主軸回轉誤差測量技術研究現狀

□ 顧偉德 □ 周 亮 □ 萬春鵬

哈爾濱工業大學 機電工程學院 哈爾濱 150001

1 研究背景

主軸回轉誤差一直是超精密領域的研究重點,如何準確測量和減小主軸回轉誤差,吸引了眾多國內外研究人員的目光。目前,市場上已出現了轉速60 000 r/min時軸向竄動和徑向跳動小于25 nm的空氣靜壓刀具主軸,這對主軸回轉誤差測量技術提出了更高的要求。由于數據采集、信號處理、傳感器等技術的高速發展,納米級甚至亞納米級的主軸回轉誤差測量已成為可能[1-2]。

蔡鶴皋[3]指出主軸瞬時回轉中心與其平均回轉中心的距離就是對應時刻主軸回轉運動的誤差。主軸回轉誤差從表現形式上分為軸向竄動、徑向跳動、傾角擺動。軸向竄動指主軸沿軸伸方向的移動,通常用一個位移傳感器測量。徑向跳動指主軸沿半徑方向的運動,需要取一個截面測量,再用圓度誤差的評定方法計算得到。傾角擺動指主軸沿徑向彎曲,通常取兩個截面計算傾角。

針對高速高精度的主軸,靜態打表法并不適用。從測量系統角度看,該類主軸回轉誤差測量技術可以分為探針法、光學法、刻痕法。探針法是出現最早、應用最成熟的方法,代表方法有反轉法、多點法、多步法。光學法是近二三十年發展起來的技術,以干涉法和標靶法為主?？毯鄯ǖ难芯亢蛻孟啾惹皟烧咻^少,但使用恰當也可以達到優于50 nm的重復精度[4],而且不需要安裝標準球。

主軸誤差產生的主要原因是軸承與支撐處的配合、溫度、振動。除以上因素外,影響主軸誤差測量的因素還有標準球的安裝偏心、標準球的形狀誤差、傳感器之間的差異性、傳感器的安裝角度偏離等。

2 探針法研究現狀

探針法是出現最早,也是使用最多的方法。文獻[4]介紹了20世紀中葉Tlusty和Bryan將標準球用于主軸回轉誤差的測量。此后,研究人員遵循這種方法進行研究。這種方法在當時環境下有利于主軸回轉誤差的測量,但對于微米級及以下的回轉誤差,標準球的形狀誤差無疑會造成影響,尤其是當主軸回轉誤差和標準球形狀誤差相差一個量級以內時。對此,多種回轉誤差分離技術被提出,反轉法、多點法、多步法是最具代表性的方法。

2.1 反轉法

反轉法最早由Donaldson[5]提出,基本原理如圖1所示。傳感器在X軸方向完成第一次測量,保持主軸不動,將傳感器和標準球同時旋轉180°,進行第二次測量。設主軸轉動的角度為θ,標準球的形狀誤差為r(θ),X軸方向的跳動誤差為x(θ),記兩次傳感器的測量結果為m1(θ)和m2(θ),m1(θ)和m2(θ),分別為:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(1)

m2(θ)=r(θ)-x(θ)

(2)

則r(θ)和x(θ)分別為:

r(θ)=[m1(θ)+m2(θ)]/2

(3)

x(θ)=[m1(θ)-m2(θ)]/2

(4)

▲圖1 Donaldson反轉法原理

反轉法的數據處理非常簡單,若要獲得Y軸方向的跳動誤差,則只需要沿Y軸方向再采用一次反轉法即可。反轉法對于傳感器和標準球的安裝精度有較高的要求。Grejda[6]針對上述要求,在測量系統中加入高精度的分度臺和特殊的反轉卡盤,如圖2所示。第二次測量時,保持傳感器和標準球不動,將主軸旋轉180°,可以有效減小多次安裝引起的誤差,達到亞納米級的重復精度。文獻[1]通過蒙特卡洛模擬法驗證了Grejda反轉法相比Donaldson反轉法,不確定度更低。Cui Hailong等[7]設計了特殊的傳感器卡具,以保證傳感器旋轉180°的精度,同時用分度臺和調節裝置控制安裝球的旋轉角度與偏心距離,達到納米級的重復精度,測試平臺如圖3所示。文獻[7]還指出,增加測量圈數可以有效減小角度對回轉誤差的影響,即可以降低角度引起的不確定度。

