求解非線(xiàn)性脈沖延遲微分方程的高階數(shù)值方法

龍?zhí)?余越昕

(湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,湖南湘潭411105)

1.引言

科學(xué)與工程中的許多實(shí)際問(wèn)題,其發(fā)展過(guò)程會(huì)受到瞬時(shí)突變的影響,也即系統(tǒng)的狀態(tài)在某些時(shí)刻會(huì)產(chǎn)生瞬時(shí)跳躍,這種現(xiàn)象稱(chēng)為脈沖現(xiàn)象.另一方面,系統(tǒng)狀態(tài)的變化不僅與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān),還依賴(lài)于過(guò)去狀態(tài),即受時(shí)滯的影響.當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到脈沖和時(shí)滯影響時(shí),其數(shù)學(xué)模型一般為脈沖延遲微分方程,在物理學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及控制系統(tǒng)等眾多科學(xué)與工程領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用.

脈沖延遲微分方程相關(guān)理論的研究可參見(jiàn)文[1-8].由于脈沖延遲微分方程的理論解一般很難獲得,因此其數(shù)值方法的研究就顯得尤為重要.2010年DING等人在文[9]給出了求解線(xiàn)性脈沖延遲微分方程定步長(zhǎng)的Euler方法,并且證明了方法是1階收斂的.對(duì)于一類(lèi)線(xiàn)性脈沖延遲微分方程,文[10-12]將其轉(zhuǎn)化為無(wú)脈沖的延遲微分方程,分別研究了Runge-Kutta方法和線(xiàn)性多步法的穩(wěn)定性.2017年ZHANG在文[13]將Runge-Kutta方法用于求解非線(xiàn)性脈沖延遲微分方程,并研究了方法的收斂性.2019年LI等人在文[14]將再生核方法用于求解分段常數(shù)的線(xiàn)性脈沖延遲微分方程,并證明了方法是收斂的.

經(jīng)典的block-by-block數(shù)值方法對(duì)于積分方程的求解是非常有效的,2016年馬群長(zhǎng)等人[15]將其用于求解脈沖微分方程并研究了方法的收斂性和穩(wěn)定性.同年,曹俊英等人[16]構(gòu)造了求解脈沖微分方程的修正的block-by-block方法,并證明了方法是4階收斂的.本文利用文[16]的思想,構(gòu)造了求解非線(xiàn)性脈沖延遲微分方程的高階數(shù)值格式,通過(guò)收斂性分析證明了其是4階收斂的,最后的數(shù)值試驗(yàn)也驗(yàn)證了該理論結(jié)果.

2.數(shù)值方法的構(gòu)造

3.收斂性分析

4.數(shù)值試驗(yàn)

圖4.1 h=0.1時(shí),應(yīng)用數(shù)值方法(2.12)求解例4.1的數(shù)值解與精確解

對(duì)問(wèn)題(4.2)取步長(zhǎng)h=0.01,利用數(shù)值方法(2.12)求解所得到的圖形如圖4.2所示.

圖4.2 h=0.01時(shí),應(yīng)用數(shù)值方法(2.12)求解例4.2的數(shù)值解

為了更好的刻畫(huà)數(shù)值格式(2.12)的精度,針對(duì)例4.1我們采用最大絕對(duì)誤差,即max|yk,j ?y(tk,j)|(k= 0,1,2,··· ,n,j= 0,1,2,··· ,m),相關(guān)結(jié)果如表4.1所示.針對(duì)例4.2,我們采用在∞范數(shù)意義下的全局絕對(duì)誤差來(lái)刻畫(huà)數(shù)值格式(2.12)的精度,由于例4.2的真解無(wú)法求出,這里取時(shí)的數(shù)值解近似代替真解,相關(guān)結(jié)果如表4.2所示.

表4.1 求解例4.1的最大絕對(duì)誤差與收斂階

表4.2 求解例4.2的全局絕對(duì)誤差(‖AE‖∞)與觀測(cè)階

從表4.1、4.2可以看出,最大絕對(duì)誤差和‖AE‖∞隨著步長(zhǎng)h的減小而減小,并且收斂階或觀測(cè)階都接近于4,這與我們的理論分析一致,從而說(shuō)明我們所構(gòu)造的數(shù)值方法(2.12)具有高階收斂性.