熱方程在非負Ricci曲率度量測度空間上的Cauchy問題*

孫萌

天津大學應用數學中心，天津 300072

1 引言及主要結果

在研究函數的邊界問題時，人們通常采用 “轉化” 的方式。比如我們研究熱函數的Cauchy 問題時，通常將其轉化為研究將邊界值函數通過 “Gaussian 平均” 后得到的函數。更確切地說，設ht(x) 是定義在上半空間Rn+1+上的熱核，并且f∈L1loc(Rn)，令

則u(x，t) 是Rn+1+上的熱函數，即滿足熱方程?tu-Δxu=0. 這樣，我們就可以通過研究熱函數u(x，t) 的性質來研究f的性質。

早在1975 年，F(xiàn)abes 和Neri 在文獻［1］ 中發(fā)現(xiàn)，若定義在Rn+1+上的熱函數u(x，t) 滿足下列Carleson測度條件

則它的跡u(x，0) =f(x) 屬于BMO 空間。反過來，所有跡滿足BMO 條件的熱函數u(x，t) 恰好可用（1） 式來刻畫。該研究為解決在端點p=∞處的熱方程的Cauchy 問題提供了新的思路（因BMO 空間可視為Lebesgue 空間L∞(Rn)的替代）。從那時起，大量的工作致力于研究聯(lián)系Schr?dinger 算子［2］，Campanato 空間［3］，調和函數類似刻畫的推廣等［4-5］。

我們知道，有Ricci 曲率下界的度量測度空間包括：Riemannian 流形在Gromov-Hausdorff 度量下的極限空間， 以及有非負曲率的Alexandrov 空間。 這些空間上的分析與幾何研究在近二十年得到了廣泛地關注與發(fā)展［6-7］。本文的主要目的是證明當底空間Rn被推廣到有非負Ricci 曲率的度量測度空間時，熱函數關于（1） 式有著相似的刻畫結果。

本文設(X，d，μ) 是滿足適當非負Ricci 曲率維數條件RCD*(0，N)［8］（見第二節(jié)定義9） 的度量測度空間，其中N≥1。這樣的空間(X，d) 是完備的并且是可分的，μ是在空間X上局部有限的Borel 測度。下面給出BMO空間和TMO空間的定義。

定義1（BMO空間） 設f是X上的局部可積函數。稱f屬于有界平均振動函數空間BMO(X)，如果

定義2（TMO 空間） 設u是X× R+上的熱函數，即在分布意義下滿足熱方程?tu-Δxu=0. 稱u屬于溫度平均振動函數空間TMO(X× R+)，如果

下面給出本文的主要結論。

定理1設(X，d，μ) 是RCD*(0，N) 空間，其中N≥1. 則u∈TMO(X× R+)當且僅當存在f∈BMO(X) 使得對任意的(x，t) ∈X× R+有u(x，t) =Ht f(x)成立，這里Ht表示(X，d，μ)上的Gaussian半群。并且存在常數C＞1使得

本文主要結構如下：第2 節(jié)介紹了一些基本概念，如Sobolev 空間，微分構造，Laplace 算子等。第3節(jié)給出了雙倍性質，熱核的Gaussian估計和TMO 函數的性質。第4節(jié)則給出定理1的具體證明過程。為行文方便，本文出現(xiàn)的C和c均是與主要變量無關的正常數，用C(α，β，…，γ)表示僅依賴于α，β，…，γ的正常數，且以上符號在不同行可以表示不同的值。

2 預備知識

本節(jié)我們首先回顧一些基本的概念和相關符號表示。

2.1 度量測度空間上的Sobolev空間

設(X，d)是一個完備的度量空間，μ為其上的一個Borel測度且supμ=X. 設C([ 0，1]，X) 為賦上確界范數的從［0，1］到X上的連續(xù)曲線空間。映射et：C([ 0，1]，X) →X，定義為

我們用P(C([ 0，1]，X)) 表示定義在空間C([ 0，1]，X) 上Borel 概率測度的集合。 設p≥1 稱γ∈ACP([ 0，1]，X)，若存在g∈Lp([ 0，1]) 滿足

