基于Levenberg-Marquardt法的中國大陸地區地震烈度分布快速評估的偏差特性分析

任 靜 張 丹 李志強 黃帥堂 譚專條 王尅豐 陳經綸 陳宇星

1）中國北京 100045 中國地震臺網中心

2）中國鄭州 450000 中國地震局地球物理勘探中心

3）中國烏魯木齊 830011 新疆維吾爾自治區地震局

4）中國海口 570203 海南省地震局

0 引言

地震災害發生之后，對地震成災范圍、人員傷亡和經濟損失等快速估計，統稱為地震災害快速評估。地震災害快速評估是地震應急決策輔助建議的重要基礎和科學依據（楊天青等，2006）。

“九五”以來，中國先后有20 余個城市和地區開展了震害預測工作，并各自建立了防震減災信息管理與輔助決策系統（GB/T 19428—2003 地震災害預測及其信息管理系統技術規范）。“十五”期間，以震害預測研究成果為基礎，基本實現了覆蓋中國大陸的全國一體化地震應急指揮技術系統網絡（帥向華等，2009），形成了國家、區域、城市三級地震應急指揮體系。這些震害快速評估系統或震害預測系統的工作原理是，在觀測到地震發生時間、地點和震級后，未達地震現場調查前，利用對應地區地震烈度衰減關系給出震區不同烈度分布及影響范圍，并快速估算地震災害損失，提出地震應急決策和救援方案，供抗震救災指揮部決策使用。此烈度分布確定的偏差程度決定了整個系統的可靠程度（許衛曉等，2012）。

中國幅員遼闊，歷史地震資料豐富，研究者對不同地區、不同地質構造環境的地震烈度衰減關系進行了研究，得出了各研究區統計關系，例如：汪素云等（2000）將中國大陸以105°E 分為東部和西部2 個區，并確定兩區地震烈度衰減關系；崔鑫等（2010）使用20 世紀華南地區48 次中強地震事件96 條等震線數據，擬合得到華南地區地震烈度衰減關系；王繼等（2008）收集了1991—2006 年華中、華南25 次地震的烈度分布圖，配合l918—l989 年9 次地震烈度分布圖，重新擬合兩區地震烈度衰減關系。利用這些烈度衰減關系，可對相應地區將來發生的某次地震進行烈度分布評估，并對初評結果的偏差程度進行深入研究。

通常，地震烈度衰減關系受震源特性、深部構造、傳播介質、場地條件、建筑物結構類型和居民點分布、地形等因素的影響，存在較大地區差異（汪素云等，2000）。為此，選取我國大陸地區發生的中強地震，建立西部（西北地區、西南地區）、東部（華北、東北地區、華中、華南地區）地區的地震烈度衰減關系，并就某些強震震例進行烈度分布評估，對其偏差特性和一般趨勢進行分析，旨在研究利用烈度衰減關系進行烈度分布評估的一般規律。

1 我國大陸地區橢圓地震烈度衰減關系的建立

1.1 震例選取

可依據以下原則選取震例烈度資料：①震例數據來源可靠；②震例等震線分布圖清晰；③等震線圖中參考點較充分，可準確地進行地理坐標配準和數字化；④烈度I和震級MS獨立測定，以降低烈度I和震級MS之間相關性。

文中資料主要取自《中國近代地震目錄（公元1912—1990 年）》（中國地震局震害防御司，1999）、《中國地震災害損失資料匯編（1966—1989）》（國家地震局震災應急救援司，2015）、《中國震例1966—2007》、（中國地震局監測預報司，2001）、《中國大陸地震災害損失匯編（2001—2005）》（中國地震局震災應急救援司，2010）、《中國大陸地震災害損失匯編（2006—2010）》（中國地震局震災應急救援司，2015）、中國地震局網站及相關文獻等。基于以上原則，選取1900 年以來我國大陸西部地區4.0 級以上震例488 個，東部地區4.0級以上震例182 個，分區統計結果見表1。

