基于L1 自適應(yīng)理論的AUV深度控制器設(shè)計(jì)

霍江航，姜向遠(yuǎn)，欒義忠，馬曉靜

山東大學(xué) 海洋研究院，山東 青島 266237

0 引 言

自主式水下航行器（AUV）是一種自帶動(dòng)力源，能夠在水下自主航行作業(yè)的無人潛航器。因其安全性高、可靠性強(qiáng)，且不受有線電纜的限制，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于海洋開發(fā)、海底檢測等領(lǐng)域。在AUV 各種應(yīng)用場景中，例如，水下地形勘測或者海底鋪設(shè)管道檢查等，都需要穩(wěn)定的深度控制，因此定深航行成為一種常用的航行狀態(tài)。但AUV 在水下作業(yè)中會(huì)因?yàn)橐苿?dòng)速度或者水域環(huán)境差異的影響而使機(jī)體模型參數(shù)發(fā)生改變，這將導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)模型產(chǎn)生不確定性，而且水下還存在復(fù)雜持續(xù)的外部環(huán)境干擾，這些問題一方面對AUV 的定深穩(wěn)定作業(yè)產(chǎn)生了不良影響，另一方面也對AUV 深度控制器設(shè)計(jì)的抗干擾性和魯棒性提出了更高的要求。

為了保證AUV 水下運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和控制精度，多種控制算法被應(yīng)用于AUV 系統(tǒng)，例如傳統(tǒng)PID 控制方法及其改進(jìn)算法[1-3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]、基于線性二次調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator, LQR）的控制方法[5]、滑?？刂品椒╗6]、自適應(yīng)控制方法[7]等。傳統(tǒng)PID 控制方法有著良好的魯棒性和瞬態(tài)響應(yīng)，但是對外界環(huán)境的干擾無法做出快速有力的應(yīng)對。運(yùn)用LQR 的AUV 控制方法雖然可以實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中能耗與響應(yīng)效果的平衡，實(shí)現(xiàn)對AUV 的最優(yōu)化控制，但是需要對AUV 模型進(jìn)行精確建模，且當(dāng)AUV 模型參數(shù)發(fā)生改變時(shí)會(huì)使控制效果發(fā)生較大偏差。滑模控制具有優(yōu)秀的魯棒性可以抑制模型變化產(chǎn)生的偏差，但會(huì)在控制系統(tǒng)中產(chǎn)生抖動(dòng)，因而常和其他控制方法結(jié)合應(yīng)用來改善控制效果。

自適應(yīng)控制的強(qiáng)適應(yīng)性可以對AUV 水下運(yùn)動(dòng)中受到的不確定干擾做出有效應(yīng)對，模型參考自適應(yīng)控制（model reference adaptive control，MRAC）通過辨識系統(tǒng)中的未知參數(shù)，并根據(jù)辨識出的參數(shù)調(diào)整控制率來消除外界環(huán)境對被控對象的干擾，使得被控模型閉環(huán)系統(tǒng)的輸出可以跟隨理想?yún)⒖寄Ｐ偷妮敵觯岣吡讼到y(tǒng)的抗干擾能力。但是傳統(tǒng)的MRAC 會(huì)在高自適應(yīng)增益的情況下出現(xiàn)高頻震蕩控制信號，針對這個(gè)問題Cao 等在2006 年提出了L1 自適應(yīng)控制理論[8-9]。該控制方法是在MRAC 基礎(chǔ)上在反饋環(huán)中引入低通濾波器結(jié)構(gòu)對高頻信號進(jìn)行過濾，使L1 自適應(yīng)控制器的輸出能夠保持在低頻范圍內(nèi)，解決了控制器自適應(yīng)速率與魯棒性表現(xiàn)之間的耦合問題，使閉環(huán)系統(tǒng)能夠在保證動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)具有良好的魯棒性，提高了系統(tǒng)的漸進(jìn)穩(wěn)定性與可控精確度?；谳敵龇答伒腖1 自適應(yīng)控制器通過分段常數(shù)自適應(yīng)率與低通濾波控制信號，保證了系統(tǒng)輸入/輸出信號具有一致的性能邊界，且可以通過減少積分步長使得閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)與理想系統(tǒng)之間的誤差足夠小，系統(tǒng)地提高控制器性能。目前L1 自適應(yīng)控制理論應(yīng)用在水下航行器上的研究尚處在起步階段，Wu 等[10]與Sarhadi 等[11]均在REMUS AUV 的俯仰通道上設(shè)計(jì)了基于狀態(tài)反饋的L1 自適應(yīng)控制器并進(jìn)行了仿真，證明了L1 自適應(yīng)控制器可應(yīng)用于AUV 縱向姿態(tài)控制，也驗(yàn)證了L1 自適應(yīng)控制器的抗干擾能力。Wu 等[10]結(jié)合AUV 執(zhí)行器考慮了控制量的飽和問題，增加了補(bǔ)償器，但未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證控制器性能。Maalouf 等[12-13]將L1 自適應(yīng)控制器與自適應(yīng)非線性狀態(tài)反饋控制器（adaptive nonlinear state feedback controller，ANSF）分別應(yīng)用于遙控潛水器（AC-ROV）并進(jìn)行了對比試驗(yàn)，結(jié)果表明，L1 自適應(yīng)控制器擁有更快的自適應(yīng)速度。Maalouf 等的控制器是在未考慮模型推進(jìn)器的情況下設(shè)計(jì)的，且AC-ROV 模型與REMUS AUV 應(yīng)用場景不同，模型差別較大，僅具有一定的參考價(jià)值。

