基于改進一維邏輯正弦混沌映射系統(tǒng)的圖像加密算法

鄒東堯， 李 明， 李 軍， 李志剛

(1.鄭州輕工業(yè)大學計算機與通信工程學院， 鄭州 450000； 2.中國移動通信集團河南有限公司網(wǎng)絡部， 鄭州 450000)

隨著科學技術(shù)與互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展，數(shù)字圖像也因保真度比較高，形象生動等特點成了交流間最廣泛地溝通介質(zhì)。然而，互聯(lián)網(wǎng)的開放性越來越強，圖像的安全傳輸存在著一定的安全隱患。從而，使用圖像加密方法，保障圖像信息安全是目前的研究熱點之一[1-2]。

目前的圖像加密方案一般分為兩種，一種是產(chǎn)生新的混沌系統(tǒng)以產(chǎn)生更加復雜的混沌序列；另外一種是產(chǎn)生新的加密算法的結(jié)構(gòu)設(shè)計。第一種加密方案中，許多學者都會對簡單的混沌系統(tǒng)提出改進的方案。混沌是由非線性的確定系統(tǒng)產(chǎn)生的類隨機現(xiàn)象，它具有很多特點，如遍歷性、有界性、對初始條件的極端敏感性等，在許多領(lǐng)域都有廣泛的應用，同時也非常適合應用于圖像加密系統(tǒng)[3-8]。低維的混沌映射結(jié)構(gòu)簡單，但是概率密度分布不均勻[9]，且混沌范圍較小。有學者在簡單的混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上進行改造，使其成為比較復雜的混沌系統(tǒng)以產(chǎn)生更加復雜的混沌序列。文獻[10]中對經(jīng)典的Logistic 映射增加模運算并對生成的序列進行二進制比特重排，生成具有更好混沌特性的偽隨機序列并用于加密系統(tǒng)的置亂和擴散階段；文獻[11]中提出了一種位反轉(zhuǎn)的方法，通過對其分數(shù)位的階數(shù)來倒換混沌狀態(tài)值(表示為不動點數(shù))，修正后的混沌映射刻畫了更好的混沌性能，具有更高的復雜度和更大的混沌參數(shù)范圍；文獻[12]中在Logistic映射和Sine映射基礎(chǔ)上提出的二維(2D)邏輯正弦耦合圖(logistic-sine-coupling map, LSCM)具有更好的遍歷性，更復雜的行為和更大的混沌范圍。第二種加密方案在混沌序列的產(chǎn)生過程上沒有太多的研究，但是在加密算法的結(jié)構(gòu)上有著很多不同的設(shè)計方案。文獻[13]結(jié)合耦合映像格子-S盒(coupled mapping lattice-sbox，CML-SBox)和對稱矩陣變換(symmetric transformation matrix，SMT)生成密鑰流，通過SMT生成的初始密鑰流組成兩個一維數(shù)組對原圖像像素進行置亂，然后用SBox生成最終密鑰流與分塊后的圖像像素進行異或，最后將后一塊的密文與前一塊的密文進行異或，進行擴散進而達到圖像加密的目的；文獻[14]提出一種結(jié)合Intertwining Logistic映射和動態(tài)DNA編碼與運算的彩色圖像加密算法實現(xiàn)圖像的加密。同時也有兩種方案一起用來提高加密的安全性；文獻[15]使用改進的混沌映射和置換有序二進制編碼的密文域可逆信息隱藏，從而達到加密的效果；文獻[16]提出了一種新的基于多重混合哈希函數(shù)和循環(huán)移位函數(shù)的混沌圖像加密一次性墊方案，采用循環(huán)移位函數(shù)和分段線性混沌映射(piece wise linear chaotic mappings, PWLCM)，賦予每個移位數(shù)混沌的特性，對圖像進行擴散，也具有很好的安全性。

1 提出的混沌系統(tǒng)

1.1 經(jīng)典的混沌映射

Logistic映射是經(jīng)典的一維映射，被廣泛應用于混沌序列的產(chǎn)生中，其表達式為

xn+1=δxn(1-xn)

(1)

式(1)中：xn為輸入圖像混沌序列值，xn∈(0,1)；xn+1為輸出圖像混沌序列值；系統(tǒng)調(diào)節(jié)參數(shù)δ的取值范圍為[0,4]，其分岔圖如圖1所示，縱坐標X表示圖像混沌序列值，當δ∈[3.57,4]時，邏輯映射系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，當δ≈4時，邏輯映射分布呈現(xiàn)最大。

