對數螺旋錐齒輪參數化建模及其動態加工仿真研究

王忠利 李 鵬

(1、鄭州科技學院 電氣工程學院，河南 鄭州450064 2、河南工程學院 機械工程學院，河南 鄭州 451191)

對數螺旋錐齒輪廣泛應用于汽車、直升飛機、工程機械、機床、船舶等機械產品中。在機械傳動性能日趨要求提高以及常規螺旋錐齒輪制造技術幾乎被國外壟斷的背景下，一種嚙合與傳動性能更優的新型的對數螺旋錐齒輪技術研究就顯得更加亟需迫切。與常用的螺旋錐齒輪相比，對數螺旋錐齒輪具有螺旋角相等、傳動性能好等諸多優點，且齒線上每一個點的螺旋角均相同，即在齒線的沿線方向上螺旋角沒有發生變化，因此當齒高線隨時嚙合時，嚙合力的變化最小，保持了螺旋錐齒輪的平穩傳動。齒面接觸狀態越來越好，工作過程非常穩定可靠而無任何噪聲。

本文以新型對數螺旋錐齒輪的參數建模、動態仿真與加工等關鍵技術為研究對象，從計算機輔助工程/分析（CAE）的角度，就對數螺旋錐齒輪的三維參數化建模、自由模態分析、嚙合仿真、接觸數值分析及五軸聯動數控加工實物等個方面進行深入的研究和分析，然后再和普通螺旋錐齒輪各方面性能進行對比，總之，該新型對數螺旋錐齒輪的嚙合和傳動特點優于普通對數螺旋錐齒輪，其具有較高的理論價值和現實意義。

1 對數螺旋錐齒輪的三維參數化建模

本文基于Boolean 求差運算的三維參數化建模。提出了基于Boolean 減法的建模方法，以基本參數有齒數是37:9，模數是45mm，壓力角是200，螺旋角是350的對數螺旋錐齒輪為例，并對其采取高精細化建模。基于CONTURA G3 3D 坐標測量儀并采用實驗數據分析和理論研究二者相結合的方法，進行分組測量和比較了大小齒輪的輪廓誤差和加工誤差，大齒輪大端齒頂圓直徑的實驗測量與理論計算的誤差為0.0033mm，小齒輪計算誤差為0.0033mm。

主要選用UG/OPEN GRIP 確定為二次開發使用工具，通過優化設計使得參數建模的界面非常清晰且準確，從而可以對數螺旋錐齒輪實施更好的3D 參數建模。

螺旋錐齒輪主要由五個錐面和四個角度組成，如圖1 所示。為了使三維模型達到最佳效果，方便對數螺旋錐齒輪仿真分析研究，根據對數螺旋錐齒輪的形成機理進行較準確的建模。

利用面錐體與齒槽體Boolean 減法的數據計算方法，對對等角螺線錐齒輪執行三維精細化和最優化建模。基于大端和小端漸開線齒槽截面線并沿對數螺旋錐齒輪的齒線作為掃掠路徑形成的稱為齒槽體三維造型方法，需要對單齒槽體進行排列后才能得到對數螺旋錐齒輪的所有齒槽體，排列單齒槽體后，得到對數螺線錐齒輪的所有齒槽體。使用面錐體和所有齒槽體進行Boolean 減法數據的計算方法，建立對數螺線錐齒輪模型。

圖2 建模流程圖

對數螺旋錐齒輪裝配體建模：

對建模所得到的模型進行裝配，裝配時采用約束的方式進行定位。按照以下三個約束條件進行裝配：(1)主動小齒輪和從動大齒輪的軸線相互垂直，即軸交角為90°；(2)主動小齒輪和從動大齒輪的節錐頂點重合；(3)主動小齒輪和從動大齒輪的齒面在嚙合點處相互接觸。裝配后的模型如圖3 所示。

圖3 對數螺旋錐齒輪裝配模型

2 嚙合角速度及切向接觸力仿真分析

根據赫茲接觸的切向接觸力與嚙合角速度仿真過程。借助赫茲接觸理論研究方法，我們建立了錐齒輪嚙合角速度與切向接觸力的仿真模型。揭示了對數螺線錐齒輪的切向接觸力與嚙合角速度的基本工作過程。對傳統齒錐齒輪與角速度齒輪嚙合時的切向接觸力和切向接觸力的工作狀態和性能進行了仿真分析，并構建了均值-極差控制圖對仿真數據進行客觀分析處理。實驗數據表明，對數螺旋錐齒輪的嚙合和傳動的穩定特性好于普通螺旋錐齒輪的性能。

根據仿真實驗操作步驟，動力學仿真模型基于UG Motion 環境中建構。由于沖擊載荷會隨時發生變化，從而引起旋轉角速度的突變，所以對數螺旋錐齒輪的小齒輪的角速度一定要使用階躍函數。小齒輪的角速度為7702.87°/s，從動大齒輪的扭矩為1964.99N·m。仿真時間為1s，仿真時長為500 步。在相同的初始條件下模擬了嚙合角速度和切向接觸力仿真分析。