表1 1900 年以來我國震例統計Table 1 The earthquakes on the Chinese mainland since 1900

1.2 研究區域劃分

沿用中國地震烈度區劃圖的做法，以105°E 為界，將中國大陸地區劃分為東部和西部2 個區（汪素云等，2000）。中國西部進一步細分為西南及西北2 個子區域，其中：西南地區指中國西南部廣大腹地，包括青藏高原東南部、四川盆地、云貴高原等，研究區域包括：四川、貴州、云南、西藏、重慶、廣西；西北地區指大興安嶺以西，昆侖山—阿爾金山、祁連山以北廣大地區，研究區域包括：陜西、甘肅、青海、內蒙古（105°E 以西）、寧夏、新疆。中國東部進一步細分為華北、東北及華中、華南 2 個子區域（汪素云等，2000），其中華北、東北地區范圍大體包括華北、遼東地區以及渤海和黃海大部，北至大青山，西至六盤山，南至大別山，研究區域包括：北京、天津、河北、山西、遼寧、吉林、黑龍江、山東、河南、內蒙古（105°E 以東）（崔鑫等，2010）；華中、華南地區包括：上海、江蘇、浙江、安徽、福建、江西、湖北、湖南、廣東、海南（王繼等，2008）。

1.3 地震烈度衰減模型

受發震構造的影響，我國西部地區地震烈度圖多呈橢圓形（楊彥明等，2017），故本研究采用橢圓模型進行烈度衰減關系擬合，公式如下

式中：I為地震烈度；R表示震中距；M為地震震級；R0為近場飽和因子；參數A、B、C1、C2、D1、D2為回歸常數，其中C1和C2表示幾何擴散阻尼的影響，D1和D2表示介質阻尼的影響；ε為回歸分析中表示不確定的隨機變量，通常假定為正態分布，其均值為零。

1.4 Levenberg-Marquardt 法

應用非線性回歸理論，任何反演問題可以如下形式表達。

式中，m代表模型參數，d代表觀測數據，G為構造算子，由向量m和d構造而得。反演問題可以表述為給定觀測數據d，通過最優算法尋找模型參數值m。文中采用Levenberg-Marquardt非線性反演方法（簡稱LM方法），尋找加權殘值范數f(m)最小時模型參數值A、B、C1、Ra0、C2、Rb0，公式如下

定義標量值函數（sclar-valued functions）為

定義向量值函數（vector-valued function）為

通過下式計算梯度值，即

LM 方法是一種迭代算法，根據式（6）計算Δm的值，并按照下式對模型參數進行更新，進入下一次迭代過程。

式中，I為單位矩陣，J(m)代表雅克比（Jacobian）行列式，定義為

當滿足下式時，模型參數收斂，即加權值范數為最小，此時模型參數即為所求結果。

根據式（1）和（3），得到本研究烈度衰減模型的標量值函數，有

根據式（8），得到雅克比行列式，公式如下

將式（5）、（11）、（12）帶入式（7），得出Δm，進入迭代過程，直至滿足條件式（10）時的m值，即為所求模型參數值，進而得出烈度衰減關系式。

當Rb=0 時，代入式（1），得到沿長軸方向的地震烈度橢圓衰減關系，即

當Ra=0 時，代入式（1），得到沿短軸方向的地震烈度橢圓衰減關系，即

1.5 回歸系數

基于已選震例和中國大陸分區原則，應用LM 迭代算法進行線性回歸，得到各分區地震烈度衰減關系模型，回歸系數結果見表2。

表2 中國大陸地區各分區地震烈度衰減系數Table 2 Regional attenuation coefficients of seismic intensity in Chinese mainland

2 地震烈度衰減關系研究成果

2.1 文獻統計

我國大陸地區幅員遼闊，歷史地震烈度資料豐富，相關地震烈度衰減關系研究成果較多，如：①西部地區：汪素云等（2000）采用橢圓長、短軸聯合衰減模型，選用云川藏、甘青寧、新疆發生的190 個震例，統計得出中國西部地區烈度衰減關系；在此基礎上，肖亮等（2015）選取新疆和川藏2 個統計單元區247 次震例烈度等震線資料，重新擬合西部地區地震烈度衰減關系；②東部地區：汪素云等（2000）采用橢圓長、短軸聯合衰減模型，統計得出中國東部地區烈度衰減關系；崔鑫等（2010）利用華南地區20 世紀48 次中強地震事件96 條等震線數據，擬合得到該區地震烈度衰減關系；王繼等（2010）收集華中、華南地區1991—2006 年25 次中強地震烈度分布圖，配合l9l8—l989 年9 次地震烈度分布圖，擬合得到兩區地震烈度衰減關系。以上文獻所得烈度衰減系數見表3。

表3 我國大陸地區已有文獻中地震烈度衰減系數Table 3 Attenuation coefficients of seismic intensity in Chinese mainland from previous researches

2.2 衰減關系分區域對比

重新整理1900 年以來，MS≥4.0 震例的烈度等震線資料，在前人研究基礎上，增加2010 年以來各研究區發生的顯著有感和破壞性地震，采用線性最小二乘法進行回歸擬合，得到我國大陸西部、東部地區及其細分地區的地震烈度衰減關系，并與汪素云等（2000）的研究結果進行對比，結果見圖1—圖6。

