考慮銑削路徑變化的平面薄壁件動態特性建模

姜顥天，靳 剛，閻 兵，李文碩

（天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222）

薄壁件具有質量輕、結構緊湊、節約材料、強度高等諸多優點，已被廣泛應用于航空航天等工業制造領域[1-2]。但是，薄壁件的加工過程中產生的銑削力會產生較大的變形和震顫[3-4]，導致國內目前只能采用保守的加工參數，且難以獲得較好的質量[5]。平面薄壁件在加工過程中，切削點一直變化且不同切削點的動態特性不同，隨著薄壁件的結構變化，整體的輕量化和工件形狀越來越復雜[6]。研究平面薄壁件的不同切削點動態特性的變化規律，可以對薄壁件加工產生的振動進行有效地預測。

Shi 等[7]針對銑刀和工件的相對位置對薄壁件動態響應的影響，優化約束阻尼結構的參數以抑制薄壁件外層銑削過程中的加工振動的問題，提出了帶有約束阻尼結構的薄壁件外層在動態切削力作用下的動力學方程。石佳昊[8]采用結構阻尼替代阻尼比的方式，分析了阻尼對系統動態特性的影響。Ren 等[9-10]在考慮薄壁銑削過程的動態特性的條件下，發現對于每階模態，臨界切割深度與振型的平方成反比。張廣鵬等[11]對機床的整機動態特性進行了建模，實驗結果表明應用均質梁、集中質量和結合部單元方法可以快速、準確地預測機床的動態特性。喬丕忠等[12]針對復合材料薄壁梁，構建了其本構關系，并對現有理論存在的問題進行了總結，根據不同方法得到控制微分方程并給出了相應的解析方法，對薄壁梁的穩定性問題進行了歸納。于福航[13]針對薄壁件加工過程中的穩定性問題，根據全離散算法建立了銑削動力學方程，并采用多步插值算法離散化時滯微分動力學方程中的時滯項，進行銑削穩定性預測算法的研究，并通過采用Matlab/GUI平臺建立了薄壁件銑削穩定性預測及參數優化系統，對實際加工過程中薄壁件的切削穩定性進行了有效的預測。上述關于薄壁件切削的研究一般忽略隨切削路徑變化而時變的薄壁件動態特性，這勢必會對研究結果產生影響。目前，模態分析已經有了較為成熟的理論和發展[14]，本文基于模態理論，通過錘擊實驗獲得測試點模態參數，分析基于隨著切削路徑變化的平面薄壁件的動態特性變化規律，建立平面薄壁件模態參數預測模型，對平面薄壁件切削路徑上各點的動態特性進行預測。

1 研究方案及理論建模

考慮到薄壁件的多模態及切削路徑上剛度的時變特性，本文擬構建切削路徑上有限點動態，并最終將其發展為可考慮全路徑的統一模型。

實驗研究方案可具體表述為：①基于模態理論，建立考慮銑削路徑變化的平面薄壁件動態特性預測模型；②基于LMS 錘擊實驗，獲得平面薄壁件若干個測試點的傳遞函數和模態參數；③根據實驗結果對上述理論模型進行簡化；④對實驗所得的動態特性影響參數進行擬合，回代入理論模型得到最終的平面薄壁件模態參數預測模型；⑤根據預測模型和錘擊實驗對切削路徑上不同于測試點的進行計算及試驗，對比計算結果和試驗結果，分析預測模型的有效性，并得出結論。

1.1 平面薄壁件動態特性模型

由于薄壁件的弱剛性特性，在切削加工過程中，系統結構的前若干階模態都會對加工過程造成不同程度的影響。考慮結構阻尼，系統的多自由度動態方程可表示為

進行拉普拉斯變換，得到多自由度系統在s 域的運動方程

則多自由度系統的傳遞函數為

將式（3）展開為

式中：n 維矩陣中每個元素[R]j=[α+βs]j代表第i 階模態在矩陣中第a 行、第b 列的留數。根據Yusuf[15]的模態分析理論，可將式（4）展開為部分分式的形式

