鉸支多跨梁變形計算的正弦級數(shù)法

史文譜,閆家正,王 浩

(煙臺大學機電汽車工程學院,山東 煙臺 264005)

多跨梁在橋梁建設、海港碼頭和船舶工程中是十分常見的結構,其受載是比較復雜的,多數(shù)設計需要有限元等數(shù)值計算方法才能完成,但理論方法研究也一直是人們關注的熱點。比如文獻[1]中介紹的力法和三彎矩法是典型的解除約束法,它們的特點是需要事先解除約束,寫出(分段)彎矩函數(shù),利用變形協(xié)調(diào)條件列出補充方程,對于受載個數(shù)多的場合,還要考慮采用疊加原理分別求解,過程較繁瑣;王秀華等[2]提出的積分法是在梁截面彎矩函數(shù)中預先考慮了待定約束反力,然后直接積分撓度-彎矩近似微分方程,并利用定解條件確定積分常數(shù)和多余約束力;朱伊德在文獻[3]中提出的預先把撓度假設為一個有限項冪級數(shù)的方法,是利用了撓度、轉角、彎矩、剪力和載荷集度之間的微分關系,借助問題的定解條件確定未知系數(shù);文獻[4]中韓曉娟給出的方法是在三彎矩法基礎上引入剛度系數(shù)和載荷分布系數(shù),在一定程度上簡化了連續(xù)靜不定梁變形的計算過程;此外,還有奇異函數(shù)與拉普拉斯變換相結合的方法[5-6]、有限元分析法[7]、傳遞矩陣法[8]和沃爾特拉積分方程法[9]等;熊劍峰等[10]利用傅里葉級數(shù)展開、哈密頓原理和伽遼金方法，研究了任意邊界條件下多跨梁在輪印載荷作用下的位移響應解;李銀山等[11]對多跨梁影響線問題提出了一種連續(xù)分段獨立一體化的積分法,能夠做到快速解析求解;賀坤龍等[12]利用ANSYS軟件對三跨波形鋼腹板連續(xù)梁彎橋分別承受集中載荷和連續(xù)分布載荷作用,在四種不同支撐條件下的剪力滯效應問題。不同于上述方法,本文針對兩端鉸支多跨連續(xù)梁變形計算問題提出的正弦級數(shù)法,是預先將撓度假設為自動滿足連續(xù)梁兩端撓度和彎矩為零條件的正弦級數(shù),利用梁中間支撐處撓度為零的邊界條件和最小勢能原理,推出級數(shù)中未知系數(shù)滿足的無窮線性代數(shù)方程組,然后在滿足計算精度基礎上進行有限項截斷求解。該方法無須解除約束,無須列出彎矩函數(shù),無須利用疊加原理單獨考慮每種載荷產(chǎn)生的變形,故計算過程和步驟簡單方便,計算精度高,給出的數(shù)值算例結果說明了方法的可行性。

1 理論模型與分析

圖1 多跨梁受力分析

考慮到文中討論的多跨連續(xù)梁的兩端是鉸支的,故其撓度和端部彎矩始終為零。因此，無論梁承受什么樣的載荷作用,可以將梁的撓度函數(shù)w(x)在區(qū)間[0,L]內(nèi)的曲線周期性延拓展開為無窮區(qū)間(-∞,∞)上的正弦級數(shù)(周期為2L)，如式(1):

(1)

其中:ak(k=1,2,…,∞)是待定系數(shù)。

根據(jù)圖1,式(1)還應滿足如下方程組

w(Lj)=0,j=1,2,…,n-1,

(2)

即

(3)

由方程組(3),理論上總是可以解出n-1個未知量,比如a1,a2,…,an-1,它們均可以由剩余的待定系數(shù)an,an+1,…線性表示出來,假設取如下形式:

(4)

其中:βkt(k=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…)是表達式系數(shù),它們可由下列線性代數(shù)方程組確定,即

j=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…,

(5)

其對應的矩陣表示形式為

(6)

多跨連續(xù)梁靜力平衡后,系統(tǒng)的總勢能U(a1,a2,…,an)可表示為

U(a1,…,an)=

(7)

其中:w″(x)是撓度函數(shù)w(x)關于x的二階導數(shù),w(l0)是撓度函數(shù)在l0處的值,它們分別可表示為

將式(4)代入式(7)中,系統(tǒng)的總勢能函數(shù)U(a1,a2,…,an)應為待定系數(shù)(an,an+1,…)的二次函數(shù)。

根據(jù)最小勢能原理有

(8)