圖4 顯示了隨著時間的變化，常用的螺旋錐齒輪和對數螺旋錐齒輪小齒輪的旋轉角速度的曲線圖。小齒輪采用階躍函數，小齒輪的角速度在0.2 秒前逐漸線性增加，但是之后小齒輪的角速度比較穩定，為7702.87°/s。

圖4 小齒輪輸入角速度曲線

圖5 仿真流程圖

對數螺旋錐齒輪大齒輪輸出角速度仿真結果如圖6 所示，在0～0.2 秒，其角速度與時間接近線性的增長，0.2 秒后趨于穩定，但仍存在上下波動，導出0.2 秒后的仿真數據，經計算得大齒輪角速度的仿真平均值為1873.77°/s。在UG 環境中，再克隆一個新仿真，創建理想齒輪副，設置其齒數比為9:37，用理想齒輪副進行仿真，得出理論上大齒輪的角速度隨時間的變化曲線如圖7 所示，0.2 秒后，大齒輪的角速度為1873.703°/s。基于大齒輪嚙合角速度模擬的情況下，其在0.2 秒后變得穩定，圖8為隨著時間的變化，幅值相應變化的散點圖。圖8（a）為常規螺旋錐齒輪，圖8（b）為對數螺旋錐齒輪。從本圖中可以觀察出，在相同參數下，與常規螺旋錐齒輪相比，對數螺旋錐齒輪傳動的從動大齒輪的角速度的變化范圍小，傳動性能比較穩定。

圖6 LSBG 大輪仿真角速度曲線

圖7 大齒輪理論角速度曲線

圖8 嚙合角速度與時間的散點圖

3 有限元自由模態分析

基于Lanczos 法的自由模態分析與基于PolyMax 法的實驗模態驗證。首先采用理論研究的方法，基于Lanczos 數值計算方法進行迭代求解計算求特征值和特征向量，得出固有頻率和主振型，就對數螺旋錐齒輪的小齒輪、大齒輪及裝配體和常規螺旋錐齒輪的大齒輪做有限元自由模態分析。再次，采用實驗模態分析驗證的方法，借助LMS 模態分析模塊，搭建螺旋錐齒輪自由模態分析的實驗平臺，采用最小二乘復頻域的PolyMax 方法提取實驗模態參數。實驗模態測試的結果與有限元模態分析的結果有較好的一致性。為對數螺旋錐齒輪的瞬態動力學分析、模態疊加法求響應、譜分析、振動控制、故障振動和動力學優化設計等CAE 技術提供依據。

4 螺旋小齒輪加工分析

五軸數控加工技術及銑削參數優化設計研究，通常以實驗研究和實驗數據分析為主線，在車床C6140A1 上加工對數螺旋錐齒輪工件，然后，依據球頭銑刀和對數螺旋錐齒輪的關系，形成車刀車削過程，確定尺寸，編制對數螺旋錐齒輪數控加工與編程的車削路徑。設計參數主由主軸轉速、進給速度、吃刀量，然后，以最小加工小時數為優化目標函數，對對數螺旋錐齒輪大齒輪數控銑削參數進行優化。最后，在德馬吉五軸數控立式加工中心加工出與對數螺旋錐齒輪的大小相符合的齒輪。

圖9 顯示了待加工的對數螺旋錐小齒輪的尺寸圖。其主要采用45 鋼為制作材料，加工工藝結構如下：首先，在普通車床上固定切割材料夾的位置，制作出定位基準，然后軸肩安排粗加工，精加工時務必選擇特別重要軸肩的安裝定位進行。然后以軸頸加工為定位基準制作對數螺旋錐齒輪的齒坯，然后加工所需要的內外螺紋。安排專用機床來加工小齒輪軸花鍵，此步特別重要，小齒輪對數斜齒面在專用的5 軸立式加工中心加工完成。通常對數螺旋錐齒輪的小齒輪齒面復雜，其加工工藝要求非常高，加工難度非常大。因此，采用專用五軸立式加工中心Demagi DMU 40 Monoblock 來加工實物。

圖9 對數螺旋錐齒輪小齒輪主要尺寸圖

5 結論

5.1 提出了一種基于布爾減法運算的對數螺旋錐齒輪建模方法，對對數螺旋錐齒輪進行3D 精細化建模。

5.2 構建均值-極差控制圖來評估螺旋錐齒輪的傳動穩定性。通過比較嚙合角速度和切向接觸力與構建的均值-極差控制圖，對常規螺旋錐齒輪傳動和對數螺旋錐齒輪傳動的穩定性進行了評價。

5.3 建立了基于最大加工效率的對數螺旋錐齒輪銑削參數優化數學模型。對其大齒輪五軸立式數控加工中心技術參數進行了革新與優化，提高實際應用價值。