考慮卸荷變形模量的坑底回彈變形計算方法

陳 曉, 董建華, 董和平, 湯小林, 田文通

(1 .甘肅建投土木工程建設集團有限責任公司, 甘肅 蘭州 730050;2. 蘭州理工大學 土木工程學院, 甘肅 蘭州 730050)

0 引言

隨著我國城市化發展,城市地下空間的開發利用成為了城市建設發展的一個重要方面[1],尤其是城市地下軌道交通迅速發展,使得建(構)物基坑工程越來越緊鄰已有地鐵盾構隧道,甚至有些基坑工程橫跨已建地鐵盾構隧道。地鐵盾構隧道上方基坑的開挖,造成坑底土體在豎向卸荷作用下產生豎向隆起變形,過大的豎向位移會致使已建地鐵盾構隧道的管片錯位開裂,甚至影響隧道結構的安全和地鐵的正常營運。《城市軌道交通安全保護區施工管理辦法(暫行)》規定:隧道結構絕對沉降量及水平位移量≤20 mm(包括各種加載和卸載的最終位移量)。因此,考慮卸荷作用下的基坑變形計算方法是亟待解決的重要工程問題。

目前,預測基坑回彈變形的方法主要有分層總和法[2-3]、殘余應力法[4]和數值分析法[5]等。其中分層總和法因其具有計算簡單、力學參數獲取方便等特點而被工程廣泛應用。然而在規范分層總和法中,土體中附加應力的計算通常以Boussinesq解為基礎,其計算結果往往大于實測值[6]。在基坑開挖工程的附加應力計算中,考慮荷載作用于半無限彈性體內部的Mindlin解被認為更符合實際,與此同時,大量的試驗研究表明[7-9],卸荷應力路徑下,土體的應力-應變特性與加載應力路徑作用下有較大差別。基坑在開挖過程中,土體的回彈模量隨著土體應力路徑的改變而發生變化,而規范分層總和法中采用的固定的土體回彈模量計算坑底的回彈變形與基坑實際分布開挖的特征不符。

為了更合理計算考慮隧道卸荷作用下基坑開挖引起的坑底隆起變形,本文基于Mindlin[10-11]解附加應力公式,通過在基坑開挖面上進行積分,得到均布荷載作用下坑底土體附加應力計算公式,并考慮土體在卸荷應力路徑作用下回彈模量的非線性變化,計算了基坑開挖引起的坑底隆起變形值。

1 卸荷引起的坑底附加應力的計算

建立計算模型,如圖1所示。以矩形基坑平面中心為坐標原點建立直角坐標系,基坑開挖深度為d,長度為L,寬度為B,嵌固深度為d0,圍護結構長度為H(H=d+d0)。

圖1 基坑開挖引起坑底回彈計算模型Fig.1 Calculation model of bottom rebound caused by excavation of foundation pit

計算假定:(1)土體為均質、各向同性的半無限空間彈性體;(2)不考慮基坑開挖的時間和空間效應,只考慮基坑開挖引起的附加應力;(3)基坑開挖過程中不考慮降水作用,土體中不存在滲流;(4)當基坑開挖完成后土體應力釋放,等效為在坑底開挖面處施加豎直向上的均布荷載;(5)不考慮支護結構的存在對附加應力計算的影響。

1.1 坑底卸荷分析

基坑開挖之前,坑內擬開挖土體對坑底以及側壁分別產生豎向均布荷載σz0=γd(其中γ為土體重度,d為基坑開挖深度)和三角形分布荷載σh0=K0γd(K0為靜止土壓力系數,且K0=1-sinφ,φ為土體有效內摩擦角),土體在初始地應力作用下保持平衡。基坑開挖后,由于坑內土體移除,基底的豎向土壓力及側壁的水平向土壓力撤除,坑底土體豎向完全卸荷,卸荷量為γd。

