基于雙曲正弦函數的四翼憶阻混沌系統及其FPGA實現 *

擺玉龍，潘星宇，段濟開，楊 陽

(西北師范大學物理與電子工程學院,甘肅 蘭州 730070)

1 引言

1971年，美籍華人蔡少棠教授根據電路理論的完備性，提出了電路中應該存在一種無源器件，它能反映磁通量與電荷之間的關系，并稱這種元件為憶阻器(Memristor)[1]，但是，憶阻器在當時并沒有引起人們的重視。直到2008年，HP公司采用納米技術成功研制了世界上首個憶阻器[2]。它的研制成功引起了社會的廣泛關注，引發了憶阻器的研究熱潮。憶阻器本質上是一個具有記憶功能的非線性電阻，文獻[3]利用電壓控制浮地阻抗電路和電流積分器設計了一種憶阻器模擬器，通過PSpice仿真發現它可以很好地反映憶阻器的非線性特性；文獻[4]詳細地研究了HP公司的憶阻器模型，并對P型和N型憶阻器的串并聯網絡進行了詳細的分析，發現當2個參數對偶的憶阻器串聯時呈現線性特性，但仍保持記憶特性。正是由于憶阻器具有非線性和記憶2個特性，使得憶阻器在阻變存儲器[5,6]、現場可編程邏輯門陣列[7]、人工神經網絡[8 - 10]、混沌系統[11 - 14]、圖像處理[15,16]和語音處理[17]等領域中發揮著越來越重要的作用。

近些年來，混沌系統的分析與設計正在穩步快速發展，除了經典的Lorenz系統[18]、Chen系統[19,20]和Chua系統[21]等外，一些新的混沌系統[22,23]也相繼被提出。這些系統一般都是通過增加或者改變系統的乘積項來實現的，但是在通信加密領域，動力學行為越復雜的混沌系統加密性能越好，抗破譯能力越高。為了滿足這方面的需求，研究者們采用經典的反饋控制法來設計更復雜的混沌系統。常用的反饋方式有線性反饋和非線性反饋，其中非線性反饋的復雜程度強于線性反饋。然而，傳統的非線性反饋都采用的是四象限乘法器和運算放大器等元件與電阻、電容和電感配合實現，該方法設計的電路比較復雜，實現較困難。而憶阻器本身就是一種無源的非線性元件，這使得混沌系統的設計難度大大降低，再加上它對流過的電流具有記憶功能，這也是常規元件所不具備的性能。

由于憶阻器的實際物理模型還難以實現，對它的研究主要是在理論模型上，一般來說，其模型主要有2類：一種是三次光滑模型，另一種是分段線性模型。文獻[15]提出了一種基于雙曲正弦函數的憶阻器模型，分析了電壓與流經其2端電流的關系特性，發現該模型具有憶阻特性。本文利用該模型，采用正反饋設計了一個四維的具有4個翅膀的憶阻混沌系統，通過數值仿真實驗繪制了系統各個平面的相圖、Lyapunov指數譜和分岔圖等，對系統的穩定性和動力學特性做了詳細的分析，最后利用FPGA與數模轉換器(DAC)設計了電路，利用數字示波器觀察其結果與數值結果基本一致。

2 雙曲正弦憶阻模型

本文采用的憶阻器模型為文獻[15]提出的雙曲正弦函數磁控憶阻器，如式(1)所示:

(1)

其中，φ為磁通量，q(φ)為電荷，W(φ)為憶導。對該模型施加了一個正弦電壓作為激勵，利用四階龍格庫塔算法求解該模型得到其伏安特性曲線，如圖1所示，發現該模型所得到的電壓與電流關系為一條斜“8”字形類緊磁滯回線，其結果與文獻[2，15]中描述的電壓電流關系基本一致。

Figure 1 V-A relationship of memristor圖1 憶阻器V-A關系

3 四翼憶阻混沌模型

本文提出的憶阻混沌系統是在一個三維混沌系統的基礎上通過添加一個憶阻器作為正反饋項來實現，具體模型如式(2)所示:

(2)

其中x,y,z和u為系統的狀態變量;W(φ)=cosh(ηu);α,β,γ,σ和η為系統參數。選取系統的初始條件為x0= 0.1,y0= 0,z0= 0.1,u0= 0，仿真步長為0.001，采用四階龍格庫塔算法對該系統進行數值實驗發現，當α=10，β=28，γ=20，η=0.2時，系統存在一個吸引子，該吸引子在x-y,x-z,y-z和z-u平面的投影如圖2所示。

Figure 2 Chaotic attractor圖2 混沌吸引子

當初始值發生微小的改變時，仿真之后發現混沌現象消失，不存在混沌吸引子。當系統參數發生變化時，系統的穩定性和運動狀態等特征也隨之變化，這就是混沌系統對于初始值和初始條件的高度敏感性。為了研究系統的特征，本文將對該系統的穩定性和動力學特性進行分析。

3.1 系統特性分析

(1)耗散性。

系統的散度如式(3)所示:

(3)

當α=11，γ=20時，▽V= -30<0，因此該系統為耗散系統，即系統整體是穩定的且相體積會以一定的速率收縮，最終達到平衡態。

(2)平衡點與穩定性。

(4)

則平衡點集A的特征方程如式(5)所示:

λ[λ3+(α+γ-σ)λ2+

(αγ-σ(α+γ))λ-αγσ]=0

(5)