圖1 Logistic映射分岔圖Fig.1 Logistic map bifurcation diagram

Sine映射同Logistic映射一樣，也是經(jīng)典的一維映射，其表達式為

xn+1=δsin(πxn)/4

(2)

參數(shù)δ的取值范圍為[0,4]。當δ∈[3.48,4]時，邏輯映射系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，其分岔圖如圖2所示，當δ≈4時，邏輯映射分布呈現(xiàn)最大。

圖2 Sine映射分岔圖Fig.2 Sine map bifurcation diagram

1.2 改進的混沌系統(tǒng)描述

由于經(jīng)典的一維邏輯映射Logistic映射和Sine映射存在控制參數(shù)范圍受限和點分布不均勻等問題，本文結(jié)合經(jīng)典一維邏輯映射Logistic映射和Sine映射提出1-LSCMS混沌系統(tǒng)，其表達式為

xn+1=δ8[1+8δsin(pixn)β]mod1

(3)

式(3)中：xn∈(0,1)；δ、β為系統(tǒng)調(diào)節(jié)參數(shù)，控制系統(tǒng)的混沌性能；mod表示取余操作；β的取值會對混沌狀態(tài)的范圍產(chǎn)生影響，通過實驗測試，當β=5時，系統(tǒng)混沌性能較為理想。

1-LSCMS系統(tǒng)的分岔圖如圖3所示，當δ∈[0.59,15]時，分岔圖呈現(xiàn)混沌狀態(tài)，參數(shù)范圍較Logistic映射和Sine映射有明顯提升。且當δ>0.59時，混沌系統(tǒng)不存在周期窗口。

圖3 1-LSCMS系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 1-LSCMS system bifurcation diagram

1.3 性能分析

1.3.1 敏感性分析

對初值敏感是混沌系統(tǒng)的一個重要屬性，這個屬性可以通過李雅普諾夫指數(shù)(Lyapunov exponents，LE)進行量化。通過LE圖像可以直觀地看出，某個系統(tǒng)或者映射是否是混沌系統(tǒng)或映射。LE>0時，系統(tǒng)進入混沌狀態(tài)，存在混沌行為，且混沌性的強弱跟LE指數(shù)的大小呈正相關(guān)；LE<0時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)會相對來說較穩(wěn)定，但對初始狀態(tài)不敏感；LE=0時，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。圖4(a)為Logistic映射的LE指數(shù)圖，當δ>3.57時，LE>0；圖4(b)為Logistic映射的LE指數(shù)圖，當δ>3.464時，LE>0；圖4(c)為1-LSCMS映射的LE圖，當δ>0.59時，LE>0。通過對比可知，1-LSCMS的混沌范圍大于Logistic映射和Sine映射。

圖4 LE對比 Fig.4 LE comparison

1.3.2 香農(nóng)熵

香農(nóng)熵(Shannon entropy，SE)通過度量信號中產(chǎn)生新模式的概率大小來衡量時間序列復雜性。香農(nóng)熵的值越低，生成的樣本序列相似性越高；反之，香農(nóng)熵的值越大，樣本序列就越復雜。因此可以利用香農(nóng)熵來度量1-LSCMS系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列的復雜度。圖5為1-LSCMS系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列復雜度的測試結(jié)果。可以看出，當δ≈3.1時，1-LSCMS混沌系統(tǒng)的SE趨于穩(wěn)定，且SE平均值均大于Logistic和Sine混沌映射。綜上，相比較于一維混沌映射Logistic和Sine比起來，1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列具有更高的復雜度。

圖5 3個混沌系統(tǒng)香農(nóng)熵對比Fig.5 Comparison of SE of three chaotic systems

2 加密算法設(shè)計

2.1 生成初始值及密鑰

(4)

(5)

κ1=(S2+S3)/256

(6)

(7)

κ2=(S1+S3)/256

(8)

(9)

κ3=(S2+S4)/256

(10)

(11)

κ4=(S2+S3+S4)/256

(12)

式中：m=8；n=8；S1、S2、S3、S4為Si的子序列，i=1,2,3,4。

2.2 加密過程

假設(shè)需要加密的明文圖像的大小為M×N，G(i,j)表示圖像像素矩陣中第i行，第j列的像素灰度值。加密算法分為置亂和擴散兩個部分。首先，利用1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列來對圖像像素的位置進行置換。其次，再利用1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列所形成的索引矩陣來進行循環(huán)移位操作從而改變原本像素矩陣位置上的像素灰度值的大小，在置亂的基礎(chǔ)上進行擴散操作從而達到加密的效果。圖6為加密過程流程圖。