2.2.1 東西部地區綜合對比。采用式（2）、（3），計算得到我國大陸西部、東部地區地震烈度衰減關系，并與汪素云等（2000）的研究結果進行對比，見圖1、圖2，可見大陸東西部地區地震烈度衰減關系趨勢一致。

圖1 西部地區不同文獻中烈度衰減關系對比Fig.1 Comparison of intensity attenuation relations in western China from different studies

圖2 東部地區不同文獻中烈度衰減關系對比Fig.2 Comparison of intensity attenuation relations in eastern China from different studies

與汪素云等（2000）的研究結果相比，地震烈度衰減關系具有以下特點：①在近場半徑R＜ 50 km 范圍內：當MS震級為5.0、6.0 時，兩研究結果相近，當震級MS≥7.0 時，本研究結果偏小；②在中遠場R≥50 km 范圍內，本研究結果衰減更慢。

究其原因可能是：①二者參與研究的震例樣本地震強度組成不同，本研究中MS≤4.0震例樣本比例較高，而在汪素云等（2000）的研究中，MS≥5.0 震例樣本比例存在較高；②在實際工作中，對于震級5.0 以下的較小地震，低烈度區現場評估烈度值存在過大傾向；③在我國大陸東部地區地震烈度衰減關系分析中，本研究使用了少量海域地震資料。

2.2.2 西部分區地震烈度回歸分析。采用式（2）、（3），計算我國大陸西南和西北地區的地震烈度衰減關系，并與汪素云等（2000）、肖亮等（2015）的研究結果進行對比，結果見圖3、圖4，可見不同文獻中地震烈度衰減關系具有相似性。

圖3 我國西南地區不同文獻中地震烈度衰減關系對比Fig.3 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Southwest China from different studies

圖4 我國西北地區不同文獻中地震烈度衰減關系對比Fig.4 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Northwest China from different studies

與汪素云等（2000）、肖亮等（2015）研究結果相比，在我國西南地區和西北地區，地震烈度衰減關系具有以下特點：①在R＜ 50 km 近場范圍內，當震級MS≥ 6.0 時，本文的擬合曲線略低于肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，在烈度值上，沿長、短軸方向烈度估計值與兩者相差0.1—0.5 度左右。當震級MS=5.0 時，本研究擬合曲線和肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線一致；②在R＞100 km遠場范圍內，本文的擬合曲線高于肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，但長、短軸的“擬合曲線”比其他條曲線整體衰減緩慢。

在西南地區和西北2 個區域內，造成本研究與肖亮等（2015）和汪素云等（2000）研究結果有所不同的原因可能是：①研究區域劃分范圍：本研究與肖亮等（2015）和汪素云等（2000）稍有不同；②震例樣本：在回歸分析中，肖亮等（2015）和汪素云等（2000）選取MS≤5.0 震例樣本較少，而在西南地區和西北地區的地震烈度衰減關系研究中，本研究MS≤5.0 震例樣本占比較高；③烈度估值：在實際工作中，對于震級5.0 以下的較小地震，低烈度區現場評估烈度值結果往往有過大傾向。

2.2.3 東部分區地震烈度回歸分析。采用式（2）、（3），計算我國大陸華北、東北地區和和華中、華南地區的地震烈度衰減關系，并與崔鑫（2010）、汪素云等（2000）和王繼等（2010）的研究結果進行對比，結果見圖5—圖6，可見不同文獻中地震烈度衰減關系具有相似性。

（1）華北、東北地區。由圖5 可見，地震烈度衰減關系具有以下特點：①在R＜10 km 近場范圍內，當震級MS=5.0 時，本研究的擬合曲線略高于崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線，沿長、短軸方向烈度估計值與其他二者相差0.3 度左右。當震級MS≥ 7.0 時，本研究的擬合曲線要略低于崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線；②在遠場，本研究的擬合曲線在崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者的擬合曲線之間。在統計回歸中，本研究選用震例為震級MS≥4.0，長、短軸擬合曲線比崔鑫（2010）和汪素云等（2000）的擬合曲線整體衰減緩慢。

圖5 我國華北、東北地區不同文獻中地震烈度衰減關系對比Fig.5 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in North China and Northeast China from different studies

（2）華中、華南地區。由圖6 可見，地震烈度衰減關系具有以下特點：①在R＜10 km 近場范圍內，當MS≤7.0 時，本研究擬合曲線的斜率，從MS=5.0 到MS=8.0，具有從大到小的變化過程；②在遠場，與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）的擬合曲線相對比可知，本研究擬合曲線較高，且長、短軸擬合曲線衰減緩慢。

