基于張拉整體結構的可移動折紙機器人結構設計

孫建偉， 王 賀， 李曉東

(1.長春工業大學 機電工程學院， 吉林 長春 130012;2.長春工業大學 工程訓練中心， 吉林 長春 130012)

0 引 言

折紙機構[1]最早起源于折紙藝術，機構學家從中受到啟發，將紙板折疊可形成一定數目的折痕和紙板單元，將紙板單元等效為構件，折痕等效為轉動副，紙板則等效為一個具體機構，即折紙機構。在折紙機構應用中，目標是利用折紙機構具有質量輕、存放體積小和便于運輸的結構特點[2-4]。

近年來，很多國內外學者與研究機構依據折紙機構提出多種行走機器人，并且在其設計、材料和制造方面做了大量工作[5-11]。其中將折紙機構運用到仿生爬行類機器人的方法得到了深入研究[12-15]。但是對于折紙機構的折疊驅動問題，由于機構折疊順序、角度和方向等參數多，驅動相對困難，為折紙機器人折疊提供有效方法還比較少，因此，完善折紙機構驅動的理論方法需要在完成有效折疊的同時，盡可能減少對折紙機構折疊不影響的機構參數。在折紙機構中，剛性折紙機構是應用最為廣泛的。

文中通過一種可爬行與轉向的折紙機器人為設計目標，在設計一種具有雙穩態折紙機構的基礎上，提出了將張拉整體結構應用到折紙機構的驅動上，通過對張拉整體結構驅動的折紙機器人建立結構模型、運動仿真和搭建物理樣機，實現折紙機器人的爬行與轉向。折紙機器人的長度可以完成從192 mm到144 mm的變化，理論展收比為0.75，爬行速度可達40 mm/s。

1 折紙機構折疊單元設計與分析

標準單頂點五折痕構型及折疊構態如圖1所示。

(a) 折疊單元平面展開 (b) 折疊單元折展圖1 單頂點五折痕

將圖1中的五條折痕控制3條折痕轉角,可以確定兩種折紙機構構型形狀。折疊單元的折痕交點即頂點為n，Pi為第i個剛性平面，排序方向為逆時針。折痕分別為f1、f2、f3、f4、f5，其中f1、f2、f4為山折痕(折痕為山峰)，f3和f5為谷折痕(折痕為山谷)。αij為折痕夾角，即折痕i與折痕j的夾角。該設計結構簡單，能夠實現兩種折疊狀態，完成可移動折紙機構兩自由度移動構想。

坐標變換過程如圖2所示。

(a) 以z1為旋轉軸坐標變換 (b) 以x2為旋轉軸坐標變換圖2 坐標變換過程

將圖2中折痕內交點作為原點，以f1為x1軸，方向由原點向外，y1軸垂直于x1軸，z1軸方向與各面垂直組成坐標系。其中ρ1為折痕轉角，αij為折痕夾角。將坐標系O-x1y1z1繞z1軸按逆時針方向轉動α12,得到O-x11y11z11，見圖2(a)，變換后的x1與x2重合。再將坐標系O-x11y11z11繞x2軸沿逆時針方向轉動ρ1，見圖2(b)，得到O-x12y12z12。此時兩坐標系O-x12y12z12與O-x2y2z2重合。同理，按照此類坐標變換方式，將坐標系O-x1y1z1分別繞z1、x2、z2、x3、z3、x4、z4、x5、z5、x1進行10次旋轉坐標變換后，O-x1y1z1旋轉變換到與自身重合。

將折痕夾角與折痕轉角的標注簡化，折疊單元的折痕夾角與折痕轉角示意圖如圖3所示。

(a) 折痕夾角 (b) 折痕轉角圖3 折疊單元的折痕夾角與折痕轉角示意圖

由于谷折痕對稱且大小相等，文中定義谷折痕與水平面的夾角，即谷折痕轉動角為輸入角θ，為可控輸入值。由于折疊單元水平放置于地面，折疊單元折疊后的ln22n31、ln23n33分別與水平面接觸，即

θ=π-ρ4。

(1)

為了避免折疊過程中相鄰兩剛性面間的結構干涉，需要將折痕轉角ρ的范圍限制為

-π<ρ<π。

(2)

通過坐標系的多次旋轉變換聯系起來，可以得到折痕轉角關系方程

Z(α12)X(ρ2)Z(α23)X(ρ3)Z(α34)X(ρ4)×Z(α45)X(ρ5)Z(α51)X(ρ1)=I,

(3)

式中：X(ρ)----繞x軸轉動ρ角的旋轉變換矩陣,

(4)

Z(α)----繞z軸轉動α角的旋轉變換矩陣,

(5)

