基于神經網絡逼近的磁浮列車動態懸浮控制

王 強

(中國鐵建電氣化局集團第四工程有限公司, 長沙 410007)

為了能滿足人們在有限資源下對于高速且大容量交通工具的需求，磁浮列車這一種依靠懸浮特性實現無接觸運行的交通工具作為一項重點研究計劃具有一定的前瞻性。而如何實現列車的穩定懸浮并且能夠在外部擾動作用下具有較好的控制精度和抗干擾性是保證穩定運行的核心之一[1-3]。因此在這一大背景下，很多專家和學者針對懸浮控制算法以及車軌耦合振動機理進行了大量研究，并且取得了很多有價值的研究成果。

隨著研究的逐步深入，列車的靜態懸浮狀態已經達到了一個較為成熟的地步，懸浮狀態下磁軌之間的耦合振動問題已經得到了逐步解決。但如何能保證磁浮列車在動態激勵下依舊能夠在最大程度上保持懸浮穩定性是限制磁浮列車工程化應用的核心問題之一。張鋆豪等[4]研究了懸浮系統的線性自抗擾控制問題，并且證明了線性自抗擾控制在響應快速性以及抑制外部擾動等方面均優于比例-積分-微分(proportion-integral-derivative, PID)控制器。董達善等[5]建立了懸浮系統的非線性動力學模型。設計了相關的模糊控制算法初步克服外界干擾。佟來生等[6]提出了一種基于二類李雅普諾夫函數的滑?？刂撇呗允蛊淠軌驀栏癖ＷC系統維持在目標懸浮間隙附近。通過對比仿真驗證所提出控制律的有效性和魯棒性。王軍曉等[7]提出了一種基于等價輸入干擾滑模觀測器的模型預測控制方法。結果表明，所提方法提高了磁懸浮球系統的跟蹤性能，并且初步抑制了系統不確定性和外部干擾。王樹宏等[8]針對磁浮列車懸浮間隙變化速度無法測量的問題提出一種基于擴張狀態觀測器(extended state observer, ESO)的反演控制方法，并基于對稱Barrier Lyapunov函數證明了該方法的穩定性。分析可知，一些實際問題如軌道柔性變形導致的不平順擾動以及負載變化引起的懸浮力突變等并未進行有效分析。而在實際運行中，由于乘客流動、軌道剛度不足、高架支撐梁沉降等現象的存在，外部擾動是不可避免的，這可能會使系統發生耦合振動，甚至引發“打軌”等不穩定現象。其中，軌道不平順則是當前影響懸浮性能的最主要因素之一。因此，設計合適的控制方法來克服不平順擾動具有一定的實際意義。Tran等[9]提出了一種任意有限時間跟蹤控制方法。通過引入一種新的增廣滑模流形函數，消除了傳統終端滑?？刂浦械钠娈愋詥栴}和到達相位問題。通過對實際磁懸浮系統的仿真和實驗研究，驗證了所提方法的有效性。張文躍等[10]考慮了懸浮系統的本征非線性特征，利用反步法對系統進行分離，并分別提出Lyapunov候選函數，并證明了系統的穩定性。李琴等[11]采用徑向基函數(radial basis function,RBF)神經網絡PID控制結合的方法來對四旋翼飛行器的姿態跟蹤進行控制，結果顯示，所提出算法比普通PID控制的跟蹤能力更好。

在對當前磁浮列車和控制算法的研究前沿進行充分分析和總結的基礎上，以單點懸浮模型為基礎結合RBF神經網絡和Lyapunov穩定性分析設計了相關的自適應RBF神經網絡控制算法，相比一般的梯度下降法調節網絡權值更能保證閉環穩定而不陷入局部最優，并且通過數值仿真基于不同工況驗證了所提出算法的有效性，并在最后基于半實物仿真平臺進行了相關的實驗驗證。

1 單點懸浮系統模型

1.1 模型描述

圖1給出了所采用的單點懸浮控制系統結構圖，該系統主要由軌道、電磁鐵、負載、傳感器、懸浮控制單元構成。

x0為平衡點位置懸浮間隙；x為懸浮間隙； A為電磁鐵磁極面積；FL為電磁力； R和L分別為電磁鐵繞組自身電阻和電感； N為線圈匝數；m為質量負載； PWM(pulse width modulation)為脈沖寬度調制圖1 單點懸浮控制系統結構Fig.1 Structure of single point levitation control system