由式(5)得到系統有一個特征值λ1=0，還有3個非0特征值分別為：λ2=1，λ3=-11，λ4=-20，相應的特征向量為e1=[0,0,0,1],e2=[0,1,0,0],e3=[1,0,0,0],e4=[0,0,1,0]。根據特征值與特征向量，系統在x方向上不穩定，在y方向和z方向上穩定，在z-u方向上系統臨界穩定，平衡點E為鞍點。也就是說系統相軌跡在x方向發散，y和z方向收斂的共同作用下，出現了如圖2所示的混沌吸引子。

3.2 動力學特性分析

為了進一步研究系統復雜的行為，對其進行動力學分析。

(1)Lyapunov指數。

混沌對初值具有高度敏感性，為了反映其對初值的敏感程度，采用Lyapunov指數來描述它。Lyapunov指數反映了動力學系統相空間中軌跡的整體行為，也就是說只要系統存在一個正的Lyapunov指數，系統中任何相鄰的2條軌道必然會以指數速率分離而進入混沌狀態，因此，通過計算該指數可以判斷系統是否為混沌系統，其定義如式(6)所示:

(6)

其中,δxi(0)為t=0時相鄰2條軌道的差，LEi表示第i個坐標方向的Lyapunov指數。保持系統參數不變，利用Wolf方法[16]計算系統的Lyapunov指數為LE1=0.4384,LE2=0.0364,LE3=0.0299,LE4=-30.4449。發現系統存在正的Lyapunov指數，表明系統處于混沌狀態，且LEall=-30<0,說明該系統的相體積整體上是收斂的，這與前面提到的系統散度的結論一致，即系統整體穩定。固定其他參數不變，選取σ∈(0,13),步長為0.013，時間步長為0.5 s,時間為100 s,初始值設為(0.1,0,0.1,0)時，Lyapunov指數譜和z平面的分岔圖分別如圖3和圖4所示。

Figure 3 Lyapunov vs. parameter σ圖3 參數σ變化時的Lyapunov指數

Figure 4 Bifurcation diagram of parameter σ vs. variable z圖4 z變量隨參數σ變化的分岔圖

對比發現，Lyapunov指數圖與分岔圖基本保持一致。當σ=0時，最大Lyapunov指數為負，此時系統做周期運動；當σ∈(0,7.748)時，系統由周期運動進入混沌狀態，在此區間內系統的最大Lyapunov指數均為正；當σ∈(7.748,13)時，2個Lyapunov指數等于0，2個Lyapunov指數小于0，系統進入擬周期運動狀態，即出現極限環。分別取σ為0,7,9,12時，系統在y-z平面的投影如圖5所示。

Figure 5 y-z plan phase spectrum of parameter σ圖5 參數σ變化時y-z平面相圖

可以看到，當σ取0時，系統為周期運動；當σ取7時，系統進入混沌狀態；當σ取9和12時，系統由混沌退化到極限環，其結果與Lyapunov指數譜和分岔圖的結果一致。

4 FPGA實現

本文設計的混沌系統基本原理如圖6所示，利用FPGA定制一個32位的軟核CPU NIOS II,通過Avalon總線與片上外設的IP核進行數據交換；DAC的IP核驅動DAC輸出混沌信號；ROM IP驅動Flash芯片保存程序代碼；RAM IP驅動外部的SDRAM保存運算過程中的臨時數據；PLL IP將外部晶振提供的50 MHz時鐘倍頻為2路相位相差-75度的100 MHz時鐘，一路作為CPU時鐘送至NIOS II,另一路作為存儲器時鐘送至外部SDRAM；JTAG IP用來下載和調試程序。選用的FPGA為Altera公司的Cyclone IV EP4CE6F- 17C8N芯片，DAC選用德州儀器的程控12位雙通道TLC5618A,開發環境為英特爾的Quartus Prime 18.0，軟核與片上IP采用Platform Designer開發，其中NIOS II CPU類型設置為Float型，其內部集成了硬件乘法器，有利于提高運算速度。

Figure 6 Schematic of FPGA chaotic system圖6 FPGA混沌系統原理圖

考慮到龍格庫塔算法會占用FPGA大量的邏輯資源，因此選用歐拉算法來減小運算量，對系統式(2)進行離散化得到式(7)：

(7)

其中,h=0.001為步長。將式(7)轉化為C代碼，經過編譯、綜合、分配引腳后，下載至FPGA，最后通過數字示波器得到系統的時域波形圖和x-z平面的相圖分別如圖7和圖8所示。可以看到該結果與數值結果基本一致。

Figure 7 Time domain wave form on the oscilloscope圖7 示波器時域波形圖

Figure 8 x-z plane phase diagram on the oscilloscope圖8 示波器x-z平面相圖

5 結束語

本文基于雙曲正弦函數的憶阻器模型作為正反饋設計了一種新的憶阻混沌系統。通過數值仿真發現系統出現4個翅膀的混沌吸引子，接著對系統的耗散性、平衡點和穩定性進行分析，發現該系統為耗散系統且只有一個平衡點，且該點為鞍點，由于系統在平衡點處不穩定而出現了混沌吸引子，為此對系統進行了動力學特性分析，研究了系統隨著參數變化時其運動形態的變化情況。最后，利用FPGA設計了混沌電路系統，驗證發現其結果與數值結果基本一致。