I----單位矩陣,

(6)

分析建立了單頂點五折痕折紙機構折痕轉角之間的關系方程，對于折痕數為n的單頂點剛性折紙機構構型，均可使用該方法建立折痕轉角關系方程。

2 可移動折紙機器人構型設計

折疊單元的兩種折疊構態如圖4所示。

圖4 兩種折疊構態

單頂點折紙機構的自由度等于折痕總數減3，則對于折痕數為5的單頂點折紙機構，在確定任意2個折痕轉角之后，剩余3個折痕轉角可通過式(1)求得。為了保證可移動折紙機器人行走的穩定性和可雙向移動的對稱性，折疊單元在折疊運動時折痕夾角α51=α23,α34=α45和折痕轉角ρ1=ρ2,ρ3=ρ5。

其中，如圖4中折疊構態2，由于折痕夾角α51=α23,α34=α45和折痕轉角ρ1=ρ2,ρ3=ρ5，建立各折痕轉角的關系方程見式(3)。

式中

(7)

其中，ρ4可由輸入角θ得到，ρ1可由厚板化折紙機構確定。即ρ1(ρ2)、ρ4為已知折痕轉角，建立如下各折痕轉角關系方程

Z(α12)X(ρ1)Z(α23)X(ρ3)Z(α34)X(ρ4)×

Z(α45)X(ρ3)Z(α51)X(ρ1)=I。

其中各折痕夾角為已知，即當α12=90°、α23=α51=45°、α45=α51=90°時,求取折痕夾角ρ3(ρ5)

(8)

在折痕轉角ρ1(ρ2)、ρ4確定時，ρ3(ρ5)可以由式(6)得出，既而得到單頂點五折痕折疊單元的折疊構態。

經計算得出α12為90°時,折疊單元有效折疊最高，采用α12為90°的折疊單元，在確定輸入角θ和折痕轉角ρ1可求出其余折痕轉角，見表1。

表1 α12=90°時折痕夾角下折痕轉角計算結果 (°)

建立可移動折紙機器人數學模型，在單頂點五折痕折紙機構構型的基礎上，對折疊單元進行改進，使得折疊單元更加適合組裝的同時，保持了剛性折疊的特性，為折疊單元拼接和機器人剛性折疊運動做基礎。單頂點五折痕折疊單元結構性對稱，重復性強，參考系坐標易于選取，空間各點在折痕轉角關系方程下得到，可以完成折疊單元建模，如圖5所示。

(a) 折疊單元構態1

(b) 折疊單元構態2圖5 折疊單元建模

將兩組折疊單元組合可實現兩種對稱折疊穩態,如圖6所示。

(a) 前后足 (b) 左右足圖6 兩折疊單元組成的兩種折疊構態

折紙機器人折疊模型如圖7所示。

圖7 折紙機器人折疊構型

在前后行走時,前后足與地面接觸，左右足抬起;在左右行走時,左右足與地面接觸，前后足抬起。行走時減少了機器人其余部分與地面的摩擦，減少能量損耗，提升行走速度。

3 基于張拉整體結構的可移動折紙機器人行走實驗

3.1 折痕夾角與折痕轉角選擇

不同折痕夾角的折疊單元如圖8所示。

圖8 不同折痕夾角的折疊單元

根據折疊單元構型展收比最佳原則,以及考慮折紙機構穩定性對不同折痕夾角的折疊構型進行選擇。圖8是折痕夾角α12分別為120°、90°、60°的折紙機構單元，對應的折痕夾角α23(α51)分別為30°、45°、60°。

基于張拉整體驅動的折紙機器人，由于張拉整體結構尺寸的限制與實際裝配要求，折紙機器人行徑(展收比)不僅與折痕轉角和張拉單元的位置關系有關，還受到折紙機構構型與張拉整體結構驅動單元位置關系的影響。張拉整體結構驅動如圖9所示。

圖9 張拉整體結構

根據不同姿態下的張拉整體結構驅動單元與折紙機構的位置約束條件，匹配合適的軌道拉簧組合。其中短拉簧長度為l1i(i=1，2，3，4)、長拉簧長度為l1j(j=1，2，3，4)、短導軌長度為ld。傳動限位結構的不等式約束條件如下：

(9)

(10)

ld>l11。

(11)

其中張拉整體結構驅動中最大拉伸夾角θ3為短導軌與長拉簧的極限接觸位置，即

(12)

