獨(dú)立思考解決“相遇問(wèn)題”的時(shí)間，在學(xué)生的交流中充分理解“相遇問(wèn)題”的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而學(xué)會(huì)解題。

值得注意的是一般情況下，教材是鼓勵(lì)學(xué)生利用多種方法解題，而這個(gè)內(nèi)容教材卻只給了一種解法。即使使用方程解決問(wèn)題，同樣也有“速度和×?xí)r間＝路程和”，為什么教材對(duì)“淘氣路程+笑笑路程＝總路程”情有獨(dú)鐘呢？

我們不妨回到單元整體的角度來(lái)看待這個(gè)問(wèn)題。本單元的主題是“用方程解決問(wèn)題”，學(xué)生要經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為方程的過(guò)程，積累將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗(yàn)，會(huì)用方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，進(jìn)一步理解等量關(guān)系，感受方程的思想和價(jià)值。因此，從單元的角度看，《郵票張數(shù)》《相遇問(wèn)題》既是本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)更是學(xué)習(xí)“用方程解決問(wèn)題”的工具。

作者和學(xué)生們

用方程解決問(wèn)題，學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)什么呢？用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，一般有三個(gè)關(guān)鍵步驟：第一，依據(jù)題意找出數(shù)量之間的相等關(guān)系；第二，根據(jù)等量關(guān)系列出方程；第三，解方程。可見(jiàn)，利用方程解決問(wèn)題的第一步，并不是直接向著問(wèn)題的結(jié)果前進(jìn)，而是先找到問(wèn)題中的等量關(guān)系，并列出方程。本單元中的方程模型是“ax±bx=c”，教材中選取的《郵票張數(shù)》是“和倍問(wèn)題”和《相遇問(wèn)題》一樣，都屬于這一模型。這也回應(yīng)了本單元的兩個(gè)重點(diǎn)核心：一是建構(gòu)ax±bx=c模型，二是學(xué)習(xí)一種代數(shù)解決問(wèn)題的方法，先建立等量關(guān)系，列出方程，解方程進(jìn)而解決問(wèn)題，體現(xiàn)著模型思想。

有了對(duì)教材的整體把握，才能讓我們更加明確每一節(jié)課的重點(diǎn)，在《相遇問(wèn)題》這節(jié)課中，學(xué)習(xí)的目的不是簡(jiǎn)單地讓學(xué)生會(huì)解相遇問(wèn)題的題目，而是理解和構(gòu)建ax±bx=c模型，學(xué)習(xí)一種新的解決問(wèn)題的思路。通過(guò)先建構(gòu)等量關(guān)系列方程，解方程即解決問(wèn)題，進(jìn)而更好地培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。

在使用中發(fā)展代數(shù)思維

（一）適當(dāng)增加一些利用代數(shù)方法解決問(wèn)題的要求

利用字母表示等量關(guān)系，進(jìn)而解決問(wèn)題，是不同于學(xué)生慣有的用算術(shù)思維解決問(wèn)題的新策略，是一種新的思維方式。學(xué)生的不習(xí)慣是正常現(xiàn)象。教師要引導(dǎo)學(xué)生從新的思維方式和新的解題策略的角度來(lái)認(rèn)識(shí)用方程解決問(wèn)題。同時(shí)，我們必須清楚地認(rèn)識(shí)到，利用方程解決問(wèn)題本身是代數(shù)思維培養(yǎng)的重要途徑。從我們自身的認(rèn)知中首先不排斥用方程解決簡(jiǎn)單問(wèn)題，要有意識(shí)地鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用方程解決問(wèn)題，并不斷激勵(lì)學(xué)生。如在教學(xué)中，我們可以說(shuō)“既然你已經(jīng)會(huì)用算術(shù)的方法解決問(wèn)題了，是否可以接受新的挑戰(zhàn)呢？”讓會(huì)用算術(shù)法解題的學(xué)生也能意識(shí)到，用方程解決問(wèn)題是自己的一項(xiàng)新本領(lǐng)，進(jìn)而愿意用新的思維方式去解決原來(lái)的問(wèn)題。

（二）鼓勵(lì)算法多樣化中的代數(shù)方法

新的課程改革鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的算法多樣化，算法多樣化可以豐富學(xué)生對(duì)問(wèn)題本身的感知，各種方法之間建立聯(lián)系，也是對(duì)學(xué)生高階思維能力的培養(yǎng)。算法多樣化的價(jià)值已經(jīng)成為教師的基本共識(shí)。在教學(xué)中，可以鼓勵(lì)學(xué)生在算法多樣化中體現(xiàn)“數(shù)學(xué)思維”上的多樣化，從解題方法的多樣化，到解題策略上的多樣化，最后到思維方式的多樣化。例如下面的問(wèn)題：

長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是24厘米，寬是3厘米，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是多少厘米？

學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)下面幾種不同的解題方法：

方法一：24÷2-3=9

方法二：（24-3×2）÷2=9

方法三：（3+5）×2=16

（3+6）×2=18

（3+7）×2=20

（3+8）×2=22

（3+9）×2=24

方法四：（3+x）×2=24

對(duì)比四種不同解題方法，我們不難發(fā)現(xiàn)，方法一和方法二屬于解題思路的不同，方法一是先求出長(zhǎng)寬之和減去寬等于長(zhǎng)，方法二是用周長(zhǎng)減去兩個(gè)寬再除以2等于一個(gè)長(zhǎng)。方法三與前兩種方法的不同在于策略上的差異，是通過(guò)嘗試列舉獲得結(jié)果。方法四則是用代數(shù)的方法解決問(wèn)題。前三種方法雖然有思路上的不同、策略上的不同但還都是在算術(shù)思維的范疇內(nèi)思考問(wèn)題，而第四種方法則是從代數(shù)思維角度構(gòu)建等量關(guān)系列出方程，通過(guò)解方程獲得答案，是一種思維方式上的多樣化。和學(xué)生共同分析各種方法之間的聯(lián)系和差異，鼓勵(lì)學(xué)生從不同的解題思路走向不同的解題策略，再走向思維方式的多樣化，可以更好提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，促進(jìn)學(xué)生算術(shù)思維和代數(shù)思維的共同發(fā)展。

習(xí)慣的力量是強(qiáng)大的！代數(shù)思維作為與算術(shù)思維不同的一種思維方式，需要從小培養(yǎng)，讓學(xué)生在兩種思維的碰撞、交流、交匯中不斷成長(zhǎng)，期待代數(shù)思維能像算術(shù)思維一樣，在學(xué)生頭腦中變得自然、順暢！