基于漸進結構優化算法的橋梁找型工作研究

王 軍，王 萍，馮昭亮

（1.西安市政設計研究院有限公司，陜西 西安 710068；2.內蒙古阿拉善盟公路運輸維護中心，內蒙古 阿拉善盟750306；3.西安航天城市政公用發展有限公司，陜西 西安 710005）

0 引言

結構優化設計，通俗點說，就是選擇較好的設計方案并進行設計。從廣義上說，應當是用系統的、目的定向和良好標準的設計過程來實現對所選結構形式、外形尺寸、采用材料等的設計[1-2]。拓撲優化時，在限定條件較少，如尚不明確構件尺寸、構件之間的連接方式時，可以利用拓撲優化工具進行橋梁結構的找型工作，得到橋梁結構材料最優分布的橋型方案。

1 拓撲優化及其基本原理

優化設計按所選設計變量類型的不同可分為截面（尺寸）優化、形狀優化和拓撲優化。其中，拓撲優化屬優化設計的概念設計階段。其目的主要體現在結構選型和結構布置上，即在滿足各種約束條件下，去除不必要的構件和材料使結構在規定意義上達到最優，屬于優化設計的最高階段，難度也最大。因此，拓撲優化才是真正意義上的創造結構[3]。

對于設計人員，只要將有限元分析軟件與優化設計方法結合起來，并把工程實際問題合理地轉化為優化模型，就可以利用相關計算方法很好地完成優化設計。借助ANSYS 軟件強大的優化分析功能，能夠很好地完成既定的優化目標。ANSYS 的優化模塊中三大優化變量為設計變量、狀態變量、目標函數[4]。

1.1 設計變量

在結構優化設計方案諸多變量中，可以變化的量為設計變量。通過不斷改變其值而逐漸得到最終的優化結果。ANSYS 分析軟件最多可以定義60 個設計變量。

1.2 狀態變量

狀態變量為設計變量的函數，也可以獨立于設計變量。狀態變量必須滿足一定的約束條件。約束條件可以是等式或不等式。避免狀態變量的上限和下限取值過于接近，造成無解現象。ANSYS 分析軟件中最多可以定義100 個狀態變量[5]。

1.3 目標函數

目標函數是要盡量減小的函數。它必須是設計變量的函數。在ANSYS 優化程序中，它總是以最小化為目標函數。如果實際工程問題中所求目標函數為極大值，可以通過取倒數來實現。ANSYS 程序要求優化過程中只能有一個目標函數。

2 漸進結構拓撲優化方法

2.1 拓撲優化方法

結構拓撲優化可分為離散型和連續型。目前，連續體結構為拓撲優化主要的研究對象[6-7]。連續結構拓撲優化常用的研究方法有均勻化法、變密度法和漸進結構優化方法（Evolutionary Structural Optimization，簡稱ESO）等。

ESO 是近年來興起的一種解決各類結構優化問題的數值方法。ESO 技術自1992 年提出以來，在國際上反響很大[5]。該方法由于能夠很好地與有限元程序進行對接，能夠獲得較可信的優化結果。該算法基本原理為：通過構建一定的準則（應力、位移/ 剛度、頻率），將結構中那些低效的單元慢慢刪除，通過不斷地重復迭代計算，獲得一個最佳的結構形式[8]。由于該方法所依據準則簡單、物理概念明確，因此很快擴展到多工況、非線性、動力等復雜問題。

2.2 基于應力和剛度共同約束的ES O

絕大多數的工程結構在運行狀態下都同時受到應力和位移兩方面的約束控制。橋梁結構在正常使用狀態下不僅要滿足應力約束條件，還要滿足撓度約束條件。所以，研究這類問題更有工程應用價值。

對優化結構進行有限元分析后，如果所求的單元位移靈敏度數較低，則表明需要刪除較多的單元，單元的刪除率也相應較高。如果所求單元的應力較低，則表明結構中有較多單元處于低應力狀態，相應的單元刪除率也會較高。

基于以上分析，在位移和應力兩方面控制下的單元綜合靈敏度公式可表示為[8]：式中：αi，z為單元綜合靈敏度；為每個單元Von Mises 應力；為單元最大Von Mises 應力；αi為每個單元位移靈敏度數；αmax為單元最大位移靈敏度數。

由于αi，z的取值范圍為0＜αi，z＜1，所以單元應力值和位移靈敏度數有相同的數量級，不會產生較大的計算誤差。

以上所分析的都是結構在單工況下的優化問題。而橋梁結構通常會同時受到汽車荷載、人群荷載、溫度荷載等作用。對于多荷載工況，單元的刪除準則為：每一個工況都滿足刪除準則的單元才能被刪除。通過式（1）可以很容易計算出在不同荷載工況下，每個單元的綜合靈敏度數，…，將其中最大值定義為這個單元的綜合靈敏度數，即：式中，k 為總工況數。