與此同時,基坑的開挖往往是在支護結構施作完成或開挖與支護的同步條件下進行,因此在計算基坑開挖卸荷作用引起的坑底附近土體的附加應力作用時,應當考慮支護結構的遮攔效應,即坑底卸荷應力的釋放會受到支護結構與土體之間摩阻力影響。該側摩阻力的計算表達式為[12]:

qs=c′+K0σztanφ′

(1)

式中:qs為單位等效實體側摩阻力;c′為土體與支護結構之間黏聚力;φ′為土體與支護結構之間的外摩擦角,其取值為c′=(0-2)c/3,φ′=(0-2)φ/3,其中c、φ為土體的黏聚力和內摩擦角[13];σz為基坑開挖面到圍護結構底面處的豎向應力。

根據基坑的分層開挖工況,為了便于計算,應將上述側摩阻力表達式采用平均側摩阻力進行表示為:

(2)

式中:q′s修正后的單位等效實體側摩阻力;γ為開挖土體的重度;d為基坑開挖深度;H為圍護結構深度。

則基坑開挖后,考慮土體開挖后的殘余應力以及支護結構的摩阻力的卸荷應力值為:

(3)

式中:σi為基坑開挖引起坑底第i層土體附加應力值;B為基坑開挖的寬度;L為基坑開挖的長度;其余參數與圖1中標注相同。

1.2 坑底卸荷附加應力計算

土體內部作用豎向集中力時引起的附加應力的計算公式早在1936年由美國學者Mindlin推導得到,后來一些學者在該公式的基礎上通過積分獲得了半無限彈性地基內部作用矩形均布荷載和條形均布荷載作用下的豎向附加應力公式,其中矩形均布荷載作用在半無限彈性體內部時豎向附加應力表達式為:

(4)

式中:B和L分別為矩形荷載的寬度和長度;c為荷載作用深度;z為計算點深度;μ為泊松比;pi為分步卸荷強度,在卸荷條件下方向朝上,數值等于開挖土方的自重,如圖2所示。

圖2 矩形均布荷載條件下附加應力計算模型Fig.2 Calculation model of additional stress under rectangular uniform load

為了計算簡便,可以將上式簡化表示成為卸荷影響系數與卸荷力之間的關系,即為:

σzi=αiσi

(5)

式中:αi卸荷影響系數;σi為豎向卸荷應力。

1.3 矩形基坑開挖卸荷附加應力的分析

基于Mindlin公式,可以利用角點法來計算基坑分層開挖作用下坑底土體附加應力的分布特征。假設基坑開挖深度為10 m,開挖面積為24 m×24 m,土體重度為20 kN/m3;泊松比μ=0.2。開挖方式為一次性開挖卸荷,卸荷應力為矩形均布應力,下面依次分析矩形基坑開挖卸荷附加應力系數沿坑底以下土體深度方向的變化特征。

由圖3可知,矩形基坑開挖卸荷作用下,采用Mindlin(明氏解)和Boussinesq(布氏解)應力公式計算的附加應力在坑底以下土體沿深度的增加均逐漸減小,但采用布氏解計算的附加應力系數明顯大于明氏解,且布氏解沿深度方向的遞減速率較明氏解大。

圖3 布氏解與明氏解在坑底以下的分布Fig.3 Distribution of Mindlins formula and Boussinesqs formula below the pit bottom

由圖4(a)可知,矩形基坑開挖卸荷引起的附加應力系數隨著土體泊松比μ的變化而變化,隨著土體泊松比μ的增大卸荷附加應力系數逐漸增大,但卸荷附加應力系數沿著坑底以下土體的變化趨勢一致。

由圖4(b)可知,卸荷附加應力系數與基坑開挖面積有關,隨著基坑開挖面積越大,則基坑開挖卸荷影響范圍越大,且開挖引起的坑底土體的附加應力也越大,卸荷附加應力系數隨著基坑開挖卸荷量的增大而增大,基坑開挖卸荷量越大,其卸荷附加應力系數沿坑底以下土體的減小速率越慢。

