改進灰色波形預測方法在降水量預測中的應用

郝慧慧，朱涵鈺

（華北水利水電大學管理與經濟學院，鄭州450046）

0 引 言

降水量和日常生活的旱澇預報、水文水情分析的研究息息相關[1]。隨著人類活動加劇，大量溫室氣體排放，全球溫度不斷升高。干旱和極端降水頻繁發生，給國家經濟發展和人類生產、生活造成嚴重影響，甚至威脅到人類生命財產安全[2]。降水量的多少直接關系到農業發展以及各項政策的制定與實施，建立有效的降水量預測預警模型對我國各行各業的發展具有重大意義[3]。因此，對降水量數據序列進行分析與預測，可為區域水資源合理利用和防汛減災工作提供數據支撐，對保證國民經濟和社會發展具有重要意義[4]。

降水量預測模型可以概括為解釋型和數據驅動型[5]。對于解釋型模型，Priya 等[6]采用ARIMA 模型進行了印度西部季風前降雨數據的趨勢分析。張帥等[7]選取了遞歸神經網絡模型（RNN）解決了降雨量長期預測問題，并選用前饋神經網絡模型（FNN）、小波神經網絡模型（WNN）和整合移動平均自回歸模型（ARIMA）進行對比分析。Byung 等[8]采用ARIMA 模型進行了蒙古地區降水量時空變異性評價和季節性預測。對于數據驅動型模型，宋帆等[9]基于聚類分析的模糊馬爾科夫鏈模型，對全國16 個站點的降雨量進行預測。盧維學等[10]采用隨機森林算法的偏最小二乘回歸（PLS）模型，對城市的降水量進行預測。梁顯麗等[11]基于加權馬爾可夫預測模型對鄂爾多斯市1961?2019年的降水量數據進行預測。熊文真等[12]采用HP?ENN?MC 模型預測了某地區1990?2015年植物生育期的降雨量。上述模型對時間序列的數據要求比較苛刻，同時不能很好地描述數據序列的復雜性，限制了模型的使用與發展。

隨著灰色系統模型的提出與發展，諸多學者開始轉向利用灰色預測模型對降水量數據進行預測和仿真研究。任曄等[13]采用灰色神經網絡組合預測模型對黑龍江省慶安縣年降雨量進行了預測建模。嚴小華[14]采用GM(1，N)模型進行了巢湖區域主汛期降水量長期預測。吳秀明等[15]基于離散型灰色DGM(1，1)預測模型對鞍山市1959?2006年的降雨量進行澇災預測。謝道文等[16]基于灰色系統分析理論建立了優選模型對降雨量監測點進行了選擇。結果表明灰色模型對具有貧信息、不確定性、指數特征的數據序列具有很好的預測效果。而實際的降水量具有非線性、非平穩的特點，受自然和人為因素的影響，降水量隨時可能產生跳躍、擺動的特征，導致模型預測效果不夠理想。因此，針對數據特征波動不穩定的特點，引入分位數構建非等間隔等高線；針對數據具有上升或下降的波動特點，引入斜率等高線；本文構建了斜率非等間隔灰色波形預測模型。并對河南省降水量進行預測，驗證了模型的有效性。

1 研究區概括與數據選取

河南省位于中國中東部地區，地理位置為北緯31°23'～36°22'，東經110°21'～116°39'，東連安徽、山東，南靠河北、山西，北鄰湖北，土地面積為16.7 萬km2，有17 個省直轄市和1 個省直管市。河南省地處亞熱帶和暖溫帶氣候區，地形、地貌、土壤、氣候都有明顯的過渡性特征。地勢西高東低，中東部為平原，西南部為丘陵，降水量多年分布不均，年際間變化較大。本文選取1990?2019年河南省降水量數據，數據來源于《河南省統計年鑒》《河南省農村年鑒》，如圖1所示。

圖1 河南省1990-2019年的降水量趨勢圖Fig.1 Precipitation trend chart of Henan Province from 1990 to 2019

2 模型構建

灰色波形預測是對數據序列的整體發展變化進行預測，該類數據具有變化不規則的特點，通過對等間隔的等高線與數據序列波動圖形折線的交點橫坐標進行GM(1，1)建模。該方法對擺動幅度較為固定，或者具有近似正弦波動的數據序列（圖2）具有很好的預測效果。等高線的選取、確定等高時刻序列、對等高時刻序列進行GM(1，1)建模為灰色波形預測模型的3個步驟。等高線的選取和確定等高時刻序列可以看做是提取數據圖形信息的過程，根據等高線和數據折線的交點提取規律信息進行GM(1，1)建模。

圖2 具有正弦波動趨勢Fig.2 It has a sinusoidal trend

2.1 選取等高線

傳統的灰色波形預測模型是選取等間隔的水平等高線建立GM(1，1)模型群，該方法對于平穩周期性水平波動的數據具有較好的預測效果。對于呈現上升（圖3）、下降（圖4）或波動幅度不穩定（圖5）的數據序列，無法根據數據波動特征準確高效的提取圖形信息。因此本文引入分位數構建非等間隔斜率等高線波形預測模型。

圖3 具有上升波動趨勢Fig.3 It has an upward trend of fluctuation

圖4 具有下降波動趨勢Fig.4 It has a downward trend of fluctuation

圖5 具有不穩定波動趨勢Fig.5 It has the tendency of unstable fluctuation

定義1：設原始序列X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，則稱xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]為序列X的(k)～(k+1)段的線段，其中k∈[1,n]為整數，t∈[k,k+1]為未知參數。稱{xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，|k=1,2,…,n?1}為序列X的折線，即為X={xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，|k=1,2,…,n?1}。