結合以往研究可以給出電磁鐵及負載在豎直方向上的力學方程和電壓方程為

(1)

式(1)中：μ0為真空磁導率；x為懸浮間隙；u為控制電壓；i為線圈電流；g為重力加速度；A為電磁鐵磁極面積；t為時間。

(2)

對其進行線性化可以得到以懸浮間隙為輸出、控制電壓為輸入的傳遞函數模型為[12]

(3)

式(3)中：Δx為懸浮間隙誤差；Δu為調整電壓誤差；s為拉氏空間的變量符號，無特殊含義。

進一步提取系統特征方程為

(4)

根據勞斯判據，式(3)所示線性模型三階不穩定，因此可知，圖1所示單點懸浮系統同樣三階不穩定，必須設計恰當的反饋控制律才能實現穩定懸浮。

2 控制算法設計

2.1 控制器設計

定義穩定懸浮后的參考懸浮間隙為x0，通過圖1可得實際懸浮間隙為x，則動態誤差e及誤差矩陣E可分別表示為

(5)

采用圖2所示的2-5-1網絡結構構造控制模型。

圖2 2-5-1徑向基函數網絡結構Fig.2 2-5-1 radial basis function network structure

其中輸入為誤差矩陣，網絡的隱含層輸出矩陣為h=[h1h2h3h4h5]T，第j(j=1,2，…,5)個神經元的輸出和對應的高斯基函數中心點的坐標向量為

(6)

式(6)中:bj表示第j個神經元高斯基函數的向量寬度；i=1,2；hj為第j個神經元的輸出，j=1,2,…,5；c為對應的高斯基函數中心點的坐標向量；cij為第i個輸入到第j個神經元高斯基函數中心點的坐標向量。

x(t)=wTh=w1h1+w2h2+…+w5h5

(7)

對式(2)中的方程(3)進行分析可表示為

(8)

從式(8)可以看出，f(z1,z2,z3) 中各個狀態變量存在互相耦合，不滿足線性關系，因此同樣可以采用徑向基網絡進行逼近，可表示為

(9)

閉環控制框圖如圖3所示。

圖3 閉環徑向基網絡控制系統Fig.3 Closed loop radial basis function network control system

采用式(9)所示逼近輸入代替式(2)和式(8)中所示f(z1,z2,z3)，可以得到相關的控制律為

(10)

(11)

2.2 穩定性分析

(12)

(13)

從而得到最優權值為

(14)

式(14)中：sup為函數上界。

(15)

結合式(14)對式(13)進行進一步推導得

(16)

定義Lyapunov函數為

(17)

式(17)中：γ為正常數，可在仿真調試中采用試湊法獲得，且P必定滿足式(18)。

HTP+PH-Q=0

(18)

式(18)中：Q為由P矩陣唯一確定的正定對稱矩陣。

對V1進行求導得

(19)

(20)

對V2進行求導得

(21)

因此可得

(22)

代入式(11)所示自適應律，可得

(23)

3 數值仿真

3.1 仿真框架及參數定義

為進一步說明算法的有效性，基于MATLAB/Simulink仿真平臺對算法進行仿真驗證，構造單點懸浮仿真框架如圖4所示。

圖4 單點懸浮控制仿真框架Fig.4 Simulation framework of single point suspension control

采用單點懸浮控制系統參數如表1所示。為了驗證本文所提出算法的有效性和先進性，從初始懸浮響應速度、穩態誤差以及抗干擾性三個方面與現有PID控制進行綜合對比。由于缺乏試驗數據，無法基于實測數據驗證算法的跟蹤性能，因此首先基于正弦函數驗證算法的跟蹤性能。其次，對模型分別施加圖5、圖6所示負載擾動力和不平順激勵對算法的抗干擾性進行分析。