顯然有ACp([ 0，1]，X) ?AC1([ 0，1]，X). 而AC1([ 0，1]，X) 為絕對連續(xù)曲線的集合，故對γ∈ACp([ 0，1]，X)，可定義其度量導數為

定義3設π∈P(C([ 0，1]，X)). 若π滿足

（i）π在AC2([ 0，1]，X)外測度為0，即π(C([ 0，1]，X)AC2([ 0，1]，X))=0，且

（ii） 若存在常數C＞0，使得對任意0 ≤t≤1，有

則稱π是一個測試方案。

定義4（Sobolev 空間） 設f：X→R 是Borel 函數。若存在非負函數G∈L2loc(X)（或G∈L2(X)），使得對每一個測試方案π，均滿足

則稱f屬于Sobolev空間S2loc(X)（或S2(X)）.

借助緊致性理論，可以證明對每一個f∈S2(X)，存在唯一的極小函數G（G關于μ是幾乎處處定義的） 使得（2） 式成立。用|▽f|表示G，并且稱它為f的最小弱上界梯度，具體細節(jié)參見文獻［9］。

定義5（非齊次Sobolev空間） 若f∈S2(X) ∩L2(X)并賦予以下范數

則稱f屬于非齊次Sobolev空間W1，2(X).

設Ω是X中的開集，通常用(Ω)表示局部Sobolev空間，具體細節(jié)參見文獻［10］。

2.2 微分構造和Laplace算子

下文中介紹的概念主要來自文獻［8］ 和［11］。

定義6（無窮小Hilbert 空間） 設(X，d，μ) 是度量測度空間。若W1，2(X) 是Hilbert 空間，則稱(X，d，μ)是無窮小Hilbert空間。

由定義6我們可推斷出(X，d，μ)是無窮小Hilbert空間當且僅當如下平行四邊形法則成立：

定義7（內積） 設(X，d，μ)是無窮小Hilbert空間，Ω是X中的開集，定義在Ω上的內積·，· 是如下幾乎處處定義的實值函數：

其中inf表示本性下確界。

由內積的定義可以看出·，· 是局部，對稱且線性的，并且滿足Cauchy-Schwarz 不等式、Leibniz 法則和鏈式法則，具體細節(jié)參見文獻［11］。借助內積我們引入如下Laplace算子。

定義8（Laplace 算子） 設(X，d，μ) 是無窮小Hilbert 空間。對任意f∈W1，2loc(X)（或W1，2(X)），若存在函數g∈L2loc(X)（或g∈L2(X)） 使得對任意具有緊支集的函數φ∈W1，2(X)，均有如下等式成立

則稱f屬于Dloc(Δ)（或D (Δ)）. 用Δf來表示函數g，并稱其為f的Laplacian。

顯然，Laplace 算子是線性的。由Leibniz 法則知，如果f，g∈Dloc(Δ) ∩L∞loc(X)（或Lipschitz 連續(xù)函數f，g∈D (Δ) ∩L∞(X)）， 則fg∈Dloc(Δ)（或fg∈D (Δ)），且滿足Δ(fg) =gΔf+fΔg+ 2 ▽f，▽g.

2.3 曲率維數條件

設(X，d，μ) 是無窮小Hilbert 空間。Ht可以表示為在Dirichlet 形式下由積分生成的熱流etΔ。顯然，(X，d，μ)是無窮小Hilbert空間蘊含著Ht是線性的。

接下來我們回顧RCD*(0，N)空間的定義，文獻［12］ 介紹了關于該空間的一些等價特性。

定義9（RCD*(0，N)空間） 設(X，d，μ)是無窮小Hilbert空間。若對任意f∈W1，2(X)，有

則稱(X，d，μ)為RCD*(0，N)空間，其中N≥1.

2.4 Hardy空間［13］與BMO空間

定義10（Hardy空間） 設(X，d，μ)是度量測度空間，定義Hardy空間H1(X)為

并賦予函數f范數

這里S(f)為如下的Lusin 面積函數

其中Γ(x)：= {(z，t) ∈X× R+：d(z，x) ＜t}.