定義2：（斜率等高線）設原始序列為X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，擬合線性回歸方程為：

式中：ε為線性誤差項；k∈[1,n]為整數。

定義3：（非等間隔等高線） 令原始序列為X=(x(1),x(2),…,x(i),…,x(n))，設原始序列的最大最小值分別為xα(i)和xα(j)。則有1°原始序列最低等高線和最高等高線為ξ0=α0+α1k和ξs=αs+α1k，其中α0=xα(i)?α1i，αs=xα(j)?α1j。2°令(ξ1,ξ2,…,ξs?1)為數據序列的s等分位，則定義ξi=α1k+α0++ξ'i,i=1,2,…,s?1。其中ξ'i=則稱 (ξ0,ξ1,ξ2,…,ξs?1,ξs)所確定的斜率非等間隔等高線為原始數據的s+1條等高線。

2.2 確定等高時刻序列

根據2.1 節確定的非等間隔等高線，按照等高線序列出現的時間先后順序確定等高時刻序列。

定義4：（等高點） 設方程組（2） 的解為(tl,x(tl)),l=1,2,…，則(tl,x(tl)),l=1,2,…為ξi?等高點，是折線X與ξi?等高線的交點。

命題1：若X的第(k)～(k+1)段上有ξi?等高點，則其坐標為 ：

證明：第(k)～(k+1) 段折線方程為xk=x(k)+(t?k)[x(k+1)?x(k)]，聯立令ξi(k)=α1k+αi，ξi(k+1)=α1(k+1)+αi，則有αi=ξi(k)?α1k，α1=ξi(k+1)?ξi(k)，帶入聯立方程可得X的第(k)～(k+1) 段上與ξi?等高線交點的橫坐標為k+

定義5：（等高時刻序列）設Xξi=(P1,P2,…,Pmi)為ξi?等高點序列，其中Pj位于第(kj)～(kj+1)段折線上，其坐標為：記qj=kj+則稱Q(i0)=(qi(1),qi(2),…,qi(mi)),i=0,1,2,…,s為ξi?等高時刻序列。

2.3 GM(1，1)建模與預測

經典GM(1，1)建模至少需要4個數據才能完成。因此，本文構建的非等間隔斜率等高線波形預測模型對含有4 個及4 個以上元素等高序列的橫坐標建模。

定義6：設Q(i0)=(qi(1),qi(2),…,qi(mi)),i=0,1,2,…,s為ξi?等高時刻序列，為ξi?等高時刻序列GM(1，1)預測值，刪除無效預測時刻，并將剩余預測值從小到大進行排序，得到(1) <(2) <…<(ns)，其中若X=ξq(k)為q(k)所對應的斜率等高線，則X(0)的預測波形為其中

3 應用分析

3.1 預測過程

依據上述分析步驟，進行等高線選取。當s=9 時，10 條等高線斜率為?4.48，常數項分別為(α0,α1,…,α9)=(663.5,720.79,777.08,833.87,890.66,946.96,1 003.75,1 060.54,1 116.83,1 173.62)。由此確定10條等高時刻序列如下：

由GM(1，1)建模性質可知，GM(1，1)建模至少需要4個數據，故本文對組等高時刻序列進行GM(1，1)建模，得到各等高時刻序列的時間響應式為：

3.2 結果比較

根據等高時刻預測序列和GM(1，1)建模，得到非等間隔斜率等高線波形預測結果，如圖6所示。為了驗證本文模型的有效性，選用傳統的灰色波形預測模型和經典的GM(1，1)預測模型進行對比分析，結果如圖7和圖8所示。由圖7可知，傳統的灰色波形預測波動性較大，主要原因是傳統灰色波形預測選取水平等間隔的等高線，在提取數據時，沒有考慮數據的下降趨勢和分布特征，從而導致擬合數據波動性較大，擬合結果誤差較高。由圖8可知，經典GM(1，1)預測擬合值雖然出現明顯的下降趨勢，但忽略了數據的波動性特征，擬合誤差較大。

圖6 改進灰色波形預測Fig.6 Improved grey waveform prediction

圖7 傳統灰色波形預測Fig.7 Traditional grey waveform prediction

圖8 經典GM(1，1)預測Fig.8 Classical GM(1，1)prediction

在預測精度方面，選用均方根誤差和平均相對誤差對模型精度進行檢驗，結果如表1所示。由表1可知，改進的灰色波形預測模型在均方根誤差和平均相對誤差方面均優于傳統的灰色波形預測模型和經典的GM(1，1)預測模型。

表1 預測精度對比Tab.1 Comparison of prediction accuracy

4 結 論

針對降水量年際間非平穩、非線性的特點，本文在已有波形預測模型的基礎上，引入斜率非等間隔波形預測模型，選取1990?2019年河南省降水量數據進行驗證。結果表明，斜率非等間隔灰色波形預測模型在預測降水量時的精度明顯提高。通過對比分析可知，改進的灰色波形預測方法對于具有非平穩、非線性特征的數據序列具有較好的預測效果。目前，采用灰色波形預測模型對降水量預測的應用較少，值得研究和改進的部分還有很多，不僅體現在對模型的改進，結合其他模型對灰色波形預測模型進行優化也是未來工作的一部分。