為提高AUV 在水下作業(yè)中的抗干擾能力與魯棒性，使AUV 能夠更穩(wěn)定地定深航行，本文從REMUS AUV 縱向控制模型出發(fā)，擬設(shè)計(jì)一種基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器。首先，進(jìn)行AUV 的動(dòng)力學(xué)建模，以及從六自由度非線性模型中提取出簡化的縱向控制線性模型的條件與表達(dá)式。然后，介紹基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器的結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)。在Matlab/Simulink平臺上，將L1自適應(yīng)控制器與PID 控制器應(yīng)用于REMUS AUV 縱向控制模型，對不同情景條件下的仿真結(jié)果進(jìn)行分析。最后，總結(jié)L1 自適應(yīng)控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果，抗干擾性與魯棒性表現(xiàn)，分析L1 自適應(yīng)控制器優(yōu)于PID 的原因以及未來可以嘗試的一些改進(jìn)方向。

1 AUV 縱向動(dòng)力學(xué)模型

本文使用2 個(gè)坐標(biāo)系：慣性參考坐標(biāo)系E-XYZ（固定）和載體坐標(biāo)系O-xyz（運(yùn)動(dòng)）對AUV 進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，坐標(biāo)系與AUV 之間的關(guān)系如圖1所示。圖中：φ，θ， ψ分別為AUV 在慣性參考坐標(biāo)系下與3 個(gè)軸的夾角；l，v，w與p，q，r分別為AUV在載體坐標(biāo)系3 個(gè)軸上的線速度與角速度；MK，MM，MN與Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z分 別 為AUV 在 載 體 坐 標(biāo)系3 個(gè)軸方向上的力矩與力。

圖1 AUV 動(dòng)力學(xué)模型與2 個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖Fig. 1 Body-fixed frame and earth-fixed frame

假設(shè)載體坐標(biāo)系原點(diǎn)在AUV 的浮心O，為讓模型更具有一般性，AUV 重心G不與載體坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，（xG，yG，zG）為AUV 重心G的坐標(biāo)，由動(dòng)量定律和動(dòng)量矩定律，可寫出AUV 六自由度動(dòng)力學(xué)方程為：

2 基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制

2.1 L1 自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)

L1 自適應(yīng)控制器是在MRAC 的體系結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，在反饋環(huán)增設(shè)了一個(gè)低通濾波器來濾除高頻控制信號，基于輸出反饋的控制器中閉環(huán)自適應(yīng)系統(tǒng)和參考系統(tǒng)之間的輸出誤差可以通過減小積分步長而變得任意小，實(shí)現(xiàn)對理想?yún)⒖枷到y(tǒng)的漸進(jìn)跟蹤。故基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器可以在參數(shù)不確定的情況下控制線性系統(tǒng)，同時(shí)保證低頻的控制量[8-9,15]。

本文設(shè)計(jì)的基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器由理想?yún)⒖寄Ｐ汀⒆赃m應(yīng)律、控制律3 個(gè)部分組成，自適應(yīng)控制器的優(yōu)點(diǎn)就是對被控系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的不確定性與干擾表現(xiàn)出強(qiáng)適應(yīng)性。根據(jù)前文建立的AUV 模型可以表達(dá)為:

式中：u(s) 為控制量輸入u(t) 的拉普拉斯變換；y(s)為系統(tǒng)輸出y(t)的拉普拉斯變換；G(s)為AUV實(shí)際模型傳遞函數(shù)；d(s)為外界擾動(dòng)d(t)=f(t,y(t))的拉普拉斯變換，其中f(.)為未知映射。為使時(shí)變外界干擾d(t) 有界且為控制器設(shè)定穩(wěn)定性條件，映射f(.) 需要滿足以下要求：存在常量Ld>0，使得在任意時(shí)刻t>0 時(shí)對所有的y1，y2滿足以下關(guān)系式：

L1 自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)如圖2 所示，其中r為輸入信號；u為控制量；Am，Bm，CmT為理想模型傳遞函數(shù)M(s)的狀態(tài)空間方程的最小實(shí)現(xiàn)；y?=y??y，為理想輸出與實(shí)際輸出之間的誤差值；x˙?為理想?yún)⒖寄Ｐ蜖顟B(tài)； σ?為自適應(yīng)參數(shù)組成的向量，其維數(shù)與Bm相 同； Φ(T)， μ(iT)為 組 成 自 適 應(yīng) 律 的 方 程；C(s)為C(0)=1 的低通濾波器；T為采樣時(shí)間；i=0,1,2,···n，i與采樣時(shí)間T結(jié)合代表運(yùn)行時(shí)間；I為單位矩陣。

圖2 基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器結(jié)構(gòu)圖Fig. 2 L1 adaptive output feedback control structure

L1 自適應(yīng)控制器中的控制量u(t) 的設(shè)計(jì)目標(biāo)是：即使存在外界干擾與被控模型參數(shù)的不確定性，控制器依然能夠使系統(tǒng)輸出y(t)跟蹤給定連續(xù)參考輸入信號r(t)。這一目標(biāo)可以通過設(shè)計(jì)理想的參考模型來實(shí)現(xiàn)，即

式中：M(s) 為極點(diǎn)實(shí)部均小于零的穩(wěn)定傳遞函數(shù)；r(s) 為輸入信號r(t) 的拉普拉斯變換；y(s)為系統(tǒng)輸出y(t) 的拉普拉斯變換。為了實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)，可將式（4）中的AUV 模型改寫為：

2.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

理想的閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)目標(biāo)是可以消除干擾對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，理想閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

如此設(shè)計(jì)可以使被控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)性能一致有界得到保證。

2.3 理想?yún)⒖寄Ｐ?/h3>

設(shè)計(jì)理想?yún)⒖寄Ｐ蜖顟B(tài)空間表達(dá)形式為：

對式（16）進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到

2.4 自適應(yīng)率

自適應(yīng)率設(shè)計(jì)的目的是在保證理想?yún)⒖寄Ｐ洼敵鰕?(t)跟 隨被控對象輸出y(t)的條件下對控制變量進(jìn)行修正。因?yàn)锳m是理想模型傳遞函數(shù)M(s)的狀態(tài)空間方程的最小實(shí)現(xiàn)，故Am的根均具有負(fù)實(shí)部，存在正定的對稱矩陣P與正定矩陣Q滿足李雅普諾夫方程式：

式中，l1為首項(xiàng)為1 其余位均是0 的向量。在處理器性能允許情況下積分步長越小，理想模型輸出對實(shí)際模型輸出的追蹤效果越好，閉環(huán)系統(tǒng)和理想?yún)⒖枷到y(tǒng)之間的差值可以達(dá)到任意小?？刂破鞣€(wěn)定性分析與式（9）和式（16）的匹配證明在文獻(xiàn)[15]中有詳細(xì)描述。

2.5 控制率

控制率的設(shè)計(jì)使控制量隨自適應(yīng)參數(shù) σ(t)的變化而不斷調(diào)整，在保證實(shí)際被控模型輸出y(t)保持與理想模型輸出y?(t)相同的情況下還能夠追隨輸入信號r(t)，即實(shí)現(xiàn)式（6）。

3 仿真及分析

為驗(yàn)證L1 自適應(yīng)控制器良好的動(dòng)態(tài)特性、抗干擾能力以及魯棒性，使用Matlab R2019a/Simulink 平臺搭建傳統(tǒng)PID 控制器和L1 自適應(yīng)控制器，并分別應(yīng)用于AUV，從動(dòng)態(tài)特性與抗干擾效果2 個(gè)方面進(jìn)行對比分析，并改變AUV 模型參數(shù)進(jìn)行L1 自適應(yīng)控制器的魯棒性分析。

仿真使用REMUS AUV 為被控對象，選取文獻(xiàn)[14] 中水動(dòng)力系數(shù)搭建AUV 模型，REMUS AUV 具體模型參數(shù)見表1。

表1 REMUS AUV 的標(biāo)稱參數(shù)Table 1 The nominal parameters values of the REMUS AUV