▲圖2 Grejda反轉法原理

2.2 多點法

多點法中研究較多的有兩點法、三點法、四點法。筆者以三點法為例,介紹基本原理。如圖4所示,三個傳感器以夾角α和β布置在同一平面,并且對準標準球的球心。記三個傳感器獲得的數據分別為m1(θ)、m2(θ)、m3(θ),則m1(θ)、m2(θ)、m3(θ)分別為:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(5)

m2(θ)=r(θ-α)+x(θ)cosα+y(θ)sinα

(6)

m3(θ)=r(θ-β)+x(θ)cosβ+y(θ)sinβ

(7)

▲圖3 反轉法測試平臺

▲圖4 三點法原理

設置一組權值g=(g1,g2,g3),對三次測量的數據進行加權處理,加權結果用s(θ)表示。為了方便計算,g1取1。s(θ)為:

s(θ)=m1(θ)+g2m2(θ)+g3m3(θ)

=r(θ)+g2r(θ-α)+g3r(θ-β)

+(1+g2cosα+g3cosβ)x(θ)

+(g2sinα+g3sinβ)y(θ)

(8)

消除徑向誤差x(θ)和y(θ),令:

1+g2cosα+g3cosβ=0

(9)

g2sinα+g3sinβ=0

(10)

則g2和g3分別為:

(11)

(12)

s(θ)可進一步表達為:

s(θ)=r(θ)+g2r(θ-α)+g3r(θ-β)

(13)

對式(13)進行傅里葉變換,得到:

S(k)=G(k)R(k)

(14)

G(k)=1+g2e-jk∞+g3e-jkβ

(15)

式中:S(k)、R(k)分別為s(θ)、r(θ)的傅里葉變換結果,k為諧波次數;G(k)為傅里葉變換后的權函數。

通過逆傅里葉變換得到r(θ)為:

(16)

于是有:

x(θ)=m1(θ)-r(θ)

(17)

(18)

以上是基于傅里葉變換的分離技術,也被稱為頻域法。以下再介紹矩陣運算的分離技術,也被稱為時域法。

設一圈采樣數為N,每一采樣點代入式(13),并組成矩陣,有:

(19)

由于r(θ)具有周期性,式(19)可轉換為:

(20)

式中:T為N×N矩陣,由0、1、g2、g3組成。

理論上,通過求T-1,可以求解出r(θ)。但是N的值往往較大,在100以上,求T-1的運算量大,需要通過數值分析的方法快速求解,這一過程又會有初值選取的問題。

頻域法和時域法的推導看似完美,但當G(k)為0時會出現諧波抑制。Baek等[8]針對這一問題進行詳細研究,得到滿足諧波抑制時諧波次數k的域,其表達式為:

k={k|kα=±α+2nπ,n∈Z}

∩{k|kβ=β+2nπ,n∈Z}

(21)

研究人員使用四個傳感器,包含兩個三點法,進行測量試驗。兩組數據得到的結果是一致的,驗證了設計的合理性。Shi Shengyu等[9]進行了更深入的研究,用傳遞函數研究角度引起的不確定度。任意α和β角引起的不確定度如圖5所示。研究人員選取兩組角度進行蒙特卡洛模擬,發現不同頻率下兩組角度不確定度的值有高有低,但都比理論值高。由此,提出使用兩組角度的混合法和融合法來進一步降低不確定度。最終通過試驗驗證了這一想法,并且融合法的效果更好。Gao Wei等[10]提出混合法,同時使用位移傳感器和角度傳感器進行測量,一共建立了三套理論,從根本上改變G(k)的表達式,解決了諧波抑制問題。在三套理論中,正交一角度傳感器一位移傳感器的效果更好[11],并且只需要兩個傳感器。