即

(9)

其中:t=n,n+1,…。

將式(1)代入式(9)中整理得

通過上述方程(5)或(6)(利用計算機可輕松完成)預先可以求得一系列βkt(k=1,2,…,n-1;t=n,n+1,…),然后利用式(10),求得aj(j=n,n+1,…),進一步利用式(4),求出ak(k=1,2,…,n-1),最后通過式(1)確定多跨梁的撓度函數(shù)w(x)。

為了比較和驗證本文方法的計算效果,把材料力學中解除約束法給出的撓度函數(shù)假設為w1(x),則絕對計算偏差δ(x)定義為

δ(x)=|w(x)-w1(x)|,x∈[0,L]。

(11)

2 數(shù)值算例及分析

算例1以一個雙跨連續(xù)梁承受其自重和集中力F0的作用問題為例(圖1),其中F0=300 N,l0=2.0 m,L1=3.0 m,L=4 m;E=2.5×109N/m2,梁采用矩形方管制作,截面外部寬度和高度分別為b=0.2 m和h=0.4 m,內(nèi)部寬度和高度分別為b1=0.19 m,h1=0.39 m,梁的重力線密度為q=465 N/m,方向向下,按照本文方法(實線)和解除約束法[1](虛線)分別計算,結果如圖2(2種方法計算結果完全重合,無法分辨)。為了看出兩者之間的細微差別,可參看絕對計算偏差δ(x)的變化曲線(圖3)。從圖3看,兩者的絕對偏差在中間支撐處有較為劇烈的波動變化,在集中力F0作用處附近也有小許波動,但變化幅度最大值都不超過1.751 3×10-12m,在雙跨梁的整個長度范圍內(nèi),計算偏差δ(x)∈[0,1.751 3×10-12]m,完全可以忽略。

圖2 雙跨梁撓度變化曲線

圖3 雙跨梁撓度計算偏差變化曲線

Fig.3 Calculation deviation curve of deflection of double-span bean

這里,計算精度取為ε=10-5,無窮線性代數(shù)方程組(10)中取用100個方程,即撓度的正弦級數(shù)中取用了前N(N=101)項。從圖2還可看出,本文計算的撓度曲線在點x=0,3,4 m處取值為零,完全滿足問題的邊界條件。按照文獻[1]推出的解除約束法的撓度函數(shù)表達式w1(x)較為繁瑣,這里略去不寫。

算例2三跨連續(xù)梁承受集中力F0和自重q的作用(圖1),其中F0=300 N,梁采用矩形方管制作,截面外部寬度和高度分別為b=0.2 m和h=0.4 m,內(nèi)部寬度和高度分別為b1=0.19 m,h1=0.39 m,(方管)自重線密度q=463.15 N/m。其他已知參數(shù)L0=3.0 m,l1=2.5 m,l2=3.0 m,l3=3.5 m,L=9 m，E=2.5×109N/m2，L1=l1=2.5 m,L2=l1+l2=5.5 m,L=9 m。計算精度取為ε=10-5,對上述無窮方程組(10)取用100個方程,即撓度的正弦級數(shù)中取用了前N(N=101)項,結果如圖4(實線)。同時在該圖中也繪出了解除約束法[1]的結果(虛線),兩者是重合的,兩者的計算偏差曲線如圖5,計算偏差在梁的總跨度范圍內(nèi)的變化區(qū)間是[0,3.480 8×10-10]m。從圖5看,計算偏差在x=2.5 m和x=5.5 m這2個中間支撐處附近波動變化較為強烈,在集中力F0作用點x=3 m處附近也有不太明顯的小幅波動,但無論怎樣,它們的波動幅度都未超過3.480 8×10-10m。

圖4 三跨梁撓度變化曲線

圖5 三跨梁撓度計算偏差變化曲線

Fig.5 Calculation deviation curve of deflection of three-span bean

3 結束語

針對兩端鉸支多跨梁的撓度計算問題,提出了利用最小勢能原理的正弦級數(shù)解法,該法具有如下幾個特點:

(1)無須解除約束,無須列出彎矩函數(shù),無須計算復雜的莫爾積分或分段常微分方程組定解問題;

(2)2個算例的計算結果表明,只要在撓度的無窮正弦級數(shù)中選用前100項即可保證較高的計算精度,且與材料力學[1]的解除約束法的結果在計算精度范圍內(nèi)完全一致;

(3)對于多個載荷作用的情形,無須利用疊加原理分別求解結果再求和,而是統(tǒng)一一次性處理,因而計算效率較高。