圖6 加密過程流程圖Fig.6 Encryption process flow diagram

2.2.1 置亂過程

利用1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列來對圖像像素位置進行置換的流程如下。

Step 2進行一輪置換，按值大小對B進行升序排序，得到序列B′=[b′1,b′2,…,b′M×N]。根據(jù)B′相對于B元素位置變化，A也會得到一個相應的置換后的序列A′=[a′1,a′2,…,a′M×N]。

置換圖如圖7所示，B經(jīng)過排序后形成B′，A根據(jù)與B的一一對應關(guān)系進行置換形成置換后的一維矩陣A′，A′即為一輪像素位置置換后的序列。

圖7 第一輪像素位置置換圖 Fig.7 The first round of pixel position replacement map

圖8 二輪像素位置置換圖Fig.8 The second round of pixel position replacement map

E(M×N)=reshape[A″,(M,N)]

(13)

利用1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列來對圖像像素大小進行置換的過程如下。

在像素位置被置換的基礎(chǔ)上進行像素灰度值大小的改變，即在A″基礎(chǔ)上改變像素灰度值的大小。采用的1-LSCMS混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列產(chǎn)生索引矩陣，利用索引矩陣來對改變圖像的像素灰度值大小。

圖9 像素大小置換過程圖 Fig.9 Pixel size replacement process diagram

G′(i,j)=G[ln(A″),j]

(14)

(15)

E″(M×N)=reshape[E′(M×N),(M,N),1]

(16)

式中：G(i,j)為圖像像素矩陣中第i行，第j列的像素灰度值；G′(i,j)為索引矩陣中第i行，第j列的像素灰度值；xn為輸入圖像混沌序列值；xn+1為輸出圖像混沌序列值；A(i)為圖像的第i個像素值。

2.2.2 擴散過程

Q=A′⊕A″⊕E″⊕F

(17)

2.3 解密過程

解密過程是加密過程的反過程，將密鑰按照相反的方向迭代即可正確解密。

3 仿真實驗及性能分析

3.1 仿真結(jié)果

以尺寸為512×512的Baboon，Barbara以及Boats圖像為例測試所提出算法的正確性，其加密以及解密圖像如圖10所示。

圖10 仿真結(jié)果Fig.10 Simulation results

3.2 密鑰空間分析

3.3 直方圖分析

直方圖是反映數(shù)字圖像中像素灰度級出現(xiàn)的頻率的一種最直觀的方法之一，它的分布情況可以直觀地體現(xiàn)出像素灰度值。像素分布越均勻，攻擊者就越難從直方圖中得到有效信息，從而達到加密的效果。好的加密方法可以使加密圖像的像素分布均勻。如圖11所示。從明文圖像直方圖中可以看出，像素分布比較集中，密文圖像直方圖中可以看出，像素分布比較均勻，說明了該算法對圖像的信息有很好的隱藏能力。

圖11 圖像直方圖 Fig.11 Image histogram

3.4 卡方測試

直方圖可以直觀地觀測到像素分布是否均勻，χ2可以在數(shù)值上更加準確的展現(xiàn)像素的分布，其表達式為

(18)

式(18)中：i為像素值；fi為i出現(xiàn)的次數(shù)；f0為i的期望頻率。顯著水平為α=0.05時，測試結(jié)果小于293.247 8時即代表通過測試。

從表1可以看出，Baboon、Barbara和Boats的密文圖像卡方測試結(jié)果分別是274.705 1、 279.138 7、 272.976 6，結(jié)果都小于293.247 8，即卡方測試都在范圍內(nèi)，證明有較好的加密效果。

表1 χ2測試結(jié)果

3.5 相鄰像素分析

數(shù)字圖像經(jīng)過擴散灰度值會發(fā)生變化，擴散程度用相關(guān)性表示，即相鄰像素之間的關(guān)系，一個好的加密方法會使密文圖像的相鄰像素之間關(guān)系變小，證明加密效果較好。用相關(guān)系數(shù)來分析相鄰像素之間的關(guān)系，其表達式為

(19)