其中，ri、ri*為留數，

參數αi、βi為

1.2 考慮銑削路徑的平面薄壁件動態特性模型

在薄壁件銑削過程中，刀具將在工件表面作平移運動，而運動路徑上工件的振動特性將隨著切削點的變化而改變。若假設刀具相比于工件為完全剛性，則工件的振動完全取決于工件在該切削點上的動態特性。

若考慮工件切削路徑的變化，方程（4）—（6）中ωi，n、ξ、ri、ri*、α、β 的值不再恒定，將變為關于路徑的函數，即

將式（8）代入式（5），得到隨路徑變化的不同高度和厚度的薄壁件傳遞函數

1.3 模型簡化

在評估系統的動態特性時，考慮系統的若干階模態是不現實且消耗巨大的，重點考察對系統動態特性影響較為顯著的前幾階模態具有重要的現實意義。試驗設備及工件如圖1 所示。

圖1 試驗設備及工件

本研究主要采用單點激勵單點響應的錘擊試驗方法，選擇SERIAL#38264 傳感器，C-ADAPTER 動態數據采集儀器，使用USB 接口與計算機連接通訊，如圖2（a）、（b）和（c）所示。

實驗所選的平面薄壁件如圖2（d）所示，其懸伸處長寬高尺寸為180 mm×4 mm×90 mm，材料選取常用的鋁合金6061。在錘擊實驗過程中，使用螺栓通過工件底板上的4 個通孔將工件固定在實驗臺上。

實驗測試點從C1 點開始，沿工件長度方向每25 mm 建立一個測試點，直到右上角點C7 為最后一個測試點，7 個測試點位置如圖2（d）所示。對平面薄壁件上7 個點粘貼傳感器，并使用沖擊錘在薄壁件另一側進行錘擊，如圖2（e）所示，獲得的系統前二階模態參數（固有頻率、阻尼和留數）如表1 所示。

表1 高度90 mm×厚度4 mm 平面薄壁件的模態參數

基于表1 的實驗數據和式（4），擬合獲得了工件C1、C3、C5 和C7 四個點上的幅頻響應曲線，平面薄壁件不同測試點的試驗及仿真結果幅頻圖如圖2 所示。

圖2 平面薄壁件不同測試點的試驗及仿真結果幅頻圖

由圖2 可知，實驗和擬合曲線吻合度較好。這說明提取的模態參數有效可靠。顯然，僅考慮前二階模態就可以較好地對薄壁件銑削路徑上的點進行動態特性評價。

2 實驗結果分析

2.1 模態參數擬合

由表1 知，與系統動態特性相關的固有頻率、阻尼和留數等參數隨著切削路徑時變。薄壁件的一階頻率和一階阻尼擬合結果如圖3 所示，一階留數擬合結果如圖4 所示。

圖3 平面薄壁件一階頻率、一階阻尼擬合圖

圖4 平面薄壁件一階留數擬合圖

由圖3（a）可知，薄壁件的一階頻率隨著工件加工路徑改變先增大后減小，且越靠近薄壁件中心，頻率增長速率越慢；一階頻率圖近似呈現為一條開口向下的拋物線，且薄壁件的中心位置頻率取得最大值384.351 Hz。這是由于平面薄壁件為對稱結構且薄壁件中心的剛度大于工件兩側的剛度，說明平面薄壁件中間位置固有頻率更高，相較于工件兩側更不容易發生變形。

由圖3（b）可知，一階阻尼隨著路徑改變先減小后增大，且整體變化呈不對稱趨勢。

由圖4 可知，一階留數實部隨著路徑的改變在0 水平線上下小范圍波動，最大峰谷值差為6×10-4，這說明路徑變化對留數實部的影響不大，一階留數虛部隨著路徑改變先減小后增大且工件中心處為最小值，整體變化近似呈現為開口向上的拋物線，在切削路徑范圍內切削路徑的改變對一階留數虛部具有一定程度的影響。

