基于學科核心能力考查談“半定量”計算問題

摘 要：2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題重視考查考生應用數學工具處理物理問題的核心能力，同時也突出考查考生高效處理“半定量”計算問題的數學處理能力，而這是廣大教師平時教學中極易忽視的內容，建議教師要加強對“半定量” 計算問題的研究，重視培養學生的數學估算能力.

關鍵詞：高考試題剖析;“半定量”計算問題;處理方法;學科核心能力

中圖分類號：G633.7???? 文獻標識碼：B???? 文章編號：1008-4134（2021）19-0054-03

作者簡介：鄧賢彬（1973-），男，四川資中人，本科，中學高級教師，研究方向：高中物理教學.

物理學科明確提出高考時著重考查學生的五大核心能力，其中之一就是應用數學處理物理問題的能力[1].遍觀近幾年高考物理試題，對計算能力的考查有所加強，特別是2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題，選擇題計算化的傾向特別突出，幾乎每道題都要通過計算才能得出正確選項，從開頭運算到結尾，學生要在本學科規定的幾十分鐘時間內做完物理試題難度較大，這也是許多考生“懼怕”作答物理試題的原因.

筆者發現，大多數教師在平時的教學中，對于計算問題往往過多強調學生要一步一步地準確計算出結果，以便通過嚴格訓練培養學生良好的計算習慣和精準的計算能力，卻忽略或者忽視對學生估算能力的培養，造成學生把只需要通過適當估算就能選出答案的題作為計算題按部就班處理，不僅浪費了大量時間同時也增加了犯錯的幾率，事倍功半.教師在教學活動中培養學生科學嚴謹的數學計算能力固然應該，但有意識地總結、歸納“半定量”計算問題的解題技巧和方法，培養學生科學的數學估算能力也是必不可少的，這也是高考物理考查學生必備的數學能力之一.本文以2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題為例，談談試題的“半定量”計算問題，以引起大家注意和足夠的重視.

1 2021年高考全國甲卷試題剖析

摘取2021年高考全國甲卷理科綜合物理試題如下.

15.“旋轉紐扣”是一種傳統游戲.如圖1，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現.拉動多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50r/s，此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度大小約為

A.10m/s2??? B. 100m/s2

C.1000m/s2? D.10000m/s2

18.2021年2月，執行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8×105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8×105m.已知火星半徑約為3.4×106m，火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m/s2，則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m? D.6×108m

以上兩題的分析和解答過程如下.

第15題解析：由題意知轉速n=50rs ，則有ω=2πn=100πrs ，由a=ω2r=（100π）2×1×10-2ms2=100π2ms2，這里需要計算π2的值.

第18題解析：設火星質量為M，火星半徑為R，將某物體m置于火星表面，忽略火星自轉，則有GMmR2=mg .對于火星探測器，設其質量為m1，距火星表面最近距離為a，最遠距離為b，周期為T，則有GMm1a+2R+b22=m12πT2a+2R+b2.

聯立以上兩式解得b=23gR2T24π2-a-2R，這里需要對根號內數值開3次方.

對于第15題：在計算π2時，有π2=（3.14）2=9.8596≈10，因而a≈1000m/s2.

對于第18題有

23gR2T24π2

=233.7×3.4×1062×1.8×10524π2=

233.7×3.42×1.82×10224π2

為了快速得到近似結果，可以作如下處理：33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，π2≈10，則有

233.7×3.42×1.82×10224π2≈6.8×107，故

b=23gR2T24π2-a-2R≈6×107

以上兩題，題目均只求大約值，幾個選項給出的數值只是有效數位不同，命題人實際意圖是要考查學生對結果進行處理的估算能力.一套高考試題中就有兩處考查考生估算能力的試題，可見數學估算能力也是高考考查學生能力的重要內容之一.

2 “半定量”計算問題

2.1 “半定量”計算問題

“半定量”計算問題本質屬于計算題.它具有計算題的基本特征，其解法和步驟同計算題一樣，即需要利用物理規律列方程或者方程組推導出待求物理量表達式，最后再代入數據計算出結果.這類題的特點是對計算結果的精度要求不高，但對學生處理結果的能力要求較高，主要考查學生靈活運用數學處理計算結果的能力.

2.2 “半定量”問題的表現形式

常以選擇題形式考查，題目表述中常有“約多少”“可能”“大于”或者“小于”等字眼.由于“半定量”計算問題屬于計算題，因而很多同學會不假思索地把選擇題完全當成計算題處理，思維定勢使然總是固執地想得到精確的計算結果，因而可能會在計算上浪費大量的時間，結果可能與命題人的命題初衷相去甚遠，費力不討好.

2.3 “半定量”問題的常見類型

第一類是不需要求解待求物理量的精確值，只需要估算出結果的大約值;第二類是判斷待求物理量的增大或者減少;第三類是比較量的倍數關系;第四類是定性判斷并選擇物理量間的關系圖像.

3 “半定量”計算問題的處理方法

3.1 求近似值的處理方法

3.1.1 四舍五入法取整處理

對結果進行計算時，經常會遇到一些常數或者常量，在估算時往往需要根據實際情況把它們作近似處理，粗略計算時一般采用四舍五入法取整處理.如自由落體加速度g=9.8m/s2，粗略計算時通常取g=10m/s2;第一宇宙速度v=7.9km/s，粗略計算時通常取v=8km/s;π2在粗略計算時常取10.

