單級圓柱齒輪減速器的優化

馮柯茹

(達州職業技術學院，四川 達州 635000)

0 引言

齒輪減速器是原動機和工作機之間獨立的閉式機械傳動裝置，能夠降低轉速和增大扭矩，是一種被廣泛應用在工礦企業及運輸、建筑等部門中的機械部件。圓柱齒輪減速器傳統的設計方法是設計人員根據各種資料、文獻提供的數據，結合自己的經驗，對已有減速器進行類比，初步定出一個設計方案，然后對方案進行各類經驗優化。但這種方法設計出的減速器往往并不是最優的設計方案[1]。因此，為了降低減速器的成本，優化設計圓柱齒輪減速器勢在必行。

單級圓柱齒輪減速單元的初步設計優化是一個相當受關注的課題，因為許多高性能的動力傳動應用需要高性能的齒輪減速單元[2]。單級圓柱齒輪減速器的優化設計有多個目標，如體積最小化、重量最小化、表面疲勞壽命最大化等，本文則對單級圓柱齒輪減速器的體積和重量進行優化設計。

1 單級圓柱齒輪減速器優化設計數學模型

本研究的單級圓柱齒輪減速器以體積最小為目標函數，各已知條件如下：輸入功率p=58 kw，輸入轉速n1=1000 r/min，齒數比u=5，齒輪許用應力[δ]H=550 MPa，許用彎曲應力[δ]F=400 MPa。

1.1 設計變量的確定

在滿足零件剛度和強度的條件情況下，減速器體積可以近似表示為齒輪和軸的體積和，即

(1)

以往設計總是通過盡可能的減小齒輪和齒輪軸的體積和中心距來勢其體積最小，本研究將齒寬b、齒數z1、模數m、齒輪軸徑dz1、dz2、支撐距離1作為設計變量。設計變量取為x=[x1x2x3x4x5x6]T=[bz1mldz1dz2]T。

1.2 目標函數的確定

目標函數是以設計變量來表示設計所要追求的某種性能指標的解析表達式，用來評價設計方案的優劣程度。本文以齒輪與齒輪軸和來近似整個減速器的體積。因此，目標函數為它們的體積之和，即式(1)。

1.3 約束條件的確定

(1)首先為避免發生根切，z應該大于等于17，得g1(x)=17-x2≤0。

(2)齒寬系數取Φmin=0.9，Φmax=1.4，得g2(x)=0.9-x1/(x2x3)≤0，g2(x)=0.9-x1/(x2x3)≤0。

(3)動力傳導的齒輪模數應該大于2 mm，得g4(x)=2-x3≤0。

(4)為了限制大齒輪的尺寸不至于過大，小齒輪的直徑不能大于d1max，得g5(x)=x2x3-300≤0。

(5)齒輪軸直徑范圍要小于dzmin大于dzmax，得g6(x)=100-x5≤0，g7(x)=x5-1500≤0，g8(x)=130-x6≤0，g9(x)=x6-2000≤0。

(6)軸的支撐距離l應滿足條件：l≥b+2△min+0.5dz2，得g10(x)=x1+0.5x6-x4-40≤0。

(7)齒輪的接觸應力和彎曲應力不大于許用值，得

2 MATLAB優化求解

MATLAB優化工具箱含有一系列的優化算法函數，可方便、快捷地解決線性、非線性極小值，非線性系統的方程求解，曲線擬合，二次規劃，大規模優化等工程實際問題[3]。機械優化設計多數是非線性約束最小化問題，早期常見方法是通過構造懲罰函數將有約束的最優化問題轉化為無約束最優化問題后，再利用Powel(鮑威爾)法進行求解。而在MATLAB中，采用序列二次規劃法(SQP法)進行優化[4]，算法可靠，不用編寫大量的算法程序，提高了設計效率。

本文有6個設計變量，約束問題有16個，選用MATLAB優化工具箱中fmincon函數來處理。fmincon是用于求解非線性多元函數最小值的matlab函數，優化工具箱提供fmincon函數用于對有約束優化問題進行求解，盡可能地避免了繁重的計算過程。用fmincon函數實現求解約束優化問題[5]。

2.1 編寫非線性約束函數的M文件

function[c，ceq]=myfun1(x)

c=[17-x(2)；0.9-x(1)/(x(2)*x(3))；

x(1)/(x(2)*x(3))-1.4；

2-x(3)；x(2)*x(3)-300；

100-x(5)；x(5)-150；

130-x(6)；

x(6)-200；

x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40；

1486250/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)))-550；

7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)^2))-400；

7098/(x(1)*x(2)*x(3)^2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)^2))-400；

117.04*x(4)^4/(x(2)*x(3)*x(5)^4)-0.003*x(4)；

(1/(x(5)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+2.4*10^12)-5.5；

(1/(x(6)^3))*sqrt((2850000*x(4)/(x(2)*x(3)))^2+6*10^13)-5.5]；

ceq=[]；

2.2 編寫目標函數的M文件

給定變量的初值和相關參數，并調用fmincon函數求極值，即：

fun1=′0.785398*(4.75*x(1)*x(2)^2*x(3)^2+85*x(1)*x(2)*x(3)^2-85*x(1)*x(3)^2+0.92*x(1)*x(6)^2-x(1)*x(5)^2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)^2+x(4)*x(6)^2+28*x(5)^2+32*x(6)^2)′；

x0=[230；21；8；420；120；160]；

[x，fval]=fmincon(fun1，x0，[]，[]，[]，[]，[]，[]，@myfun1)。

2.3 優化分析結果

根據運行結果得出x=[x1x2x3x4x5x6]T=[178.8062 69.8994 2.8912 203.8042 150.0025 130]T。即b=178.8062，z1= 69.8994，m=2.8912，l=203.8042，dz1= 150.0025，dz2=130時，體積最小，為4.3236e+07。

3 結論

本文利用的MATLAB優化方法具有編程工作量少、語法符合工程設計要求等特點，以減速器齒輪的各項參數作為自變量，以體積最小為目標函數，在約束函數條件下對該減速器進行優化設計。