基于3 次多項式擬合方法，得到平面薄壁件的一階模態參數為

一階頻率

一階阻尼

一階留數

二階頻率和二階阻尼擬合結果如圖5 所示，二階阻尼擬合結果如圖6 所示。

圖5 平面薄壁件二階頻率、二階阻尼擬合圖

圖6 平面薄壁件二階留數擬合圖

由圖5（a）可知，薄壁件的二階頻率隨著路徑的改變先增大后減小且越靠近薄壁件中心，頻率增長速率越慢，工件二階頻率曲線同樣呈現一條近似于拋物線的形式，且中心位置處取得二階頻率最大值為678.787 Hz，在薄壁件的中心處剛度更大。由圖5（b）可知，二階阻尼隨著路徑變化一直呈現減小趨勢且減小速率由慢變快，且后近似于直線降低。

由圖6 可知，二階留數實部隨著路徑變化在0 水平線上下小范圍波動，最大峰谷值差為1.3×10-4，說明切削路徑的改變對二階留數實部影響很小，二階留數虛部隨著路徑變化先減小后增大，近似呈現為開口向上的拋物線形式，工件兩側虛部數值相似且工件中心處取得最小值。這說明切削路徑改變對二階留數虛部影響程度較大。

基于3 次多項式擬合方法，得到平面薄壁件的二階模態參數為

二階頻率

二階阻尼

二階留數

2.2 平面薄壁件動態參數預測模型

將上述平面薄壁件的模態參數，即公式（10）—（15）代入式（9）的前二階傳遞函數模型中，得到平面薄壁件基于路徑變化的動態特性預測模型

3 實驗驗證

為了驗證上述模型的正確性，本文選取平面薄壁件切削路徑上不同于測試點的任意2 點的模態參數進行理論預測并與試驗結果進行對比，所選取驗證點的模態參數未知。本文選取14 mm 和80 mm 兩試驗位置，如圖1（d）中所示C8、C9 兩點。

在平面薄壁件C8、C9 兩點處進行錘擊實驗，提取前二階模態參數，擬合得到平面薄壁件在C8、C9 點處幅頻對比圖，如圖7 所示。

圖7 平面薄壁件在C8、C9 點處幅頻對比圖

由圖7 可知，C8 點處的預測結果和試驗結果的重合度相較C9 點處的預測結果和實驗結果的重合度較低。這是由于薄壁件兩側的剛度較中間位置較低，穩定性較差，所以產生的振動更大。但是，C8、C9 兩點的一階模態計算值和實驗值相差不大，且二階模態均處于相鄰兩測試點的二階模態之間。這說明模型預測性較好，可較好地獲得該點的振動特性。

4 結論

本文基于銑削加工過程中路徑的變化，建立了平面薄壁件的動態特性預測模型，進行錘擊實驗并研究了銑削路徑的改變對工件的模態參數的影響；建立了平面薄壁件的模態參數預測模型，對工件切削路徑上任意一點進行模態參數預測。實驗結果如下：

（1）切削點越靠近薄壁件中心，固有頻率越高，工件變形越小。

（2）根據實驗數據擬合結果發現，前二階模態即可對切削點的動態特性進行較好的評估。

（3）隨著銑削路徑變化，一階頻率先增大后減小，一階阻尼先減小后增大，一階留數實部在0 水平線上下小范圍浮動，一階留數虛部先減小后增大且在工件中心取得最小值；二階頻率先增大后減小，二階阻尼一直減小且減小速率先慢后快，二階留數實部在0 水平線上下小范圍浮動，二階留數虛部先減小后增大且在工件中心取得最小值。

（4）對實驗測得的模態參數進行3 次多項式擬合，構建了平面薄壁件的模態參數預測模型，該模型可對工件加工過程中銑削路徑上點的模態參數進行預測。