基于Dixon優化算法的雙頻匹配網絡設計

王龍崗， 陳章友， 吳雄斌， 王 歡

(武漢大學電子信息學院， 武漢 430072)

高頻地波雷達(high frequency surface wave radar,HFSWR)工作在短波(3～30 MHz)波段，利用垂直極化的電磁波沿海洋表面繞射傳播的特性，能夠克服地球曲率的限制，實現對海上目標和海態的超視距、全天候探測，具有探測成本低、范圍廣、實時性好等特點[1]，成為海洋探測的重要手段。而其發射天線的物理尺寸較大是限制HFSWR推廣應用的重要因素，隨著技術的發展，HFSWR對發射天線的多頻化工作和小型化的要求越來越迫切[1-3]，而由此造成的阻抗不匹配也成為該技術發展中不可避免的問題[4-6]。由于HFSWR對于發射效率要求較高，要使小型化后的雙頻/多頻天線能夠滿足工程要求，必須設計相應的雙頻/多頻匹配網絡。

阻抗匹配作為天線和微波/射頻電路設計的一個基本任務，一直受到中外學者廣泛關注和研究。利用實頻分析設計匹配網絡的方法，后來被不斷改進并廣泛用于寬帶匹配的設計[7]。近年來，許多學者針對微波/射頻段的匹配網絡進行了大量研究，如利用兩段傳輸線設計而成雙頻匹配網絡[8]，在雙頻匹配網絡的基礎上擴展而成的三頻匹配網絡[9]等，這些研究成果主要是基于分布元件的，為微波/射頻電路的設計提供了有利幫助，但這些方法不適用于短波波段的匹配電路設計。而利用集總元件設計匹配電路的研究相對比較少，Nallam等[10]提出了一種利用集總元件進行多頻段匹配網絡設計的方法，但是這種方法基于頻率變換的解析法，不適用于結構復雜的電路；Rodriguez等[11]利用實數編碼的遺傳算法設計高頻天線的匹配網絡，雖然能夠實現寬帶設計，但是算法的計算過程比較復雜；Li等[2]利用集總元件構成的陷波器實現天線的雙頻功能，但是這種方法有比較大的局限性，調節比較困難，而且天線結構較復雜；任儀等[12]利用非福斯特匹配網絡匹配接收天線，這種利用有源器件進行匹配網絡設計比較復雜，且不適用于HFSWR大功率發射天線。黃曉丹[4]通過在天線諧振頻點f0兩側各設置一個諧振頻率為f1、f2串聯諧振電路，利用諧振電路的特性實現了對電小天線的匹配，但是該方法設計的匹配網絡復雜，不適用于雙頻匹配。

針對上述問題，提出了利用Dixon優化算法設計匹配網絡的方法。該方法首先根據待匹配的對象，選擇一種合適的、結構簡單的拓撲結構，然后根據拓撲結構中各元件之間的串并聯關系以及負載的阻抗推導出匹配網絡輸入端的阻抗表達式，該表達式包含各元件參數，再利用網絡輸入端的阻抗構造優化算法的目標函數，并把各元件的參數作為優化變量，最后利用Dixon算法得到各元件參數的值，并對仿真與實測結果進行了分析。

1 雙頻匹配網絡及其輸入阻抗

通過串聯電感并聯電容或者串聯電容并聯電感，可以使某個特定頻點對應的輸入阻抗沿著Smith圓圖的等電阻或等電導圓移動，實現單頻匹配。多頻匹配網絡可以借鑒單頻匹配網絡的思想，將多個單頻匹配網絡并聯，通過選擇合適的元件值，可以實現多頻匹配。選擇的匹配網絡的拓撲結構如圖1所示。匹配網絡由并聯的兩支路組成，元件Z1和元件Y1組成匹配網絡的上支路，元件Z2和元件Y2組成匹配網絡的下支路。元件Z1、元件Y1、元件Z2和元件Y2既可以是電感元件也可以是電容元件，而且元件Z1和元件Y1、元件Z2和元件Y2可以交換位置，可等效為L型、Π型和T型網絡。由于上下支路之間會有耦合作用，因此分析網絡輸入阻抗時要將整個匹配電路作為一個二端口網絡整體考慮。

圖1 匹配網絡的拓撲結構Fig.1 Topological structure of matching network

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據A矩陣與Y矩陣之間的轉換關系，可以得到整個匹配網絡的歸一化A矩陣為

(6)

匹配網絡的輸入阻抗Zin以及反射系數Γin可分別表示為

(7)

(8)

式中：a、b、c、d為A矩陣的參數；Z0為傳輸線的特征阻抗；ZL為天線的輸入阻抗，代入式(7)可以計算網絡輸入端的阻抗Zin。

要實現阻抗匹配，則要求匹配網絡的輸入阻抗Zin與傳輸線的特征阻抗Z0要近似相等，即要求反射系數Γin要盡可能小。而Zin與天線輸入阻抗以及各元件的參數是相關的，因此反射系數Γin與各元件的取值是相關的。考慮到在實際應用中，電容元件具有較大的寄生電阻，損耗較大，在設計匹配網絡時，電感元件盡量采用串聯形式，電容元件盡量采用并聯形式。