3.1.2 靈活選取近似數方便進行開方或者乘方

天體運動問題中經常遇到數的開方或者乘方，這類計算要綜合根據表達式中實際數據的特點靈活選取近似數以方便完成開方或者乘方計算.如上第18題中把33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，就是在實際處理時把3.7近似為3.4，1.8近似為2.

3.1.3 放縮法確定開方的取值范圍

對于非特殊值的開方，通常利用放縮法估算其取值范圍.例如確定7的取值范圍.粗略處理：∵2=4<7<9=3，∴2<7<3;如果要進一步縮小取值范圍，則需要再逼近被開方數進行估算：因為6.76=2.62<7<2.72=7.29，所以2.6<7<2.7，這樣取得的數值范圍就更精確了.

例題1 （2016年全國Ⅰ卷 17題）利用三顆位置適當的地球同步衛星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊.目前，地球同步衛星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍，假設地球的自轉周期變小，若仍僅使用三顆同步衛星來實現上述目的，則地球自轉周期的最小值約為

A.1h?? B.4h?? C.8h?? D.16h

解析：若三顆衛星恰能實現赤道上任意兩點的無線電通訊，三顆衛星的位置如圖2所示，由幾何關系可得

r=Rsin30°=2R

根據GMmr2=4π2T2mr得

T=2πr3GM，則Tmin24=（2R）3（6.6R）3=13.3 13.3

因為12=14<13.3<11=1，所以24×13.3×2

3.2 差值法比較增量

變化量是物理中較重要的一個概念，許多問題常常需要計算物理量變化，如速度的變化量、能量的變化量、磁通量的變化量等.例如在兩物體發生碰撞時，由于滿足動量守恒和機械能不增加，即m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2①，12m1v21+12m2v22≥12m1v′21+12m2v′22②，因而在判斷碰撞發生的可能性時需要通過估算判斷.對于能量能不能增加的判斷，用差值法判斷能量增量的正負即可.

例題2 質量相等的A、B兩球在光滑的水平面上沿同一直線向同一方向運動，A球的動量是7kg·m/s，B球的動量是5kg·m/s.當A球追上B球發生碰撞，則碰撞后A、B兩球的動量可能是

A.pA=6kg·m/s，pB=6kg·m/s

B.pA=3kg·m/s，pB=9kg·m/s

C.pA=-2kg·m/s，pB=14kg·m/s

D.pA=-4kg·m/s，pB=17kg·m/s

解析：根據碰撞前后系統的動量守恒判斷，碰撞前系統的總動量是12kg·m/s，碰撞后系統的總動量仍為12kg·m/s，因此排除選項D.設mA=mB=m，則能量的增量ΔEk=p2A2mA+p2B2mB-p2A02mA+p2B02mB.對A項，ΔEk=622mA+622mB-722mA+522mB=-1m<0，即碰撞過程總動能不增加，選項A正確;對B項，ΔEk=322mA+922mB-722mA+522mB=8m>0，即碰撞過程總動能增加，選項B錯誤;對C項，ΔEk=222mA+1422mB-722mA+522mB=53m>0，即碰撞過程總動能增加，選項C錯誤.本題A選項正確.

3.3 比值法比較倍數關系

物理題中，遇到同類量比較倍數關系時，常用比值法結合放縮法比較倍數大小關系.

例題3 完全相同的金屬小球A和B帶等量異種電荷，中間連接著一個輕質絕緣彈簧，放在光滑絕緣水平面上，平衡時彈簧的壓縮量為x0.現將不帶電的與A、B完全相同的金屬球C與A球接觸一下，然后拿走，重新平衡后彈簧的壓縮量為x，則

A.x=12x0?? B. x>12x0

C.x<12x0? D. x=x0

解析：開始時A球處于平衡狀態，所受庫侖力等于彈簧彈力.設彈簧勁度系數k1，彈簧原長為L，小球帶電量為q，則有k1x0=kq2L-x02①，將C球與A球接觸后，A球帶電量變為原來的一半，達到新的平衡后有k1x=k12q2L-x2②.由②①得xx0=12L-x02L-x2，因為x

3.4 極值法推斷物理圖像

物理題中經常用圖像直觀表示物理量間的關系，但描述定性關系的圖像不需要精確知道橫、縱坐標的具體數值，只是粗略推斷圖像與坐標軸的交點值、圖像的彎曲方向或者因變量的最后極端值等就可以得出選項.對這類問題，可利用物理規律寫出物理量間的表達式，再將自變量推向極值就可以估算出因變量的初值和終值，再結合斜率變化定性判斷圖像的彎曲方向從而可將正確答案選出來.

例題4 如圖3所示，一根輕繩跨過光滑定滑輪，兩端分別系一質量為m1、m2的物塊，m1放在地面上，m2離地面有一定高度.當m2的質量不同時，m1的加速度a的大小也將隨之改變.以下四個圖像中，最能準確反映a與m2的關系的是

解析：當m2≤m1時，系統靜止，a=0，排除B、C;

當m2>m1時，對整體有m2g-m1g=m1+m2a，即a=m2m1+m2g-m1m1+m2g=11+m1m2g-m1m1+m2g.由上面表述式可知，圖像不可能是直線型，因此排除A，當m2增大時，a增大，當m2→∞時，a→g.選項D正確.

今年的高考試題，充分說明作為數學處理物理問題的核心能力和考查的數學估算能力也是學生不可或缺的必備能力，教師在今后的教學活動中一定要高度重視對學生這方面能力的培養.

參考文獻：

[1]教育部考試中心.高考試題分析（理科綜合分冊）（2020年版）[M].北京：高等教育出版社，2020.

（收稿日期：2021-07-09）