仿真實(shí)驗(yàn)中，T=0.000 1 s，總時(shí)間為50 s，航速3 kn，假設(shè)AUV 初始縱傾角與初始縱傾角速度均為0。根據(jù)模型狀態(tài)空間方程式（3），代入REMUS AUV 標(biāo)稱參數(shù)，在AUV 航行定速l=1.54 m/s條件下，可以得到AUV 的縱向控制模型的狀態(tài)空間方程：

根據(jù)前文控制器設(shè)計(jì)要求，閉環(huán)系統(tǒng)中的C(s)，M(s)的選擇需要同時(shí)滿足C(0)=1，H(s)穩(wěn)定性和式（15），參考文獻(xiàn)[16]中對L1 自適應(yīng)控制算法在導(dǎo)彈縱向控制中的參數(shù)調(diào)整過程，選擇合適的極點(diǎn)得到：

傳統(tǒng)PID 控制器采用串級結(jié)構(gòu)對AUV 的深度變化進(jìn)行控制，內(nèi)環(huán)為對縱傾角 θ的PID 控制器，外環(huán)為對慣性環(huán)節(jié)的P 控制器。串級控制模型如圖3 所示，內(nèi)環(huán)PID 控制器參數(shù)經(jīng)過試湊調(diào)整設(shè)定為（KP_in=20，KI_in=1，KD_in=4），外環(huán)P 控制器參數(shù)設(shè)定為（KP_out=0.5）。

圖3 深度通道串級PID 控制結(jié)構(gòu)Fig. 3 Depth-plane PID control system

分別進(jìn)行輸入信號為階躍信號、正弦信號情況下REMUS AUV 應(yīng)用L1 自適應(yīng)控制器與PID控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)并對比。AUV 系統(tǒng)的深度z、縱傾角θ 與縱傾角速度q在階躍信號與正弦信號輸入的動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真對比情況如圖4～圖6 所示。無干擾情況下2 種控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)對比如表2 所示。假設(shè)存在外部干擾，根據(jù)海浪幅值響應(yīng)公式[17]，在低海況等級情況下，選取隨機(jī)有義波高與仿真頻段進(jìn)行多諧波疊加來模擬隨機(jī)海流對AUV 產(chǎn)生的縱向擾動(dòng)。擾動(dòng)可表示為

在仿真實(shí)驗(yàn)第10 s 加入干擾，2 種控制器的深度控制抗干擾仿真效果及抗干擾性能指標(biāo)對比結(jié)果分別如圖7 和表2 所示。假設(shè)被控對象模型參數(shù)發(fā)生變化，進(jìn)行L1 自適應(yīng)控制器在階躍信號與正弦信號輸入情況下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)仿真實(shí)驗(yàn)，模型中水動(dòng)力系數(shù)Mq˙發(fā)生a倍變化時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線變化情況如圖8 所示，模型中運(yùn)動(dòng)速度u發(fā)生變化時(shí)動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線變化情況如圖9 所示。

圖8 AUV 深度隨模型參數(shù) Mq˙的變化曲線Fig. 8 Dynamic response of AUV depth with different hydrodynamic force coefficient Mq˙

圖9 AUV 深度隨模型參數(shù)l 的變化曲線Fig. 9 Dynamic response of AUV depth with different speed l

綜合分析以上仿真結(jié)果，可以得到以下結(jié)論：

1） 根據(jù)圖4～圖6 與表2 可以得知，L1 自適應(yīng)控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能優(yōu)于PID 控制器，在階躍信號輸入情況下比PID 控制器有著更低的超調(diào)量和更快的響應(yīng)速度，在正弦波信號輸入情況下比PID控制器的峰值偏差更小。這歸因于控制器中理想?yún)⒖寄Ｐ偷脑O(shè)計(jì)，通過實(shí)際輸出與參考輸出之間的誤差來調(diào)整自適應(yīng)參數(shù)進(jìn)而修改控制量，使實(shí)際系統(tǒng)可以追隨理想模型的輸出，表現(xiàn)出良好的動(dòng)態(tài)性能。圖4～圖6 與表2 的結(jié)果說明了應(yīng)用L1 自適應(yīng)控制器的AUV 不僅具有實(shí)際可操控性，而且具有更高的控制精度。

圖4 無干擾情況下AUV 深度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 4 Dynamic response of AUV depth without disturbance

圖5 無干擾情況下AUV 縱傾角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 5 Dynamic response of AUV pitch without disturbance

圖6 無干擾情況下AUV 縱傾角速度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 6 Dynamic response of AUV pitch velocity without disturbance