3 熱核上界和TMO函數的性質

為建立熱核的Gaussian估計及TMO函數的性質，我們首先給出測度μ的性質。

命題1設(X，d，μ) 是RCD*(0，N) 空間，其中N≥1，則測度μ有雙倍性質，即對任意x∈X，0 ＜r＜R＜∞有

證明雙倍性質是由Sturm［14］建立，也可參見文獻［8］。

由Rajala［15］知，對于任意的f∈W1，2(B)，有如下Poincaré不等式成立

命題2設(X，d，μ)是RCD*(0，N)空間，其中N≥1，則有以下結論成立：

（i） Gaussian上界：對任意x，y∈X，t＞0，有

（ii） 對任意y∈X，s＞0，則?shs(·，y) ∈H1(X).

證明（i） 熱核及其梯度的Gaussian上界參見文獻［10，16］。

（ii） 由定義10知，只需證?s ps(·，y) ∈H1(X)，即

由半群理論知t(-Δ)Ht( ?shs(·，y) )(z) 是算子t(-Δ)2Ht+s的核。因此利用熱核的Gaussian 上界和雙倍性質可得，對任意(z，t) ∈Γ(x)，有

該估計蘊含著?shs(·，y) ∈H1(X). 命題證畢

由以上倍測度性質及熱核的估計，以及Duong-Yan［17］可知，

注1 （BMO 空間等價刻畫） 若局部可積函數f屬于BMO(X)，當且僅當存在x0∈X和β＞0，使得以下結論均成立

（i）f∈L2((1 + d(x，x0))-β μ(B(x0，1 + d(x，x0)))-1dμ)；

其中對任意t＞0，Ht f是f的Gaussian平均。

引理1設(X，d，μ)是RCD*(0，N)空間，其中N≥1。則有如下結論成立

（i） 若存在方體Q=B(x，r) × (t-r2，t+r2) ?X× R+使得熱方程?tu-Δxu=0成立，則對γ∈(0，1) 存在常數C=C(N，γ) ＞0，有其中拋物方體Q=B(x，r) × (t-r2，t+r2).

（ii） 若u∈TMO(X× R+)，則存在常數C＞0，使得

證明（i） 參見文獻［18］ 的第三部分。

（ii） 由文獻［19］ 可知?tu(x，t)是熱方程在X× (0，∞)上的解。由（i） 及H?lder不等式得

對|t▽xu(x，t)|，我們應用文獻［20］ 來證明。該文獻表明，在RCD*(0，N)空間(X，d，μ)上，v是熱方程在B(x0，2R) × (0，T*)上的正解，則對T∈(0，T*)其滿足

其中α＞1，β∈(0，1).