在雙頻或多頻匹配網絡的優化問題中，以網絡中各元件的參量作為優化變量，以匹配網絡輸入端的反射系數作為目標函數，由于雙頻匹配網絡要在兩個頻點都需要滿足匹配要求，對應的會有兩個目標函數，因此可以通過加權將兩個或多個目標函數合成一個目標函數。可以表示為

f(x1,x2,…xN,f1,f2,…fM)=

(9)

式(9)中：xj為第j個網絡元件參數(j=1,2,…,N)，其中N為網絡中元件的數目；fi為需要匹配的第i個頻率點(i=1，2，…，M)；M為待匹配的頻點數；wi為第i個頻率點權重；Γi為第i個頻率點的反射系數。

通過優化算法計算出在給定拓撲結構情況下，使式(9)達到最小時的網絡中各元件的值，即可得到對應該拓撲結構的最優網絡。

2 利用Dixon優化算法求解元件參數

目前常用的優化算法眾多，如遺傳算法[11]、梯度下降算法等，而對于目標函數表達式比較復雜，求導不容易的實際問題，這些算法計算過程比較復雜，而Dixon算法[13]提供了一種比較簡潔的思想。

Dixon算法是數值優化算法中的直接法，通過構建一個二次函數：

(10)

式(10)中：x為n維變量；H為二次項系數；b為一次項系數；c為常數項。

使二次函數Q(x)與目標函數f(x)在控制點上的值相等來實現對目標函數的逼近，從而以二次函數Q(x)的極小點作為f(x)的近似極小點，然后再改變控制點找到f(x)更好的二次近似函數Q(x)以改善極小值點的位置，從而構成迭代[14]。在計算過程中只用到函數f(x)的值，適合目標函數表達式復雜或沒有表達式的情況。

Dixon算法步驟如下。

步驟1隨機生成(n+1)個初始點xi，i=0,1,2,…,n。

步驟2計算各點的函數值fi=f(xi)，i=0,1,2,…,n。

步驟3對xi重新排序，使得fi≤fi+1，i=0,1,2,…,n-1。

步驟9求出第n+2個點的函數值fn+1=f(xn+1)，若fn+1>fn則方法失敗，若xn+1=xn方法也失敗，停止計算，否則用xn+1替換xn，轉到步驟3進行新的循環。

按照上述步驟不斷進行循環迭代，直到算法失敗或者滿足收斂條件即找到能夠使得二次函數較好逼近目標函數。

在實驗中所用傳輸線的特征阻抗Z0為50 Ω，對于高低兩個頻率，ZL分別為(21.5+15.8i) Ω、(44.3+12.9i) Ω，代入式(7)可以得到匹配網絡輸入端阻抗，進而得到只含有未知元件參數的目標函數，利用優化算法進行優化。圖1所示的拓撲結構中，各元件的初始化參數為：Z1為900 nH的電感，Y1為500 pF的電容、Z2為700 nH的電感、Y2為800 pF的電容。將其作為第一個點的4個參數值，并以此為基礎隨機生成其余4個點。利用Dixon優化算法經過約460次迭代得到的各元件的參數：Z1為2 874 nH的電感，Y1為655 pF的電容、Z2為 1 655 nH 的電感、Y2為800 pF的電容。由于上下支路的兩個電感元件之間是并聯關系，將其等效為一個電感元件1 050 nH，可以減小元件帶來的損耗，而匹配網絡的效果不會受到影響，該拓撲結構也簡化為一個Π型網絡，如圖2所示。

圖2 雙頻匹配網絡等效拓撲結構Fig.2 Equivalent topology of dual frequency matching network

能夠同時工作在多頻點的雷達在探測性能與抗干擾能力方面表現出明顯優勢，成為未來雷達的發展方向。因此將小型化雙頻天線擴展為三頻天線，以便雷達能夠同時工作在多個頻點上。為了保證三頻天線能正常工作，對雙頻匹配網絡也進行擴展使其成為三頻匹配網絡。對于3個頻率，ZL分別為(19.9+17.7i) Ω、(32.5+10.9i) Ω、(35.2+9.7i) Ω，利用Dixon優化算法進行求解各元件值時，依然借助前面對網絡輸入阻抗的推導，并且構造式(9)形式的目標函數。根據優化算法求解得到的各元件值，進行元件的等效替代后，最終得到圖3所示的拓撲結構。其中，Z2為1 868 nH的電感元件，Y2為174 pF的電容元件，Z3為1 662 pF的電容元件，Y3為1 785 nH的電感元件。