式中：r1----短導軌半徑;

d1----短導軌與拉簧極限接觸時短導軌到端點的距離。

3.2 彈簧剛度匹配

折紙機器人質量很輕，垂直方向上所受重力可以忽略不計，只需計算水平方向上的受力分析即可，從而進行相應彈簧剛度匹配。根據平行四邊形定則，折紙機器人完全展開姿態時每組張拉驅動單元中各彈簧水平方向的合力最小，隨著折紙機器人折疊姿態逐步收攏，各彈簧受到合力逐漸減小。因此,匹配的彈簧剛度只要能夠保證折紙機器人在完全展開姿態時穩定運行，就可以滿足其他姿態下折紙機器人的穩定行走。

令實驗折紙機器人驅動電機輸入力為F輸入， 短彈簧受到拉力為Fi(i=1,2,3,4)，彈簧剛度系數為Ki，短彈簧變化量為Δl1i=l1i-l1i*，彈簧EF受到拉力為FEF。長彈簧受到拉力為Fj(j=1,2,3,4)，彈簧剛度系數為K2，長彈簧變化量為Δl1j=l1j-l1j*，彈簧AB受到拉力為FAB。由胡克定律得到：

Fi=K1Δl1i,

(13)

Fj=K2Δl2j。

(14)

由于垂直方向上的作用力為折疊折紙機器人所需力，這里將折痕視為零厚度，垂直方向上的折疊所需力為零，即只分析水平方向力即可。

當完全展開時，A點水平方向靜力平衡方程為

FAB=FACcosθ1=2K1Δl1icosθ1。

(15)

當輸入力F輸入作用在A點時，A點水平方向靜力平衡方程為：

(16)

(17)

式(15)～式(17)中Δl1i不等，得到：

(18)

(19)

根據式(15)～式(17)得到：

(20)

(21)

分別將α12、α23、α34、ρ1、ρ4、θ、θ1、θ2、li1(i=1,2,3)、F輸入等代入式(1)～式(21),并利用Matlab計算得出可移動折紙機器人的具體參數，見表2。

表2 折紙機器人參數

3.3 折紙機器人驅動部分設計及整體實驗

機構的收縮狀態如圖10所示。

根據可移動折紙機構的運動幾何特性，由式(1)和式(3)可知，通過改變θ即可控制折紙機構的折疊狀態，而在其對稱面Pi上，點n22、n24、n42、n4始終共線且相鄰兩點間的直線變換距離相同，這些點的運動規律恰好可由張拉整體結構中兩桿張拉機構實現。因此，可通過控制兩桿張拉整體結構的張拉特性來驅動折紙機構的折展運動，并用于可移動折紙機器人的設計，在CATIA軟件中建立虛擬樣機模型，得到機構的收縮狀態見圖10(a)。兩桿張拉機構與折紙機構之間是通過將折紙機構從零厚度到厚板化后，將張拉整體結構驅動嵌入厚板折紙機構中，見圖10(b)。

(a) 折紙機器人的折展

(b) 張拉整體結構嵌入式安裝圖10 機構的收縮狀態

利用3D打印機打印出厚板構件，使用小鉸鏈和兩組拉簧完成折紙機器人的裝配。完成樣機實物模型的搭建,如圖11所示。

(a) 機器人樣機的平面展開

(b) 機器人樣機的折疊圖11 3D打印厚板折紙機器人

在折紙機器人機械結構的基礎上，還需要加上驅動模塊為機器人提供動力，驅動張拉整體結構形變，進而實現折紙機器人的折疊。

折紙機器人爬行如圖12所示。

圖12 折紙機器人爬行

折紙機器人包括一組張拉驅動單元、厚板化的折紙機構、類棘輪機構足和舵機。張拉整體結構驅動的可移動折紙機器人運動原理是在確定運動方向后，折紙機構完全展開時電機轉動開始驅動，電機轉動可以拉動繩索，繩索的另一端通過與特定折紙機構構件固定，帶動張拉整體結構驅動拉簧收縮，進而減小張拉驅動機構運動方向上的長度，即實現折紙機構的折疊運動。又由于折紙機器人足部具有類棘輪機構，可實現折紙機器人運動。同理，在折紙機器人轉向時，改變驅動電機即可。

4 結 語

基于折紙機構提出一種創新型雙穩態單頂點五折痕折紙機構單元，通過機械結構設計制造可移動折紙機器人。張拉整體結構驅動的可移動折紙機器人具有兩個主要特征：一是折紙機構方便運輸和所占空間小等優點；二是具有張拉整體機構環境適應性強、穩定性好和機構剛度大的特點，通過主動改變折紙機構的輸入角，可以實現穩定行走與轉向。通過搭建物理樣機，證明張拉驅動的折紙機器人能夠穩定折疊與展開，并且可以在展開后實現轉向功能，張拉整體機構拓寬了足式行走機構自適應性的研究。