稀疏直線陣列優化設計算法綜述

黎子皓，郝程鵬，閆晟

（1.中國科學院聲學研究所，北京 100190；2.中國科學院大學，北京 100049）

1 引言

隨著天線與換能器在聲吶、雷達和無線通信等領域的廣泛應用，波束方向圖設計已經成為陣列信號處理領域的研究熱點之一，該技術首先在空間中部署一組輻射單元構成陣列，然后借助波束形成技術獲得強方向性、窄波束寬度和低旁瓣電平的波束，從而提高發射或接收信號的信噪比。在實際工程中，為了提升陣列的角度分辨率，需要擴大陣列孔徑和陣元數量。因此對于陣元間距不大于半波長的均勻直線陣列而言，陣元數量的增加提升了系統的維護難度和成本。為了降低設備復雜性和成本，稀疏直線陣列的優化設計引起了重視。該技術是在陣列孔徑幾乎不變的條件下，即在保持陣列的角度分辨率不變的前提下，減少陣元數量并優化各陣元的物理布局，最終產生滿足期望性能的波束方向圖。由于這樣設計出的大部分稀疏直線陣列的陣元間距大于半波長，因此其陣元間的互耦效應與均勻直線陣列相比更弱，在實際環境中具備更好的性能。

不論是在理論設計還是工程應用中，稀疏直線陣列的優化設計都是一個較難處理的問題［1,2］。從波束方向圖的數學模型考慮，其在空間域上是陣元激勵和陣元位置的復指數求和形式，因此位置和激勵的聯合優化是一個非凸優化問題，優化的結果不一定是全局最優解；從工程應用角度考慮，雖然算法可以通過對陣元位置和激勵添加約束條件達到控制波束形狀的目的，但在實際環境中受到地形條件的影響，陣元位置與理論數值存在偏差，從而導致旁瓣電平產生誤差，甚至會出現混疊現象。因此需要對這兩方面因素綜合考慮，設計符合需求的稀疏直線陣列。

為了能夠詳細地對稀疏直線陣列的設計算法進行綜述，本文首先在第2 章介紹直線陣的波束方向圖理論和性能標準，并分析基于最小峰值旁瓣電平與基于方向圖重構的稀疏直線陣列設計模型。之后在第3章根據這兩類設計模型把現存的算法分隨機搜索、傅里葉變換、凸優化、矩陣分解和壓縮感知這五類，進而綜述了各類設計算法的理論、發展和最新研究進展。第4 章則通過仿真實驗深入對比各類算法的優缺點。最后于第5 章結合實際工程化的應用需求，指出稀疏直線陣列設計算法的未來發展趨勢。

在討論接下來的內容之前，先對一些符號進行定義：λ 表示信號的波長。j 表示虛數單位，即j 滿足j2=-1。k=2π/λ 表示信號的波數。‖x‖1,‖x‖2分別表示向量x的1范數和2范數。F(x)表示對x作離散傅里葉變換，F-1(x)則表示對x作離散傅里葉逆變換。mainlobe表示波束方向圖的主瓣區域，而sidelobe 表示波束方向圖的旁瓣區域。xT表示對矩陣或向量x作轉置運算，x*則表示對矩陣或向量x作共軛運算。

2 稀疏直線陣列優化設計模型

2.1 直線陣列的波束方向圖模型

波束方向圖是衡量直線陣列性能的重要指標，表征了發射電磁波時能量的空間分布情況。根據文獻［3］，直線陣列的波束方向圖可以表示為陣因子和元因子乘積的形式

式中，F(θ)為直線陣的波束方向圖；fe(θ)表示每個輻射單元的方向圖，被稱作元因子；fa(θ)與陣列流形相關，被稱作陣因子。可見波束方向圖由元因子和陣因子共同決定。在大部分情況下，各向同性的輻射單元構成直線陣列，即元因子fe(θ)=1。因此對于陣元數量為M的線陣，其方向圖可以僅用陣因子表示

式中，dn是第n個陣元與參考點之間的距離；wn是第n個陣元的復激勵。不論是均勻直線陣還是稀疏直線陣，波束方向圖模型均符合式（2），因此稀疏直線陣列的優化模型均是圍繞式（2）建立的。對于直線陣列，常 見的 波束 方 向圖 有Dolph-Chebychev［4］、Taylor-Kaiser波束或余割平方波束［5］等。