3 截面拓撲優化

3.1 單元模型的選取

對截面采用漸進優化算法時，首先是將其離散成數量可觀的單元，使單元網格盡可能小，這樣得到的優化結果越精確。單元網格的劃分要在建模階段完成。在優化階段，總是對同一模型進行反復迭代計算。研究發現，最初選取的模型形狀能否代表所要進行優化的截面尤為重要，它直接影響到優化的合理性和正確性。

截面的拓撲優化可以分為平面應力單元優化和三維實體單元優化。平面應力單元優化采用四節點矩形平面應力單元計算，相對比較簡單。有時候可將一些復雜的三維實體單元優化問題簡化為平面應變和平面應力問題，能獲得較好的優化效果。

3.2 控制截面的選取

當構件受力并不復雜時，采用結構中具有代表性的截面，如受力最不利截面，對其進行優化，就能客觀地反映結構真實的優化后形狀。當結構受到復雜荷載作用時，可以選擇多個控制截面進行優化，對不同控制截面的優化結果進行比較，從而得出最優設計。根據已有的設計經驗，首先考慮矩形截面為其初始設計截面。可以采取由結構整體→局部截面→優化后結構整體這樣一個循環迭代過程。

3.3 設計區域的選取

設計區域的幾何布局是未知的，要通過拓撲優化來確定其具體的位置形狀，所以該區域是可以刪除的區域。在優化模型的建立時，對于設計區域的幾何體，在劃分單元時盡量選用較為簡單的單元形狀，以有利于減少迭代收斂的時間。

4 拓撲優化實例

4.1 二維平面單元拓撲優化典型算例

對于平面應力單元的拓撲優化，ANSYS 軟件分別提供了兩種拓撲優化算法。第一種是以獲得結構剛度最大為目標的線性結構靜力分析。第二種是以獲得結構動態剛度最大為目標的模態分析。本算例為第一種形式。該算法的中心思想是結構在靜力荷載作用下，在滿足體積縮減量約束條件的情況下，使得結構剛度最大。該算法不考慮材料和結構非線性，將結構剛度最大定義為目標函數。

拓撲優化時，尚不明確構件尺寸、構件之間的連接方式。在這種限定條件較少的情況下，可以利用拓撲優化工具進行橋梁結構的找型工作。以下就是很好的典范。

4.2 模型的建立

在修建道路上需要建造一座鋼拱橋。該橋所在的空間形狀如圖1 所示。長方形頂面兩側連接的是兩側道路，長方形下面的左右兩端點是拱橋兩個橋墩安裝的位置點。鋼材的彈性模量為E=2.06×105 MPa，泊松比μC=0.3。假設橋面上承受P=110 MPa 的均布荷載，要求體積減少70%的條件下尋找最合適的拱橋橋型。

圖1 初始設定拱橋空間形狀

4.3 設計目標和約束條件

本例只有一個荷載工況，屬于單荷載工況求解拓撲優化問題，如圖2 所示。首先，將體積減少70%定義為約束函數。將施加在拱橋頂部的P=110 MPa荷載定義為拓撲優化函數。該函數也就是目標函數。

圖2 拱橋截面拓撲優化區域及有限元模型

4.4 優化結果

由于要尋求拱橋最優的結構形式，必須有橋面部分的存在。要求橋面部分為本次研究長方形的頂部，即長方形的上表面單元必須保留，不參與拓撲優化迭代過程。所以，求解時將長方形頂層單元指定為非設計區域，其他單元指定為設計區域。

程序通過七次迭代，以獲得結構最大剛度為最終目標，并通過設計變量給每個單元賦予內部偽密度來實現。

優化第一階段，體積減小10%時，優化結果如圖3 所示。

圖3 迭代第一步優化圖示

優化第二階段，體積減小40%時，優化結果如圖4 所示。

圖4 迭代第四步優化圖示

優化第三階段，體積減小50%時，優化結果如圖5 所示。

圖5 迭代第五步優化圖示

優化第四階段，體積減小60%時，優化結果如圖6 所示。

圖6 迭代第六步優化圖示

優化第五階段，體積減小70%時，優化結果如圖7 所示。

圖7 迭代第七步優化圖示

通過五次迭代，當體積刪除VS=50%時，拱橋的橋型逐步顯現；當體積刪除率VS=70%時，能夠清晰地顯示出拱橋的橋型。此時迭代停止。在開始的幾次迭代中，目標函數和體積變化比較明顯，在經歷了第16 次迭代后，優化結果趨于穩定，如圖8 所示。

圖8 目標函數、約束函數的迭代曲線

5 結語

拓撲優化時，由于尚不明確構件尺寸、構件之間的連接方式，所以可以利用拓撲優化工具開展橋梁結構找型的工作。本文算例是以單元剛度最大為優化目標的二維單元拓撲優化。經過數次迭代獲得了較成功的拱橋橋型的優化結果，充分證明了采用ESO 法可以很好地開展橋梁的找型工作。