表2 無干擾下AUV 縱向姿態(tài)變化曲線的性能指標(biāo)Table 2 Performance indexes of the two controllers without disturbance

2） 根據(jù)圖7 與表3 可以得知，在引入隨機(jī)海流干擾后，L1 自適應(yīng)控制器比PID 控制器表現(xiàn)更穩(wěn)定，可以精確追隨輸入信號。這歸因于L1 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)前提中考慮了干擾，并通過設(shè)計(jì)控制率平衡了干擾的影響，使得整個(gè)系統(tǒng)即便存在外界干擾，其閉環(huán)系統(tǒng)依然等價(jià)于設(shè)計(jì)的理想?yún)⒖寄Ｐ?。圖7 與表3 的結(jié)果證明了L1 自適應(yīng)控制器有著比PID 控制器更強(qiáng)的抗干擾能力，可以在復(fù)雜外界干擾情況下保持良好的控制效果。

圖7 外部環(huán)境干擾下AUV 深度的動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig. 7 Dynamic response of AUV depth with disturbance

表3 外部干擾下AUV 深度變化曲線的性能指標(biāo)Table 3 Performance indexes of the two controllers with disturbance

3） 根據(jù)圖8 與圖9 可以得知，當(dāng)階躍信號作為系統(tǒng)輸入時(shí)，水動(dòng)力系數(shù)Mq˙的減小和速度l的增加對AUV 深度通道動(dòng)態(tài)響應(yīng)沒有產(chǎn)生明顯影響；但當(dāng)水動(dòng)力系數(shù)Mq˙增 大到1.5 倍或速度l減小至1 m/s 時(shí)，AUV 深度通道動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線開始出現(xiàn)波動(dòng)。當(dāng)正弦信號作為系統(tǒng)輸入時(shí)，水動(dòng)力系數(shù)Mq˙與速度l的改變沒有對AUV 深度通道動(dòng)態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生明顯影響，AUV 深度響應(yīng)仿真曲線幾乎重合。這歸因于L1 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)將被控對象的參數(shù)變化視為干擾進(jìn)行處理，因此可以獲得良好的魯棒性表現(xiàn)。圖8 與圖9 的結(jié)果說明了L1 自適應(yīng)控制器在模型參數(shù)發(fā)生一定程度變化時(shí)可以保持AUV 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定，但是在持續(xù)激勵(lì)信號的作用下控制器的魯棒性更好。

綜上所述，仿真結(jié)果證明了L1 自適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)使其擁有比PID 控制器更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與抗干擾能力，同時(shí)證明了L1 自適應(yīng)控制器在被控對象模型出現(xiàn)一定偏差時(shí)仍然可以保證控制的效果。

4 結(jié) 語

本文針對AUV 深度控制中面臨的干擾大、參數(shù)不確定的問題，提出了一種基于L1 自適應(yīng)控制理論的控制器設(shè)計(jì)方案。仿真結(jié)果表明，無外部干擾的情況下，L1 自適應(yīng)控制器的動(dòng)態(tài)響應(yīng)更好。若存在持續(xù)外部環(huán)境干擾，L1 自適應(yīng)控制器比傳統(tǒng)PID 控制器擁有更強(qiáng)的抗干擾能力。當(dāng)AUV 模型參數(shù)發(fā)生一定程度變化時(shí)，L1 自適應(yīng)控制器可以保持動(dòng)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定，而且當(dāng)輸入信號是持續(xù)激勵(lì)信號時(shí)系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。基于輸出反饋的L1 自適應(yīng)控制器將建模中的參數(shù)不準(zhǔn)確與外界干擾統(tǒng)一歸為擾動(dòng)，在足夠小的積分步長下，通過分段常數(shù)自適應(yīng)率與低通濾波控制信號使實(shí)際閉環(huán)系統(tǒng)接近理想?yún)⒖枷到y(tǒng)，使系統(tǒng)在具有良好動(dòng)態(tài)響應(yīng)的情況下具有比PID 更好的抗干擾能力和優(yōu)秀的魯棒性。這種方法為復(fù)雜環(huán)境下AUV 穩(wěn)定作業(yè)的控制器設(shè)計(jì)提供了一種方案，不僅保證了系統(tǒng)在參數(shù)變化下的魯棒性而且增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾能力。后續(xù)可以對該控制算法進(jìn)行改進(jìn)，優(yōu)化算法在非持續(xù)激勵(lì)信號輸入下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)表現(xiàn)，進(jìn)一步改善AUV 定深航行作業(yè)的魯棒性效果。