2.2 基于最小峰值旁瓣電平的優化模型

峰值旁瓣電平（peak side-lobe level, PSLL）作為波束方向圖的重要指標，表征了天線陣列對旁瓣區域中干擾信號的抑制能力。因此該稀疏直線陣列的優化模型將PSLL 作為優化的目標函數，在減少陣元數量并優化陣元位置、激勵的同時，盡可能降低其波束方向圖的PSLL。假設設計一個稀疏直線陣列，其孔徑為L，陣元數量為N的，且N小于同樣孔徑下按半波長排布的均勻線陣陣元數量M，定義該稀疏陣列所對應的波束方向圖的峰值旁瓣電平為

式中，Fmax表示稀疏直線陣列的波束方向圖；F(θ)在整個角度區域中的峰值。從式（3）可見，稀疏直線陣列的PSLL 受到陣元的位置矢量d和激勵矢量w的影響。因此基于最小化峰值旁瓣電平的優化模型可描述為

式（4）所表示的優化模型首次建立了稀疏直線陣列設計的理論基礎，掀起了世界眾多學者對于稀疏直線陣的設計算法的研究熱潮，因此在20 世紀90年代后陸續出現隨機搜索、傅里葉變換和凸優化這三類設計算法。

2.3 基于方向圖重構的優化模型

與最小化峰值旁瓣電平的優化模型不同，方向圖重構的優化模型是在保證稀疏直線陣列的方向圖與目標方向圖之間足夠近似的條件下，減少陣元數量并同時優化陣元的激勵、位置。假設稀疏直線陣列的陣元數量為N，用η表示合成方向圖與目標方向圖的理論誤差，則該優化模型可以表示為

式中，FREF(θ)表示已知輻射特性的目標方向圖，例如已經確定波束形狀的Chebyshev 方向圖；后面一項則表示稀疏陣列的波束方向圖。對于此優化模型，眾多學者發現矩陣分解和壓縮感知這兩類算法可以有效解得對應的陣元位置和激勵。為了直觀起見，圖1表示了兩類優化模型及其衍生出的設計算法之間的對應關系。

圖1 稀疏直線陣列優化模型與設計算法的對應關系

3 稀疏直線陣列設計算法

3.1 基于隨機搜索的設計算法

隨機搜索算法是一類廣泛用于非凸優化領域的算法，其中包括模擬退火算法（simulated annealing,SA）［6］、遺傳算法（genetic algorithms,GA）［7］、粒子群優化算法（particle swarm optimization, PSO）［8］、差分進化算法（differential evolution, DE）［9］、蟻群優化算法（ant colony optimization,ACO）等。隨機搜索算法的目的均是最小化適應度函數，而適應度函數可以根據優化需求自由定義，因此可以將隨機搜索類算法用于最小化峰值旁瓣電平的優化模型中，僅需將稀疏陣列的PSLL作為適應度函數即可。例如對于等幅激勵的稀疏直線陣列，需把陣元位置作為優化變量，并把隨機搜索算法的適應度函數改為PSLL，即

式中，fitness代表隨機搜索算法的適應度函數；優化變量為陣元位置矢量d=［d1,d2,...,dN-1］。式（6）說明隨機搜索算法在迭代過程中降低稀疏陣列的波束方向圖的PSLL，并同時獲得各陣元的位置。伴隨著計算機的計算性能提升，許多學者開始驗證各種隨機搜索 算 法 在 式（6）上 的 有 效 性。1994年，Niell 和Haupt［10,11］兩位學者理論分析GA 算法用于設計等幅激勵的稀疏直線陣的有效性，并通過仿真實驗說明對于孔徑為99.5λ的稀疏直線陣列，僅用150個陣元便可合成PSLL 最低為-22.09dB 的波束方向圖。不幸的是，文獻［10,11］中的GA 算法針對的優化模型中，陣元位置只能在等間距的網格上，陣元位置的自由度受到了極大的限制，從而進一步限制了算法的性能，因此文獻［12］引入了一種距離微擾策略，從而提出一種不等間距的網格優化模型，在優化算法同為GA 算法的前提下，可獲得PSLL 為-22.34dB 的波束方向圖，性能顯然優于文獻［10,11］。然而這種微擾模型在優化過程中會造成陣元間距小于半波長的情況，導致在實際環境中增加了陣元間的互耦效應，因此Chen等人［2］提出了一種改進的遺傳算法（Modified GA，MGA），在不等間距優化模型上增加陣元間距大于半波長的約束條件，從而在理論上解決互耦問題。除了GA算法，其他的基于隨機搜索的稀疏直線陣列設計算法也相繼被提出，例如基于陣元間距約束的改進粒子群算法（improved PSO,IPSO）［13］，基于整數編碼的遺傳算法［14］，適應策略差分進化算法（strategy adaptation DE,SaDE）［15］，改進的差分進化算法（modified DE,MDE）［16］，改進的蝙蝠算法（improved bat algorithm,IBA）［17］等。