▲圖5 任意α和β角引起的不確定度

由于傳感器之間存在差異,這種差異對徑向誤差評價有影響。一種方法是減少傳感器的數量,也就是采用兩點法。然而兩點法不能完全分離標準球的形狀誤差。一些改進后的方法,比如由三點法衍化的兩點法[12]、數理統計法[13-14],都存在原理性誤差,精度受到限制。呂銘等[15]將集合經驗模態分解法用于傳感器數據處理,分離出熱變形產生的誤差數據,試驗結果重復性好。如果能增加對比試驗,與公認的高精度方法對比,會更有影響力。另一種方法是使用同一個傳感器在預定角度進行多次測量。Cappa等[1]受到Grejda改進Donaldson反轉法的啟發,設計相似的裝置來控制主軸精確轉動,并保持傳感器不動,最終測量的不確定度僅為0.455 nm,這一相似的三點法測量裝置如圖6所示。除此以外,Liu Fei等[16]直接將傳感器的敏感度作為參數引入計算公式,設計兩兩間成90°的四點法,成功分離了形狀誤差和徑向誤差。

▲圖6 三點法測量裝置

2.3 多步法

多步法原理如圖7所示[17]。傳感器在初始位置進行一次測量,然后與標準球一起轉動2π/n,再進行一次測量,直到標準球轉動n-1次,傳感器獲得n次測量數據,表達式為:

m1(θ)=r(θ)+x(θ)

(22)

▲圖7 多步法原理

m2(θ)=r(θ+2π/n)+x(θ)

(23)

mn(θ)=r[θ+(n-1)2π/n]+x(θ)

(24)

累加得到:

(25)

由于標準球的形狀誤差具有周期性,形狀誤差累加項的結果是相應的基頻和倍頻都相互抵消,即累加項的值為0。因此,X軸方向的徑向跳動x(θ)為:

(26)

則標準球形狀誤差r(θ)為:

r(θ)=m1(θ)-x(θ)

(27)

多步法也存在諧波抑制,這個問題出現在形狀誤差的累加項上。對累加項進行傅里葉變換后發現,n階及其倍頻時累加項的值不是0,誤差進入主軸的徑向誤差中,最終導致分離出的標準球形狀誤差中n階及其倍頻成分缺失。

以下介紹另外一種基于傅里葉變換的數據處理方法。

設置一組權值g=(g1,g2,…,gn),對n次測量數據進行加權處理,得到:

(28)

當權值累加和為0時,x(θ)項被消除,再進行傅里葉變換,可以簡寫為:

M(k)=G(k)R(k)

(29)

式中:M(k)為式(28)等號左側傅里葉變換的結果;R(k)為式(28)等號右側有關r(θ)項的傅里葉變換結果。

通過逆傅里葉變換得到r(θ),進一步可以得到x(θ)為:

(30)

式(30)中,當G(k)為0時,k為n的整數倍,會導致諧波抑制,結論與前一種方法是一致的。

對于多步法的諧波抑制問題,一般的解決途徑是增大步數n。因為高階諧波的幅值往往很小,超過某一頻率后可認為幅值是0。文獻[17]中提到國際上多步法大部分為10步,美國國家標準是12步。喬凌霄等[18]提出混合頻域補償方法,首先進行三步法、四步法、五步法測量,采用第二種數據處理方法,對于三步法中缺失的3倍頻諧波用四步法或五步法中相應頻率的幅值補償,使第一次出現諧波抑制在60倍頻,超過實際需要的倍頻范圍,最終分離出的標準球的形狀誤差與廠商給出的數值最為接近。但是,兩種方法都會導致測量時間增加,溫度和振動造成的影響同時將增大。Anandan等[19]提出多方向法,打破多步法每次轉動同一個角度的條件,增大不發生諧波抑制的頻率帶寬,隨著步數的增加,帶寬不斷增大。文獻[19]對15個角度進行任意組合,計算滿足相應帶寬要求的概率,如圖8所示,圖8中橫坐標最小帶寬為諧波頻率的倍數。五個方向組合滿足帶寬大于50倍諧波頻率的概率接近97%,極大減少了測量次數,進而減小溫度和振動的影響。