由圖4(c)可知,矩形接坑開挖卸荷引起的附加應力系數與基坑形狀有關,不同基坑開挖形狀在基坑開挖面以下土體的卸荷附加應力也不同,其中正方形基坑開挖卸荷附加應力系數大于長方形基坑開挖卸荷附加應力系數,且正方形基坑開挖卸荷附加應力系數沿坑底以下土體的減小速率大于長方形基坑,但兩者沿基坑坑底以下土體的變化趨勢一致。

圖4 卸荷附加應力系數隨泊松比、基坑面積及基坑形狀的變化Fig.4 Variation of unloading additional stress coefficient with Poisson's ratio, foundation pit area and the shape of foundation pit

2 開挖卸荷作用下土體的卸荷模量的計算

基坑在開挖過程中,土體的變形模量不是恒定的,而是隨著應力狀態的改變變形模量也發生變化,因此在基坑開挖變形的計算中,采用傳統常規加壓條件下土體的彈性模量來計算土體開挖作用下周圍環境的變形往往是不準確的。為了準確預測基坑開挖卸荷引起的周圍環境的變形,在計算過程中考慮卸荷作用下的土體變形模量的非線性變化是必不可少的。

根據已有文獻的研究,土體的卸荷模量不僅取決于土體的物理性質,還與其所經歷的應力路徑有關。根據大量卸荷試驗研究,土體在開挖卸荷應力路徑作用下,其應力-應變關系可以用鄧肯-張雙曲線模型來描述:

(6)

式中:σ1、σ3分別為最大主應力和最小主應力;ε1為軸向應變。

其線性關系可表達為:

(7)

式中:a、b分別為所擬合的直線的截距和斜率。

從式(7)可知,初始切線斜率為1/a,定義為側向卸載條件下的初始切線彈性模量Ei=1/a,而b與雙曲線的最終漸近線有關。其定義為:

(8)

根據何世秀等[14]的實驗研究,土體初始狀態下的變形模量與其初始固結壓力有關。為了消除土體初始應力狀態對卸荷變形模量產生的影響,式(7)可以變形為:

(9)

式中:σ1c、σ3c分別為土體初始固結條件下的軸向壓力與圍壓值,且σ1c/σ3c=K0。定義破壞比Rf為:

(10)

(11)

式中:(σ1-σ3)f為試樣破壞時的偏應力;(σ1c-σ3c)為初始偏應力。

將式(11)代入式(10)中可得到:

(12)

將式(12)代入式(9)則可以得到:

(σ1c-σ3c)

(13)

對式(13)進行求導,可以得到土體的卸荷模量,整理后可得:

(14)

為了將ε1表示成應力的函數形式,將式(9)簡化可得:

(15)

將式(15)代入式(14)則:

(16)

將式(12)代入式(16)中化簡可以得到:

(17)

根據基坑開挖特點,坑底土體的卸荷應力路徑可以將其簡化為側向應力保持不變,軸向卸荷,因此式(17)可以寫成:

(18)

根據殷德順[15]的研究,與鄧肯-張模型的推導類似,同樣的,假設初始切線模量Ei隨著軸向固結壓力σ1而變化,且在雙對數坐標上呈現直線關系,設直線的截距為k,斜率為n,則Ei的表達式寫成:

(19)

大量實驗研究表明,不同應力路徑下土的強度仍然符合摩爾庫倫強度準則,因此在側向卸荷時摩爾庫倫強度準則仍舊適用。由莫爾圓可以得出,對壓縮破壞試樣有:

(20)

將式(19)、(20)代入式(18)得：

(21)

對伸長破壞的試樣,根據摩爾庫倫準則有:

(22)

將式(19)、(22)代入式(18)中可得:

(23)

3 分層總和法計算坑底回彈變形

采用分層總和法計算基坑開挖隆起的變形,首先要確定基坑開挖卸荷引起的坑度土體的卸荷影響深度和分層計算土層厚度和層數,然后再依次求出土體卸荷應力路徑下的土體附加應力和模量,逐層求解開挖卸荷引起的回彈變形,最后求得總的坑底回彈變形值。