在隨機搜索算法中，雖然式（6）的優化模型取得了杰出的成果，延伸出各種稀疏直線陣列設計算法，但是優化的變量僅有陣元位置，合成的波束方向圖性能仍然不是最優。因此可以將陣元位置與激勵合并成矢量進行聯合優化，從而進一步提升性能，即表示為

式（7）的優化模型與式（6）相比，自變量自由度得到了提升，因此該模型設計的稀疏直線陣列的性能優于式（6）。Kurup 等人［18］使用DE 算法驗證了這個結論，即通過仿真實驗說明對于位置-激勵聯合優化的模型，設計的稀疏直線陣列所對應波束方向圖比僅優化位置的旁瓣電平低3.5dB，性能獲得顯著提升，具備更強的抗干擾能力。除了DE 算法之外，Murino 等人［19］針對式（7）也提出了基于SA 的稀疏直線陣列設計算法，并在孔徑為50λ 陣元數量為25 的條件下，性能優于動態規劃算法［20］。2010年，動態差分進化設計算法［21］也被提出，與傳統DE算法相比，其在突變過程中動態更新種群而不是逐代更新，從而可以更高效地收斂。Akdagli 等人則針對非對稱賦形波束提出了旅游蟻群優化算法［22］，從而可以設計發射余割平方波束或平頂波束的稀疏直線陣列。

為了能在降低旁瓣電平的同時增加陣列的角度分辨率，Zhang等人［23］在式（6）和式（7）的基礎上，提出了旁瓣電平和主瓣寬度的混合優化模型，并用a1和a2分別調整這兩者的權重，即

式中，HPBW 代表波束方向圖的主瓣寬度。對于式（8）的優化模型，改進的遺傳算法（improved GA,IGA）、改進遺傳算法與粒子群算法的混合算法（improved GA-PSO, IGA-PSO）及改進的遺傳算法-極值干擾簡單粒子群算法（improved GA-extremum disturbed simple PSO,IGA-edPSO）［23］均可設計出滿意的稀疏直線陣列，詳細仿真結果可見第4 章。為了方便，我們總結了GA、DE、PSO、ACO 這四個算法用于設計稀疏線陣的流程圖，如圖2所所示。

圖2 陣列孔徑確定下的虛擬網格

圖2 基于隨機搜索的稀疏直線陣列設計流程圖

3.2 基于傅里葉變換的設計算法

根據式（2），其數學表達式為陣元激勵與陣元位置所對應復指數的加權求和，與傅里葉變換的形式類似，因此在20 世紀下半葉，許多學者開始探索傅里葉變換和波束方向圖之間的關聯。

1991年，文獻［24］從理論上論證FFT 算法合成均勻直線陣列的波束方向圖的可行性。2003年，Casimiro等人明確了均勻線陣的波束方向圖與陣元激勵間存在傅里葉變換的關系［25］，并通過仿真實驗驗證該關系的有效性，即對于N個陣元所構成的均勻直線陣列，其波束方向圖模型滿足式（2），假設陣元的間距為Δd，令u=sinθ，陣列的波束方向圖和陣元激勵符合如下傅里葉變換關系

從式（9）可以看出，均勻直線陣列的波束方向圖和陣元激勵互為傅里葉變換對，即可簡單表示為

然而式（10）僅針對均勻直線陣列，即在陣元等間距排布的條件下才成立，無法直接用于稀疏線陣設計。為解決這個問題，2008年Keizer等人對算法做改進，提出了一種迭代傅里葉變換算法（iterative FFT techniques,IFT）［26,27］用于設計等幅激勵的稀疏線陣。該算法首先利用虛擬網格建立傅里葉變換與稀疏線陣設計的關系，即在線陣的排布空間上劃分出虛擬網格，如圖3所示，使用FFT求解網格位置對應的激勵，相當于在網格上放置特定激勵的陣元。為了進一步實現減少陣元數量和降低旁瓣電平的效果，IFT算法初始化波束方向圖，每次迭代都降低波束的旁瓣電平并通過傅里葉逆變換求解對應的虛擬陣元激勵，取前N個大的幅值確定為陣元位置，將激勵置1，其余網格上的激勵設置0，繼續轉換為波束方向圖并降低旁瓣電平，以此循環求解稀疏陣列的陣元位置，算法流程圖如圖4所示。