表1 單點懸浮控制系統參數Table 1 Parameters of single point suspension control system

圖5 負載擾動力Fig.5 Load disturbance

圖6 不平順擾動激勵Fig.6 Disturbance excitation of irregularity

3.2 仿真結果分析

3.2.1 正弦信號跟蹤

在分析過程中，首先采用幅值為±0.005 m的正弦信號作為期望跟蹤信號進行跟蹤性能仿真，從圖7可以看出，傳統PID控制算法的控制性能較弱，并且存在一定誤差，最大偏差達到1 mm，不利于信號跟蹤。相比之下，徑向基網絡控制下系統輸出能夠更好地逼近期望信號，畢竟誤差小，最大誤差僅為0.47 mm。

圖7 系統動態跟蹤性能對比驗證Fig.7 Comparison and verification of system dynamic tracking performance

3.2.2 負載力擾動

根據圖8可以看出，在起始懸浮階段，徑向基網絡能夠使系統具有更快的響應速度而不產生超調量，通過不斷調試可以發現系統在PID控制的作用下進一步提高響應速度則會產生較大超調量，不利于系統穩定性。此外，在大負載擾動的作用下，雖然徑向基網絡和PID控制均能具有較好的穩定輸出，但是從圖8中仍舊可以看出徑向基網絡控制下的系統輸出偏差更小。

圖8 負載擾動下輸出懸浮間隙Fig.8 Output suspension gap under load disturbance

3.2.3 不平順激勵擾動

從圖9可以看出，在系統穩定之后，在5 s施加圖6所示不平順激勵，系統在PID控制下輸出突變較大，達到0.8 mm；此后，由于不平順激勵的持續作用，系統雖然并未發散，但始終處于微小振顫狀態，不利于懸浮穩定性。而在徑向基網絡的作用下，5 s時的突變幅值明顯減小，僅為0.2 mm，并且振顫情況得以明顯改善。說明了該算法能夠使系統在具有較快響應速度的同時具備更好的抗干擾性。

圖9 不平順激勵下輸出懸浮間隙Fig.9 Output suspension gap under irregularity excitation

4 實驗驗證

通過單點懸浮試驗臺對所提出RBF神經網絡控制算法進行初步驗證，實驗平臺如圖10所示。

圖10 實驗平臺Fig.10 Experimental platform

在實驗過程中定義期望懸浮間隙為8 mm，穩定懸浮電流為26.5A。算法基于Dspace半實物仿真平臺編譯。系統所輸出懸浮間隙和控制電流分別如圖11、圖12所示?？梢钥闯觯琑BF網絡控制下的懸浮間隙具有更小的超調量，并且穩態誤差趨近于0，而在PID控制下，系統輸出在起浮階段具有明顯的波動過程，調節時間慢且超調量大。在穩定懸浮之后，系統具有一定的穩態誤差，進一步證明了本文所提出算法的有效性。

圖11 懸浮間隙Fig.11 Suspension gap

圖12 控制電流Fig.12 Control Current

5 結論

磁浮列車在運行過程中，由于軌道梁撓度變形和負載激勵都會導致懸浮力的變化，因此外界動態擾動極大地考驗了懸浮控制系統的抗干擾性和動態性能，由于運行過程中的穩定懸浮間隙僅為10 mm，任何一種擾動導致間隙變化都極易影響列車的懸浮狀態，因此如何在有界小約束可調區間內對懸浮間隙進行動態調整對于保證穩定性而言至關重要?；趩吸c懸浮系統進行了相應的系統建模和控制算法設計，得到如下結論。

(1)首先以電壓控制思路構造了單點懸浮控制系統的相關數學模型，并通過特征方程和勞斯判據說明了懸浮系統具有本征非線性的特性并且開環不穩定。

(2)確定了單點懸浮系統控制算法所需要的徑向基神經網絡基本結構，基于懸浮間隙誤差設計控制律和自適應律并采用Lyapunov函數確定了其閉環穩定性。

(3)以幅值為±0.005 m的正弦函數為例，對本文所設計徑向基網絡算法的跟蹤性能進行了相應驗證，并且與當前應用較為廣泛的PID控制算法進行對比，可以看出所提出控制算法具有更好的跟蹤性能。

(4)通過數值仿真和實驗分別說明了在負載擾動下和不平順激勵擾動下的輸出情況。根據響應速度、穩態誤差以及抗干擾三個方面的綜合對比可以看出，本文算法能夠更好的應對列車運行過程中的動態擾動，從而提高系統穩定性來實際解決列車運行過程中的共振以及掉點現象。