3.1 基坑開挖卸荷深度的確定

基坑開挖卸荷引起的坑底隆起變形的計算中,合理確定開挖卸荷作用下土體的卸荷影響深度對于準確計算基坑開挖坑底隆起變形至關重要。基坑開挖卸荷深度的確定,可以依據分層總和法中的附加應力與自重應力的比值來確定,即在卸荷開挖影響深度的計算中,可以采用卸荷附加應力與開挖所產生的總的卸荷量的比值來計算開挖卸荷的影響深度。

分層開挖卸載引起的總的附加應力計算公式為:

(24)

式中:σzij為第j層土在其上第i層土的開挖卸荷作用下所產生的附加應力;σz為第j層土在上覆n層土開挖后所產生的附加應力之和。

同理,分層開挖作用下總卸荷量的計算表達式為:

(25)

式中:pi為第i層土移除時的豎向卸荷量,可以采用式(3)得到。

若:σz/pm≤0.1,則σzj所對應的深度即為開挖卸荷作用所產生的土體最大影響深度。

基坑分層開挖的土層數n的確定,可以根據工程要求的計算精度來合理劃分,在滿足計算要求精度的基礎上,采取合理分層厚度以減少計算量。

3.2 坑底隆起變形計算

根據上述式(5)所確定的開挖卸荷作用下土體中的附加應力以及式(21)確定的卸荷作用下的土體的回彈模量值,結合分層總和法來計算基坑開挖作用下坑底的回彈變形值。

(26)

式中:hi為基坑開挖卸荷影響范圍內單層土體的厚度;Eti為式(21)推導的卸荷土體的切線模量。

4 工程實例驗證分析

為了對比研究該算法的合理性,本文選取文獻[4]軟土基坑隆起變形的殘余應力分析法中的上海地鐵1號線徐家匯車站的基坑進行分析。

徐家匯地鐵車站是上海地鐵一號線中最大的一個車站,長600 m,寬22 m,基坑開挖深度17 m,地下連續墻厚度80 cm,設置5道支撐。其具體土體參數取值如表1所列。

表1 土層參數信息

表2 坑底附加應力和變形值的計算

根據表2的結果可知,坑底最大隆起變形量為130.63 mm,該結果與文獻[4]中殘余應力分析方法的13.6 cm基本一致。而現場實測最大隆起變形值為12～13 cm,說明采用該方法計算基坑開挖回彈變形有較高的準確性,計算結果更加接近工程實際,可以作為預測基坑回彈變形分析的一種有效方法。同時,坑底強回彈區域為坑底以下10 m范圍,約為基坑開挖深度的2/3,累計回彈變形量約為80 mm,占總回彈變形量的60%以上。

5 結語

(1) 基坑開挖引起的坑底附加應力計算中,可以采用明氏解和布氏解,矩形基坑開挖卸荷引起的附加應力計算中,采用明氏解得到的附加應力值明顯小于采用布氏解,且明氏解計算的附加應力隨著泊松比μ變化,即隨著泊松比μ越大,卸荷附加應力系數則越大;

(2) 矩形基坑開挖卸荷附加應力系數與基坑開挖面積和基坑開挖形狀也有關,基坑開挖面積越大,卸荷附加應力系數值越大,且卸荷附加應力系數沿著基坑深度方向的減小的速率也越大,正方形基坑開挖引起的附加應力系數大于長方形基坑開挖附加應力系數,但卸荷附加應力系數沿著坑底土體深度方向的變化趨勢一致;

(3) 開挖卸荷應力路徑中,土體卸荷模量隨著軸向卸荷量的增大而減小,采用傳統恒定加載應力路徑下的變形模量值計算坑底回彈變形值會使得計算結果與實測值偏差較大。卸荷應力路徑下,土體的應力-應變曲線滿足鄧肯-張雙曲線模型,在基坑開挖卸荷引起的坑底土體的回彈變形的分層總和法計算中,采用基于卸荷應力路徑的坑底土體卸荷變形模量更符合基坑的實際情況,計算結果更接近基坑監測值。