圖3 基于迭代傅里葉變換的稀疏直線陣列設計流程圖

Keizer 通過仿真實驗證明在陣列孔徑為99.5λ 且陣元數量為132 的條件下，IFT 算法可以設計出PSLL為-22.86dB的等幅激勵的稀疏直線。

繼IFT 算法之后，學者們也提出許多改進的算法。例如在2012年，一種改進的迭代傅里葉變換算法（modified IFT,MIFT）［28］被提出，該算法通過引入自適應因子增加運算速度，并在稀疏率相同的情況下，設計的稀疏線陣的PSLL 低于IFT 算法的結果。除此之外，GA 與IFT、MIFT 的混合算法［29,30］也被提出用于提高計算速度和全局搜索的性能。

3.3 基于凸優化的設計算法

凸優化是最優化里的一個重要子領域，是針對凸問題求解最優值的算法，與非凸優化相比，其在獲得全局最優解上有較好性質。根據式（2）的數學模型，波束方向圖與陣元激勵服從線性關系，因此當優化變量僅為陣元激勵的情況下，波束方向圖設計可以轉換為凸優化問題，即可表示為

Lebret 和Boyd 驗證式（11）對于優化設計的有效性［31］，對于陣元數量為24 且陣元間距為0.56λ 的均勻線陣，可以設計旁瓣電平低于-27.3dB 的余割平方波束。Wang 等人則進一步驗證式（11）設計非均勻直線陣列的波束方向圖的有效性［32］，并改進約束項減少陣元位置、激勵的擾動帶來的影響，但該算法考慮的是陣元位置已經確定的特定稀疏陣列，無法將陣元位置同樣作為變量求解，從而缺乏通用性。

為了可以聯合優化陣元位置和激勵，稀疏恢復［33-35］的理論被引入稀疏線陣的設計，且該理論恰好可以轉化為凸優化問題。稀疏恢復指對于一個線性系統y=Ax，在滿足該線性系統的約束下，求解最稀疏的x，即矢量x僅有少量非零數值。綜上所述，可以表示為如下形式

式中，y是m 維實矢量；A是m×n維的實矩陣；x是n 維實向量。由于0 范數作為目標函數是非凸問題，因此這里將目標函數松弛為1 范數求解，這樣式（12）便是凸優化問題。為了在式（12）的基礎上提升x 的稀疏度，Candes 等人［36］進一步提出加權l1最小化算法（rewighted l1minimization,RL1），通過加權懲罰的思想增加解的稀疏度

式中，W是對角矩陣，即W=diag(w1,w2, …,wn)。每次迭代，矩陣W的第i個對角元素wi按以下形式更新

其中k+1 表示當前的迭代次數；ε表示極小值；xi表示向量x的第i個元素。

2012年，Prisco 將稀疏恢復理論和稀疏直線陣列設計相結合，提出了序列凸優化算法［37］，講陣元激勵的1 范數作為目標函數，約束項改為旁瓣電平低于閾值函數的形式，即表示為式中，θ0代表主瓣峰值對應的角度；UB(θ)表示旁瓣區域上的閾值函數，用于約束波束方向圖的旁瓣形狀；Z與式（14）的形式一致，表示權重矩陣，用于提升向量x的稀疏度。Fuchs 則在式（15）的基礎上，分別針對銳波束和賦形波束兩種情況，通過不同的約束條件實現這兩種波束模式的稀疏陣列設計［38］，即可表示為

式中，F.B.表示銳波束的約束條件；S.B.表示賦形波束的約束條件。實驗結果說明不論是筆形波束還是賦形波束，式（16）可設計對應的稀疏線陣。為提升序列凸優化的計算效率和準確性，Pinchera 等人提出了一種局部優化策略［39］，改進式（14）的加權因子，使得每次迭代后陣列的陣元成簇排布，再用聚類算法解得對應的陣元激勵。同理，基于充氣放氣［40］及陣元選擇［41］的稀疏陣列設計方法也被提出，這兩類算法都是序列凸優化的改進算法，計算效率得到提升，并可用于陣元數量大于100的大規模稀疏線陣設計。

與式（15）和（16）所表現的稀疏恢復的思路不同［38］，Sartori 等人提出基于幾乎差集和凸編程的混合算法［42,43］，該算法分兩步，第一步是利用幾乎差集算法確定陣元位置，第二步便在陣元位置確定的前提下，通過凸優化算法獲得陣元的激勵。除此之外，基于交替凸優化策略的設計算法［44］也被提出，該算法源自交替優化的思想，即每次迭代分別優化陣元激勵和陣元位置，多次迭代后獲得滿足要求的稀疏直線陣列，該算法在優化過程中也增加陣元的最小間距約束，從而避免在實際環境中產生陣元間的互耦效應。

