混合次分數布朗運動下永久美式回望期權的定價

安翔,郭精軍

(蘭州財經大學統計學院,甘肅蘭州730020)

1.引言

隨著金融市場的快速發展,期權作為一種金融衍生品應運而生,因其具有規避風險與投資保值的功能,受到了許多投資者的青睞.回望期權[1]是一種強路徑依賴期權,即期權的收益不僅依賴于到期日當天標的資產的價格,而且依賴于整個有效期(稱為回望期)內標的資產價格的變化幅度.該期權給予持有者“低買高賣”的權利,這是期權持有者夢寐以求的情形,他可以選取回望期內最低(高)的標的資產價格,買入(賣出)標的資產.由于持有者始終處于最有利的位置,這保證了他可以得到較高的收益,從而回望期權的價格也十分昂貴.因此,回望期權的定價一直是期權定價中的熱點話題之一.

近年來,金融機構為了滿足不同市場的各種需求,衍生出了許多新型期權,美式回望期權就是其中一種.該期權是一種具有回望特征的美式期權,相對于傳統的美式期權,其收益更高.眾所周知,美式期權的定價是一個非線性問題,除了永久美式期權,一般不存在閉式解.因此,美式回望期權的定價問題常用數值方法求其近似解[2?3].為了更好地研究美式回望期權,DAI[4]提出了永久美式回望期權,其收益與時間無關,只依賴于回望期內標的資產價格的最值;并給出了該期權價格的閉式解與最優實施邊界,這可作為研究美式回望期權的一個基本框架,用于對美式回望期權的價格進行近似計算.除此之外,永久型期權還可以應用于各種金融問題,譬如與實物期權相關的最優投資時機問題[5].因此,對于永久美式回望期權的研究具有一定的現實意義.

然而,上述的研究都是在經典的Black-Scholes模型(以下簡稱B-S模型)下進行的,即都假設標的資產的價格變化服從幾何布朗運動.但是,對于金融市場的大量實證研究表明:金融資產對數收益率的分布呈“尖峰厚尾”狀,并不服從正態分布,而且金融資產的價格變化具有長相依、自相似等分形特征,幾何布朗運動無法刻畫這些特征.因為分數布朗運動能夠較好地刻畫這些分形特征[6],所以為了改進經典的B-S模型,有學者用分數布朗運動驅動B-S模型的隨機部分[7?8].

但是,分數布朗運動不是半鞅,直接將其應用于金融模型中會產生套利機會.為了刻畫長相依、自相似等特征,并消除套利機會,一些學者提出用混合分數布朗運動或混合次分數布朗運動代替分數布朗運動.目前,基于混合分數布朗運動研究期權定價的文獻較多.[9?11]與混合分數布朗運動相比,混合次分數布朗運動不僅具有長相依、自相似等特征,而且還具有非平穩的二階矩增量,從而混合次分數布朗運動能更好地刻畫金融資產價格的變動.Charles等[12]證明了Hurst指數H ∈[0.75,1)時,混合次分數布朗運動具有長相依、自相似等特征,并且是一個半鞅,此時,由混合次分數布朗運動驅動的金融市場是完備的.郭精軍等[13]基于混合次分數布朗運動,給出了永久美式期權的定價公式及其最優實施邊界.

為了更好地刻畫標的資產價格的變化趨勢,本文對文[4]中的模型進行改進.在考慮標的資產帶紅利的基礎上,結合混合次分數布朗運動,建立了混合次分數布朗運動下帶紅利的永久美式回望期權的定價模型,得到了該期權的定價公式和最優實施邊界.行文安排如下:第2部分介紹相關的預備知識;第3部分建立定價模型;第4部分給出該期權價格的閉式解與最優實施邊界;第5部分為數值實驗;第6部分為結論.

2.預備知識

3.定價模型

Ⅰ 模型假設

假設金融市場中存在兩種可自由連續交易的資產:無風險資產Bt(如債券)和風險資產St(如股票),并滿足以下條件:

1)市場是無摩擦的,即交易費用為零,無稅收;

4.模型求解

zη是方程λ2(1?λ1)z2θ+1+λ1λ2z2θ ?λ1(1?λ2)z ?λ1λ2=0在(0,1)內的唯一解.

證明過程與定理4.1類似.

5.數值實驗

以永久美式回望看跌期權為例,根據定理4.1,運用R語言與MATLAB軟件,進行數值實驗.首先,考察x與y等比例變化時,對定價結果的影響.為此,將部分參數設為

r=0.5,q=0.05,H=0.75,σ1=0.2,σ2=0.3,t=1.5,

取標的資產價格x= 5,標的資產價格的最大值y=6,將x與y等比例放大,運用R語言作出V(x,y)的散點圖,如圖5.1所示.

圖5.1 永久美式回望看跌期權價格的線性等比例放縮性質

由圖5.1可以看出當x與y等比例變大時,永久美式回望看跌期權價格V以相同的比例變大.這表明在混合次分數布朗運動環境下,永久美式回望看跌期權的價格V具有線性等比例放縮性質[14],即對于任意的非負常數a,有

V(ax,ay)=aV(x,y).

這種變化趨勢符合實際情況,從而說明了該定價公式的正確性.

然后,考察Hurst指數對永久美式回望看跌期權價格的影響.為此,固定y= 6,取標的資產價格x ∈[5.75,6),Hurst指數H ∈[0.75,1),其余參數保持不變.運用MATLAB軟件作圖,如圖5.2所示.

圖5.2 永久美式回望看跌期權價格隨Hurst指數變化圖

圖5.2描述了當Hurst指數H ∈[0.75,1)時,永久美式回望看跌期權的價格V隨著Hurst指數的變化情況.該圖表明,在混合次分數布朗運動環境下,隨著Hurst指數的增大,永久美式回望看跌期權的價格V不斷減小.這種變化趨勢符合實際情況,因為當Hurst指數增加時,標的資產價格的路徑會更光滑,即價格波動變小,此時,期權帶來的回報就會降低,從而導致期權價格下降.

最后,在波動率σ1與σ2取不同值的情況下,考察標的資產價格增加時,永久美式回望看跌期權的價格變化情況.為此,固定y= 6,令x ∈[5,6),分別取σ1= 0.20,σ2= 0.30;σ1= 0.25,σ2= 0.35;σ1= 0.30,σ2= 0.40;σ1= 0.35,σ2= 0.45;σ1= 0.40,σ2= 0.50.其余參數不變,運用MATLAB作圖,如圖5.3所示.

圖5.3 永久美式回望看跌期權價格隨波動率的變化曲線

另外,表5.1列出了當x=5時,不同波動率下期權價格的具體值.

表5.1 不同波動率下永久美式回望看跌期權的價格

由表5.1與圖5.3可以看出,當標的資產價格增加時,永久美式回望看跌期權的價格V越來越大;同時,隨著波動率的增大,該期權的價格V不斷增大,與實際情況相同.

6.結論

本文在混合次分數布朗運動環境下,考慮標的資產帶紅利的情形,給出了永久美式回望期權的定價公式與最優實施邊界.運用R語言、MATLAB等軟件進行數值實驗,說明了該定價公式具有回望期權價格的線性等比例放縮性質,并且Hurst指數與波動率等對期權價值有顯著影響.