一種新的偶周期三值四元序列偶的構造方法

摘 ?要：提出了一種構造偶周期三值自相關四元序列偶的新方法。構造得到的三值自相關四元序列偶具有良好的自相關特性。首先利用二階分圓類構造出兩個周期為2f的二元序列，然后對兩個二元序列采用逆Gray映射，進而得到一個周期為2f的三值自相關四元序列偶。并對所得到的三值四元序列偶進行了重點研究，當f≥4時該四元序列偶具有良好的自相關特性，自相關函數分布與Fv的二階分圓類（v=2f+1，f≥4）中的奇偶性有關，當f為奇數時副峰值為{-4，0}，當f為偶數時副峰值為{-2，2}。

關鍵詞：三值四元序列偶;二階分圓類;逆Gray映射;自相關函數;奇偶性

中圖分類號：TN911.1 ? ? 文獻標識碼：A 文章編號：2096-4706（2021）06-0062-04

A New Construction Method of Even Period Quaternary Sequence Pair with Three-level

SHI Yan

（Hebei Chemical & Pharmaceutical College，Shijiazhuang ?050026，China）

Abstract：A new method for constructing even period quaternary sequence pair with three-level autocorrelation is proposed. The constructed quaternary sequence pair with three-level autocorrelation have good autocorrelation characteristics. First，two binary sequences with period of 2f are proposed by second order cyclotomic class，then a new qu-aternary pair with three-level autocorrelation with period 2f is obtained from those two binary sequences by using the reverse Gray mapping. The quaternary sequence pair with three-level is studied，when f≥4 the quaternary sequence pair has good properties of autocorrelation. The distribution of autocorrela-tion function is related to the parity in the second order cyclotomic class of Fv（v=2f+1，f≥4）. When f is odd，the sub peak is {-4，0}，and {-2，2} when f is even.

Keywords：quaternary sequence pair with three-level;second order cyclotomic class;reverse Gray mapping;autocorrelation function;parity

0 ?引 ?言

在空間遙測、現代通信、無線通信系統的信號設計等領域，通常要求信號具有良好的自相關特性，進而能夠有效地提高系統的抗干擾、抗截獲、抗衰落等能力。最佳二元序列是工程應用中最理想的循環相關信號，但經過學者們研究發現其存在空間受到很大限制，存在數量較少。在小于548964900的范圍內僅存在長度為4的最佳二元序列[1]。為擴大可使用序列的應用空間范圍，最佳三元序列、最佳四元序列、幾乎最佳四元序列等信號相繼被提出。但是這些信號的自相關函數是用序列與自身延遲序列的內積來表示，這種判定信號的最佳自相關特性的方法很大程度上限制了最佳信號的存在空間。為了克服這種判定方式上的限制，人們又提出了失配序列的概念。失配序列是根據通信雙方可以使用不同序列的原則來設計的，即它是一對互相關函數為脈沖函數的序列信號，失配序列的提出進一步擴大了信號的存在空間。趙在文獻[2]中第一次提出“偶”的概念，將失配序列有“偶”來表示，進而引入一種新的離散信號——序列偶，序列偶是將兩個序列的互相關函數定義為這個序列偶的自相關函數，并以此來表征序列偶的最佳循環相關特性。在此基礎上學者們先后構造出了很多具有良好自相關特性的序列偶，如二值三元序列偶[3]、三值四元序列偶[4]、三值二元序列偶[5]、最佳四元序列偶[6]和偽隨機三元序列偶[7]等。

目前，學者們研究得到的，可用于工程中的最佳四進序列偶普遍存在峰值小、平衡性差、存在空間范圍小等缺點。為了進一步擴大四元序列偶的存在空間，彭等在文獻[4]中給出了一種偶周期三值四元序列偶的構造方法，并證明了偶周期三值四元序列偶的最大副峰值至少是2的特性。本文在文獻[4]研究的基礎上，提出了一種基于二階分圓類和逆Gray映射構造偶周期三值自相關四元序列偶的新方法，該方法中用到了二階分圓類和逆Gray映射。此外，本文還分析了當二階分圓類中f的奇偶取值不同時，所得到的四元序列偶的自相關函數值的分布也會不同。通過本文研究，將為進一步滿足工程應用中對具有良好自相關特性離散信號的需求。

1 ?基本定義及引理

定義1[8]：令x=（x0，x1，…，xN-1）和y=（y0，y1，…，yN-1）均是周期為N的序列，由序列x和y組成序列偶記為（x，y），則序列x與y的互相關函數：