▲圖8 多方向法滿足相應帶寬要求概率圖

2.4 標準球偏心誤差分析

標準球偏心誤差是標準球引入后的另一大誤差源。普遍觀點認為偏心誤差在測量結果中表現為一次諧波,而主軸回轉誤差不包含一次諧波,因此往往采用一次濾偏法來消除,但是一些學者的研究顯示了不同的看法。

標準球安裝偏心如圖9所示,f為標準球安裝偏心距離,R為標準球的平均半徑,θ為主軸轉動的角度,則標準球安裝偏心f引起的傳感器測量誤差l為:

(31)

▲圖9 標準球安裝偏心

式(31)中含有f的二次項,這個值無法通過一次濾偏法濾除。對此,若要提高回轉誤差測量精度,必須對偏心進行控制。假設偏心f是微米級,半徑R是毫米級,則偏心產生的影響是納米級。

Shu Qiang等[2]用試驗方法測量微米級偏心對傳感器數據的影響,擬合曲線如圖10所示,是一條二次曲線。研究人員依據這條曲線對傳感器數據進行修正,減小偏心誤差的影響,達到納米級的不確定度。

▲圖10 微米級偏心對傳感器數據影響曲線

Lu Xiaodong等[20-21]用矢量形式表達徑向誤差,構建新的二維框架理論。一個重要發現是,-1階矢量的模是一個定值。研究人員認為這是主軸徑向誤差的組成部分,稱為基本徑向誤差運動,并用主軸和軸承之間的運動進行解釋。研究人員用不同的方法進行測量,結果顯示-1階矢量的模值高度一致。這一發現與一次濾偏法的認知是不同的,因為一次濾偏法同時消除了±1階諧波。

3 光學法研究現狀

光學法分為干涉法和標靶法。曹慶輝[22]建立干涉條紋形狀與主軸傾角運動誤差模型,用移相干涉測量技術測量主軸傾角。金岸等[23-24]采用標靶法,在主軸端面中心安裝發光源,用電荷耦合器件相機記錄主軸回轉時發光源的軌跡,通過圖像處理和建模分析得到回轉誤差,如圖11所示。這種方法的一個好處是不需要標準球。

▲圖11 標靶法原理

4 刻痕法研究現狀

刻痕法是一種間接測量方法,而探針法和光學法是直接測量方法。刻痕法有兩種模式,一種是在主軸上安裝刀具,在樣品上進行刻劃;另一種是在主軸上安裝樣品,保持刀具不動進行刻劃。Geng Yanquan等[4]開創性地將原子力顯微鏡應用于主軸軸向誤差和徑向誤差的測量,采用第二種模式,將原子力顯微鏡的探針作為刀具在樣品上刻劃,再用原子力顯微鏡對有劃痕的樣品進行表面探測,如圖12所示。試驗結果顯示這一方法重復性好,與主軸廠商提供的數據接近。

▲圖12 基于原子力顯微鏡的回轉誤差測量原理

5 結束語

現有的主軸回轉誤差測量技術分為探針法、光學法、刻痕法。筆者主要介紹了探針法中反轉法、多點法、多步法的研究現狀,對標準球偏心誤差進行了分析。探針法的理論研究相對成熟,主要工作集中在如何減小操作誤差,降低不確定度。針對標準球偏心誤差,介紹了三組研究人員的部分研究成果。部分研究成果與一般的標準球偏心誤差認知不同,尤其是發現了基本徑向誤差運動。

筆者的介紹可以為主軸回轉誤差測量技術的應用提供參考。