圖6 我國華中、華南地區不同文獻中地震烈度衰減關系對比Fig.6 Comparison of seismic intensity attenuation relationships in Central China and South China from different studies

在華北、東北和華南、華中2 個區域內，造成本研究與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者結果有所不同的原因可能是：①研究區域劃分范圍：本研究與王繼等（2010）、崔鑫（2010）和汪素云等（2000）研究者稍有不同；②震例樣本：在回歸分析中，肖亮等（2015）和汪素云等（2000）選取MS≤5.0震例樣本較少，而在華北、東北地區和華南、華中地區的地震烈度衰減關系研究中，本研究MS≤5.0 震例樣本占比較高；此外，在華中、華南地區，本研究使用了少量海域地震資料；③烈度估值：在實際工作中，對于震級5.0以下的較小地震，低烈度區現場評估烈度值結果往往有過大傾向。

3 災情評估

根據上述分析，得出我國根據各分區地震烈度衰減關系，公式如下。

（1）西南地區烈度衰減關系，即

（2）西北地區烈度衰減關系，即

（3）西部地區烈度衰減關系，即

（4）我國華北、東北地區的烈度衰減關系，即

（5）我國華中、華南地區的烈度衰減關系，即

（6）東部地區的烈度衰減關系，即

選取1990—2007 年23 次MS≥6.0 地震事件及2008 年以來88 次MS≥5.0 地震事件，以實際震害面積與烈度衰減經驗統計模型所得面積之比為指標，驗證模型與實際震害的吻合程度，結果見表4。地震烈度10 度、11 度區震害資料有限，未在表4 列出。因涉及震例較多，表4 僅給出部分典型震例結果。

表4 統計地震的實際震害面積與模型面積之比Table 4 Statistics of the ratio of actual earthquake-damaged area to model area

續表4

對于不同烈度區實際震害與模型面積比結果，由表4 可見：9 度區面積比最大值為40.00%，最小值為6.07%，中位值為7.25%，剔除奇異點后平均值為6.62%；8 度區面積比最大值為52.31%，最小值為0.39%，中位值為3.00%，剔除奇異點后平均值為3.70%；7度區面積比最大值為70.00%，最小值為0.09%，中位值為1.15%，剔除奇異點后平均值為1.75%；6 度區面積比最大值為24.10%，最小值為0.01%，中位值為1.28%，剔除奇異點后平均值為2.22%。

通過以上數據對比發現，震害面積比最大值與最小值的比值可達數百倍以上，說明地震作用的離散性大，但中位值與平均值的變化趨勢基本一致，說明利用地震烈度衰減關系評估震害面積有一定規律可循，具體體現在：與模型面積相比，高烈度區實際震害面積往往偏大，而低烈度區實際震害面積往往偏小。究其原因是可能是：①在橢圓烈度衰減關系模型中，烈度隨震中距呈對數關系衰減，而實際烈度衰減關系受震源特性、深部構造、傳播介質、場地條件、建筑物結構類型和居民點分布、地形等因素的影響；②采用LM 算法進行回歸分析，等震線僅由式（1）中的6 個系數確定，忽略了各影響因素彼此之間的耦合作用，故造成本研究結果與真實烈度數據有所偏差。

4 結果與建議

收集整理1900—2019 年，我國大陸西部地區488 個地震和東部地區182 個地震的烈度等震線資料，采用長、短軸橢圓模型，應用LM 算法，擬合得到東、西部地區及各分區地震烈度衰減關系。將研究結果應用到：1990—2007 年MS≥6.0 地震震例和2008—2019 年MS≥5.0 地震事件的烈度評估計算，以實際震害面積與烈度衰減經驗統計模型所得面積之比為指標，驗證模型與實際震害的吻合程度，結果發現：利用本研究所得地震烈度衰減關系，對實際震害面積進行預判和評估時，與模型面積相比，高烈度區實際震害面積往往偏大，而低烈度區實際震害面積往往偏小。

建議按照本研究所得烈度衰減關系估計實際震害面積時，將8 度區模型面積放大約1.5—2.0 倍，7 度區模型面積縮小約1.5—1.6 倍，6 度區模型面積縮小約1.8—2.0 倍。

在進行烈度分布評估工作時，為了避免烈度衰減關系標定的等震線彼此之間產生耦合作用，可以分別統計不同震級下各烈度圈的長、短軸半徑，與烈度衰減關系模型相結合進行判斷。