令

由u是熱方程在X× (0，∞)上的解，可知u～ 也是該熱方程的解。記

并取C充分大，由（i） 可知在上v＞0. 在（3） 中取定，T=9t/8，β=7/9，可得

進一步，

以上，最后一步中我們用了條件（i） 來控制|v|2. 由的選取可知

對于積分號中的第一項，運用Poincaré不等式可知

結合之前對s|?su|的估計，可得

引理證畢

引理2設(X，d，μ)是RCD*(0，N)空間，其中N≥1. 若u∈TMO(X× R+)，則有如下結論成立

（i） 對任意ε＞0，uε的Gaussian平均Htuε在X× R+上是良定義的，其中uε(·) =u(·，ε)；

（ii） 對任意x0∈X，ε＞0和β＞0，存在常數C(x0，ε，β)＞0使得

（iii） 對任意x∈X，t＞0和ε＞0，有

（iv） 對任意x∈X，t＞0 和ε＞0，有

（v） 函數族{uε(·) }ε＞0在BMO(X)中是一致有界的。

證明（i） 對于任意取定的x∈X和t＞0，有

若y∈B(x，2ε)c，同樣由引理1可得

綜上可知

從而，Htuε(x)在X× R+是良定義的。由此，進一步可知

（ii） 記B=B(x，2ε)，利用（4） 式可推出

對于I1，顯然有

對于I2，利用Gaussian上界、雙倍性質，引理2 （ii） 和H?lder不等式可得

最后，令w(x，t)=?tu(x，t+ε) -Ht(?εuε)(x)，顯然w(x，t)也是熱方程的解且w(x，0)=0，即滿足

由引理1的（ii） 可知

即w有界。故由空間是隨機完備的，可知w≡0，即對任意的x∈X，t，ε＞0，

接下來， 我們利用Chen在文獻［5］ 中的一個方法。注意到

以及因此

由引理1 （ii） 以及式（5） 可得

故存在f(x，ε)使得對于任意的x∈X，t，ε＞0，

令t→0，可知f(x，ε) ≡0，即u(x，t+ε) =Ht(uε)(x). 引理2 （iii） 證畢

（iv） 下面分兩種情況進行證明。若r2B≥ε，利用換元和雙倍性質可得

若r2B＜ε，利用引理2 （iii） 和引理1 （ii） 可得

（v） 任取g∈L2(X)且緊支撐于球B內，對任意x∈X和t＞0，設

第一步證明存在常數C＞0使得

作如下分解：

對于J0，由譜定理［20］可得

再結合H?lder不等式，引理2 （iv） 和雙倍性質推出

對于Jk，先估計被積函數G(x，t)，我們把分成兩個部分：

當(x，t) ∈(2k+1B2kB) × (0，(2k+1rB)2) 時，由Gaussian上界和雙倍性質可得

將該估計帶入到Jk中并利用H?lder不等式和（iv） 可得

當(x，t) ∈(2kB) × ((2krB)2，(2k+1rB)2)時，同理可得

將該估計帶入到Jk中并利用H?lder不等式可得

因此，由（8），（9） 和（10） 式可推出

第二步證明下述等式成立

由（6） 式，可得

利用Lebesgue控制收斂定理和Fubini定理推出

對于K1，我們由譜定理［20］可得

這樣我們得到

對于K2，利用Gaussian上界和雙倍性質可得

因此，我們有

再由H?lder不等式及引理2 （ii） 知

上式說明極限和積分可以交換順序，再結合（12） 式可得

結合（13） 式和（14） 式可知（11） 式成立。

第三步現(xiàn)在我們利用第一步和第二步結論來證明{uε(·) }ε＞0在BMO(X)中一致有界。由注1 （BMO空間等價刻畫） 可知，只需證{uε(·) }ε＞0滿足其中（i），（ii） 兩個條件且有一致上界即可。

首先，因為u∈TMO(X× R+)，故由引理3. 2 （ii） 知

從而uε滿足第一個條件。

其次，由第二步結論可知，對任意g∈L2(B)，

再結合對偶定理，可推出

其中常數C＞0 且與ε無關。故uε滿足第二個條件，因此函數族{uε(·) }ε＞0屬于BMO(X)，且有一致上界

4 定理1的證明

在第三節(jié)基礎之上，我們給出定理1的證明。

定理1的證明 第一步證明對任意u∈TMO(X× R+)，都存在f∈BMO(X)，使得u=Ht f且

其中常數C＞0且和u，f無關。

我們知道，Hardy 空間H1(X) 完備［13］，且由引理2 （v） 知函數族{uε(·) }ε＞0在BMO(X) 中一致有界。故利用Banach-Alaoglu 定 理知，存在數列εk→0(k→∞) 和函數f0∈BMO(X) 使得當k→∞時， 有uεk→f0（弱*收斂）；而由命題2 （ii） 知，對任意(y，t) ∈X× R+，有?tht(·，y) ∈H1(X)，故由弱*收斂定義可得

對于（15） 式左端，利用引理2 （iii） 可知

由極限唯一性可得?tu(x，t)=?tHt f0(x)。因此，存在g(x)使得u(x，t) =Ht f0(x) +g(x).

注意到Ht f→f（t→0） 在BMO(X)中成立，可以推出：對任意h(x) ∈H1(X)，有

上式兩端對k取極限得

因為上式對任意h∈H1(X) 都成立，因此g≡常數；令f=f0+g，則有u(x，t) =Ht f，且由Banach-Alaoglu定理得

第二步對任意f∈BMO(X)， 因關于時間變量部分的估計與空間變量的思路相同，故只需證明

其中常數C＞0且與f，B無關。

將f分解為

對于f1由守恒律知其顯然成立。

對于f2，由譜定理［20］可知

再結合Riesz變換▽xΔx-1/2在L2上的有界性和雙倍性質，可得

對于f3，由Gaussian上界和雙倍性質可得

因此有

綜上可得（16） 式，再結合第一步結論知定理1得證。