被定義為序列偶（x，y）的自相關函數。其中，為單位元的第n次復根，j+τ=（j+τ）modN。當n=2時為二元序列偶，其元素為-1，+1，分別用0，1來表示;n=4時為四元序列偶，其元素為+1，+j，-1，-j，分別用0，1，2，3來表示。

注意：當兩個序列相等時，即x=y時Rx（τ）為x序列的循環自相關函數被記作：

其中，當n=2時為二元序列，當n=4時為四元序列。

定義2[4]：設p和q是兩個周期為N的四元序列，若序列偶（p，q）的自相關函數Rpq（τ）滿足：

式中，j+τ=（j+τ）modN。F為四元序列偶（p，q）的峰值，E1，E2為副峰值。H為整數環上ZN的一個非零子集，則稱序列偶（p，q）為三值自相關四元序列偶。

引理1[4]：設序列偶（p，q）是一個周期為N≡0（mod2）三值自相關四進序列偶，那么四進序列偶的最大副峰模值至少是2。

本文的下一部分將給出利用二階分圓類、逆Gray逆映射來構造周期為N≡0（mod2）且副峰值是{-4，0}和{-2，2}的四進制序列偶的構造方法，按照引理1的結論可知本文得到的四進序列偶將具有很好的自相關特性。

定義3[9]：設v=2f+1為素數冪，Fv為v階有限域，=

Fv＼{0}，設α為有限域Fv的本原元，ε=α2，在式中令= {αi，αiε，αiε2，…，αiεf-1}，0≤i≤1，那么稱，為Fv的二階分圓類。

定義4[9]：設v=ef+1為素數冪，對0≤i，j≤e-1，令：

或等價地：

則稱（i，j）e為e階分圓數。當無需指明e時，也常將（i，j）e簡記為（i，j）。

引理2：設，則方程：x+g=y，的解的個數為（i-k，j-k）。

引理3：分圓數有如下一些性質：

（1），其中 ，;

（2） ;

（3） ?;

（4） ;

（5） 。

定義5[9]：指示函數定義為：

定義6[10]：在有限域Fv中二階特征函數被定義為：

φ（ατ）=（-1）τ

φ（0）=0

其中α為Fv的本原元，ατ∈，0≤t≤v-2。

定義7[11]：設a（t）和b（t）的二元序列，令?-1[a，b]為逆Gray映射，定義為：

運用逆Gray映射可以構造周期為N的四元序列q（t）=

?-1[a（t），b（t）]，進而q（t）可以表示為：

其中，。則四元序列q（t）表示為：

2 ?偶周期三值四元序列偶的構造方法

構造方法：設v=2f+1是一個奇素數，其中f≥4為v階有限域，=Fv＼{0}，設α為Fv的本原元。偶周期三值四元序列偶的構造方法分為以下三個步驟：

第一步：令si={+1|0≤i≤1}，可以通過以下方法得到構造序列s（t）：

（1）

其中，上式中變量i，t，k0的取值分別為：0≤i≤1，0≤t≤v-2，k0∈{0，1}。此時應滿足以下條件αf=1，，并且2∈s0。

第二步：根據定義3二階分圓類、定義5指示函數、定義6二階特征函數的表示方法，可以將序列s（t）表示為：

（2）

其中，ω2=-1。在這里可以分別取k0=0和k0=1，進而得到兩個周期均為N=2f的序列，記為s0（t）和s1（t）。當k0=0時，帶入公式（2）可得到：

（3）

當k0=1時，帶入公式（2）可得到：

（4）

第三步：對這上述兩個序列s0（t）和s1（t），使用逆Gray映射，得到兩個周期為N=2f的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=?-1[s0（t），s0（t+f）] ? ? ? ? ? ? ? ?（5）

q（t）=?-1[s1（t），s1（t+f）] ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

進而得到四元序列偶（p，q）。根據上述構造方法，可以得到下邊的結論。

定理1：由式（5）和（6）構造得到的四元序列偶（p，q）周期為N=2f，其自相關函數的分布分為以下兩種情況：

當f≥4且N≡0（mod4）時，其自相關函數分布為：

當f≥4且N≡2（mod4）時，其自相關函數分布為：

證明：根據定義1中序列偶的自相關函數的計算方法可知：

由定義5和定義6可進一步得到：

下文采用分步計算的方式來討論、和的取值，進而推導出在不同情況下序列偶（p，q）的自相關函數Rpq（τ）的取值分布情況。

第一步：計算和的取值，根據構造方法第二步中推導出的式（3）和（4）可以得到以下結果：

下文根據τ的取值，分情況對 ?的取值進行討論：

（1）當τ=0時，顯然 ?;