圖3 三頻匹配網絡等效拓撲結構Fig.3 Equivalent topology of triple frequency matching network

3 匹配網絡的仿真及實測結果分析

3.1 雙頻匹配仿真結果分析

為了驗證利用優化算法得到的各元件參數值的有效性，根據優化的結果，在軟件ADS中設計相應的匹配電路，進行仿真計算，得到的仿真結果如圖4所示。可以看出，未加入匹配電路之前，中心頻率4.2 MHz附近的低頻諧振點反射損耗較大，不能直接使用；中心頻率7 MHz附近的高頻諧振點阻抗特性稍好，但是中心頻率有偏移。加入利用優化算法設計的匹配電路后，低頻諧振點的阻抗特性得到了明顯改善，匹配效果良好，高頻諧振點的帶寬特性也到了改善。以駐波比小于2計算，低頻諧振點帶寬有80 kHz，高頻諧振點的帶寬達到200 kHz以上，能夠滿足設計要求。

圖4 雙頻匹配前后的對比(仿真)Fig.4 Comparison without and with dual frequency matching network (simulation)

3.2 三頻匹配仿真結果分析

根據利用Dixon優化得到的三頻匹配網絡中各元件的參數，在ADS中設計相應的匹配電路，得到的仿真結果如圖5所示。可以看出，加入匹配電路前，由于反射損耗過大，天線不能直接工作在4.2 MHz 附近，加入匹配電路后，天線的阻抗特性得到了明顯的改善。尤其是4.2 MHz附近的低頻諧振點，能夠實現良好匹配。對于7 MHz以及11 MHz附近的諧振點，中心諧振頻率更接近所要求的頻率，而且匹配程度更好。對于各諧振點，駐波比小于2的帶寬均大于60 kHz， 在11 MHz附近帶寬甚至達到800 kHz，完全能夠滿足實驗要求。利用本文提出的方法，將雙頻匹配網絡擴展為三頻匹配網絡，依然能夠具有良好的匹配效果。

圖5 三頻匹配前后的對比(仿真)Fig.5 Comparison without and with triple frequency matching network (simulation)

3.3 雙頻匹配實測結果分析

利用優化算法得到的值雖然能夠得到比較好的仿真效果，但是在實際工程應用中，這些值對應的單個元件可能難以獲得，因此需要根據現有的元件對取值進行微調。圖2中Y1選擇680 pF的電容，Z1選擇1 050 nH的電感，Y2選擇820 pF的電容。在實驗中測得的天線的數據如圖6所示。

圖6 雙頻匹配前后的對比(實測)Fig.6 Comparison without and with dual frequency matching network (measured)

可以看出，加入匹配電路后，天線的阻抗特性得到了很大改善，反射系數大幅縮小。以駐波比小于2計算帶寬，天線在高低兩個頻點處的帶寬分別是75 kHz和210 kHz，能夠滿足設計要求。將所設計的匹配網絡應用在設計的小型化雙頻天線上，可同時得到如圖7所示的實測海洋回波(Rang-Doppler譜，距離譜)。可以看出，頻率為7 MHz時，雷達的距離探測范圍超過150 km，頻率為4.2 MHz時，雷達的距離探測范圍超過 250 km。這些實測結果說明了在外場探測過程中天線是可以正常工作的，同時也說明所設計的匹配網絡是能夠發揮應有作用的，該研究具有工程價值和實際意義。

圖7 實測的海洋回波譜Fig.7 Measured ocean echo spectrum

雖然天線諧振點的頻率有偏移，但是偏移量不大，依然在所要求的帶寬范圍內，不影響天線的正常使用。造成偏差的原因主要是元器件標稱值的不準確，耐高壓電容元件標稱值與實際值之間存在較大誤差；電感元件采用漆包線自制，其測量值也存在較大誤差；而且元件都不是理想元件，會存在寄生電阻，優化得到的值實際單個元件無法獲得，這些因素都會引起誤差，因此實測與仿真之間存在誤差是正常現象。

4 結論

在單頻匹配網絡的基礎上，設計了一款結構簡單的雙頻匹配網絡。在對網絡的輸入阻抗進行分析時，考慮了雙頻匹配網絡各元件之間的耦合作用，基于所設計的匹配網絡的拓撲結構，推導出了輸入阻抗與匹配網絡中各元件參數之間的關系，并用其構造了優化算法的目標函數。引入Dixon算法對網絡中元件參數進行了優化，最終得到了能夠同時滿足雙頻匹配的匹配網絡，仿真和實驗結果均表明，該匹配網絡能夠滿足在各諧振點處帶寬大于 60 kHz的設計要求，而且所用元件較少，匹配網絡帶來的損耗很小。對雙頻匹配網絡進行擴展，得到了能夠同時諧振在3個頻點的三頻匹配網絡，仿真結果表明，該匹配網絡在各諧振點的帶寬也能滿足在各諧振點帶寬大于60 kHz的設計要求，說明了本文方法用于設計多頻匹配網絡的可行性和有效性，能夠滿足工程實際需要。