式(19)中：m和n為兩個不同圖像的像素值；N為像素的總數(shù)目；E(m)為平均值；D(m)為變量m的方差；cov(m,n)為協(xié)方差。

圖12以Baboon為例，展示明文圖像在水平方向、垂直方向以及對角線方向的相關(guān)性關(guān)系圖。圖13以Baboon為例展示密文圖像在水平方向，垂直方向以及對角線方向的相關(guān)性關(guān)系圖。可以看出，Baboon明文圖像的像素在3個方向都是在對角線方向比較集中，相關(guān)性相對來說較高，而其密文圖像的像素在3個方向都是均勻分布，相關(guān)性比較低，證明該算法能很好地對圖像進行加密。

用相關(guān)系數(shù)來更加準確的表達出像素間的關(guān)系，相關(guān)系數(shù)越接近于1證明相關(guān)性越高，相關(guān)系數(shù)越接近于0證明相關(guān)性越小。從表2可以看出，3個圖像的明文圖像的相關(guān)系數(shù)接近于1，而密文圖

像的相關(guān)系數(shù)很接近于0，證明明文圖像的相關(guān)性較高，密文圖像相關(guān)性較低。文獻[13]提出了基于二次密鑰加密快速的圖像加密算法；文獻[15]提出了一種位置置亂和交叉換位相結(jié)合的加密算法，與這兩種加密算法相比，本文算法使密文圖像的相關(guān)系數(shù)更接近于0，能夠更好地降低圖像相鄰像素的相關(guān)性。

3.6 信息熵分析

信息熵是被用來作為一個系統(tǒng)的信息含量的量化指標的參數(shù)之一，事件發(fā)生概率越高，其攜帶的信息量越低，其值越接近8證明像素值包含的信息量越少，分布越隨機，其表達式為

(20)

式(20)中：H(m)為所需要求得信息熵；g(mi)為灰度值i出現(xiàn)的頻率；M-1為灰度等級。

表3為Baboon，Barbara和Boats三幅圖像以及文獻[13]和文獻[18]的明文圖像與密文圖像的信息熵的值，可以看出，密文圖像的信息熵都特別接近于理想值8，但與文獻[13]和文獻[18]相比，使用本文算法得到的密文圖像的信息熵更接近于理想值，所以證明了本文算法能很好地滿足加密安全性需求。

表3 圖像信息熵

3.7 差分攻擊

差分攻擊屬于圖像加密攻擊方式中的選擇明文攻擊，攻擊者可以選擇改變圖像中的某個像素后對其進行加密，與原來加密后的圖像進行對比，找到兩者之間的差異從而得到明文密文之間的關(guān)系從而攻擊加密算法。目前像素改變率(number of pixels change rate，NPCR)和統(tǒng)一平均變化強度(unified average intensity，UACI)[19]是評價差分攻擊的兩個常用指標，其表達式分別為

(21)

(22)

式中：g1(i,j)為明文圖像i行j列像素值；g2(i,j)為密文圖像i行j列像素值；D(i,j)表示g1(i,j)和g2(i,j)所對應的像素值是否相同，若g1(i,j)=g2(i,j)，則有D(i,j)=0，否則D(i,j)=1。

NPCR的理論值為99.609 4%，UACI的理論值為33.463 5%，若圖像的NPCR和UACI越接近于理論值就證明算法抵御差分攻擊效果比較好。改變某個像素值后的明文圖像與密文圖像的NPCR和UACI如表4所示，其中c1(300,100)表示改變像素位置為(300,100)處的像素值，c1(512,512)表示改變像素位置為(512,512)處的像素值。

表4 NPCR and UACI

4 結(jié)論

結(jié)合經(jīng)典一維邏輯映射Logistic映射和Sine映射提出一種改進的一維邏輯正弦混沌映射系統(tǒng)(1-LSCMS)，并在此基礎(chǔ)上提出了一種與明文像素相關(guān)的敏感性加密算法。得出如下結(jié)論。

(1)所提出的混沌系統(tǒng)比起一維的混沌系統(tǒng)具有更大的參數(shù)取值范圍，且能產(chǎn)生更復雜的混沌序列。

(2)通過實驗對密文圖像進行了密鑰空間、直方圖、卡方測試、相鄰像素、信息熵以及差分攻擊分析，證明了該算法的性能良好。實驗結(jié)果表明，該算法具有比較高的安全性，可用于實際應用。

(3)對512×512的灰度圖像進行加密解密，在后續(xù)工作中會考慮將本文算法應用到彩色圖像中，同時將對該方法進行進一步優(yōu)化從而獲得更好的加密效果。