（2）當τ=f時， 。

式中，，所以上式等于 ?。

同理可得， 。

（3）當τ≠f且τ≠0時，經計算可得：

經過以上三種情況的計算和討論可知 。進而得到結論 。

第二步：計算 ?，由構造方法第二步中推導出的式（3）和（4）可以得到：

下文根據τ的取值，分情況對上述計算結果進行討論：

（1）當τ≠0時， ?的計算式中各部分的取值為：

通過以上討論和計算可以得到：

（2）當τ=0時，很顯然 ?。

第三步：根據第二步的討論可以知道 ?的取值與τ的取值和f的取值有密切的關系。下文將分情況對 ?的取值作進一步討論。

（1）根據定義6可知，當f為偶數即N≡0（mod4）時， φ（-1）=1。

其中，當τ=0時， 。

當τ≠0時， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

當τ≠0且為偶數時，Rpq（τ）=-2。

當τ≠0且為奇數時，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）=-2或2。因為αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以當m為奇數時Rpq（τ）= -2，m為偶數時Rpq（τ）=2。

（2）當f為奇數即N≡2（mod4）時，φ（-1）=-1。

當τ=0時，Rpq（τ）=Rs0s1（τ）=2f-2;

當τ≠0時，-1;

當τ≠0且為偶數時，Rpq（τ）=2φ（ατ-1）-2=0或-4。因為αt-1=αm，0≤m≤2f-1，所以當m為奇數時Rpq（τ）=

-4，m為偶數時Rpq（τ）=0。

當τ≠0且奇數時，Rpq（τ）=0。

總結上面的兩種情況，即f為偶數N≡0（mod4）和f為奇數N≡2（mod4）兩種情況，由于自相關性良好的序列偶主峰值應遠遠大于副峰值的取值，且差值越大該序列偶的自相關性越好。因此f的取值大于等于4時，該構造方法得到的四元序列偶的自相關特性才較為良好，且f的取值越大四元序列偶的自相關特性越好。由此可知構造得到的四進序列偶的自相關函數值的分布為：

（1）當f為偶數且f≥4，即N≡0（mod4）時，其自相關函數分布為：

（2）當f為奇數且f≥4，即N≡2（mod4）時，其自相關函數分布為：

證畢。

舉例1：v=2f+1是一個奇素數，其中v=13，進而推出f=6，本原元α=2。

使用文中的構造方法，構造得到兩個周期為12的二元序列u0（t）和u1（t）：

u0（t）=（000111101001）

u1（t）=（100111101001）

對以上兩個序列運用逆Gray映射，進而得到兩個周期為12的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=（101332303112）

q（t）=（201332203112）

經計算四元序列偶（p，q）的周期為12，其自相關函數值為：

Rpq（τ）={10，-2，-2，2，-2，2，-2，-2，-2，-2，-2，2}。

舉例2：v=2f+1是一個奇素數，其中v=11，進而推出f=5，本原元α=2。

使用文中的構造方法，構造得到兩個周期為10的二元序列u0（t）和u1（t）：

u0（t）=（0001001110）

u1（t）=（1001001110）

對以上兩個序列運用逆Gray映射，進而得到兩個周期為10的四元序列p（t）和q（t）：

p（t）=（0112003320）

q（t）=（3112013320）

經計算四元序列偶（p，q）的周期為10，其自相關函數值為：

Rpq（τ）={10，0，-4，0，-4，0，0，0，0，0}。

3 ?結 ?論

本文中提出了一種新的構造三值自相關四元序列偶的方法，該方法具有良好的技術特性和應用特性：

（1）該方法構造出的三值四元序列偶自相關函數值的分布與f的奇偶性和f的取值大小有關，當f為奇數即N≡2（mod4）時副峰值為{-4，0}，主峰值為2f-2。當f為偶數即N≡0（mod4）時副峰值為{-2，2}，主峰值為2f-2。當f的取值大于等于4時，該構造方法得到的四元序列偶的自相關特性才較為良好，且f的取值越大四元序列偶的自相關特性越好。

（2）通過本文研究進一步建立了分圓類與四元序列偶之間的聯系，豐富了四元序列偶的構造方法，同時為工程應用提供了更多的選擇。

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作者簡介：石妍（1989—）女，漢族，河北石家莊人，中級講師，碩士，研究方向：擴頻通信及信道編碼。