3.4 基于矩陣分解的設計算法

在線性代數中，矩陣分解的目的是提取出矩陣的重要特征，因此許多稀疏線陣的設計算法可通過矩陣分解減少陣元數量，例如矩陣束算法（matrix pencil method, MPM）、濾波對角算法（filter diagonalization method, FDM）等。MPM 算法最早由Sarkar 提出［45］，并由學者劉顏回等人引入至稀疏直線陣列設計領域［46］，即在目標波束形狀確定的條件下，使用少于均勻線陣的陣元數量便可發射同樣的波束。下面描述MPM 算法用于設計稀疏直線陣列的步驟，先對式（2）生成的目標波束采樣2N+1個觀測數據{y(0),y(2),…,y(2N)}，并使用觀測數據構造漢克爾矩陣Y

式中，N和L都是超參數；N需要大于均勻線陣的陣元數量M；L則需要滿足L∈［M-1, 2N-M］。由于矩陣Y包含了目標波束的信息，因此對其作奇異值分解有

式中，U和V都是酉矩陣；∑是由奇異值構成的對角矩陣，且∑中前Q個大的對角元素可被視為重要的奇異值，而Q也可被視為稀疏陣列的陣元數量，通過文獻［44］的判定條件確定。因此，在通過條件判定陣元數量Q的前提下，為了獲得稀疏陣列的陣元激勵和位置，將前Q個大的對角元素構成的對角矩陣∑Q重新帶入式（18）得到低秩矩陣YQ，進而對YQ作廣義特征分解

式中，YQ,f表示YQ去掉第一列的矩陣；YQ,l表示YQ去掉最后一列的矩陣；特征值z與陣元位置d則有如下關系

式中，ln表示自然對數；Δ表示采樣數據序列所對應u的間隔。實驗結果說明MPM 可以用于設計發射銳波束的稀疏陣列［46］，例如對于20 陣元的切比雪夫陣列，MPM 算法僅使用12個陣元便可產生同樣的波束形狀。不幸的是，MPM 設計的非對稱賦形波束存在較大的匹配誤差，原因是在式（20）中，賦形波束所對應的廣義特征值|zi|≠1，這時求解的陣元位置di往往為復數，但由于物理意義僅取其實部，從而造成波束方向圖的誤差。

為了解決這個問題，學者劉顏回等人進一步［47］提出了前后向矩陣束算法（forward back MPM,FBMPM），將漢克爾矩陣Y改為漢克爾-托普利茲矩陣-Y，即

式中，yi=［y(i),y(i+1), …,y(2N?1)］T。FBMPM 算法的后續步驟與MPM 算法的一致。文獻［47］指出矩陣-Y相當于對z的極坐標增加了約束［47］，使其在極坐標上貼近單位圓，從而解決了賦形波束誤差較大的問題。

繼MPM 算法和FBMPM 算法之后，出現一些針對實時性的改進算法。2016年，Shen等人提出一種酉矩陣束算法（unitary transform MPM,UMPM）［48,49］，通過酉變換將低秩矩陣Y轉變為實矩陣，顯著提升了算法的計算效率。除此之外，基于FDM 的稀疏陣列設計算法［50］也被提出，該算法最早被用于核磁共振領域［51-53］，是一種計算效率較高的頻率估計算法，實驗表明對于同一類稀疏線陣設計問題，FDM 與MPM［46］相比所需的時間更少。

3.5 基于壓縮感知的設計算法

壓縮感知（compressed sensing,CS）［54-56］是一種尋找欠定線性系統的稀疏解的技術，其數學模型與式（12）一致，但與3.3節中稀疏恢復理論不同的是，此處的約束形式為稀疏陣列的波束方向圖與目標方向圖之間的均方誤差。綜上所述，基于壓縮感知的稀疏陣列優化模型［57,58］可表示為

式中，FREF是m維矢量，表示目標方向圖的采樣數據構成的向量，即FREF=［F(u1),F(u2), …,F(um)］；Ф是m×n維觀測矩陣，可被視為圖2 網格構造而成的流形矩陣，其第i列流形矢量恰好對應于第i個網格位置di，即其形式為

w為n維權重矢量，即w=［w1,w2,…,wn］，當wi不為0時說明對應的網格位置di上有陣元，當wi為0時說明陣元不在di的位置上。對于式（22）的優化模型，傳統的CS 算法及稀疏約束優化算法（sparseness constrained optimization, SpaCO）［57,58］均可設計出符合要求的稀疏直線陣列，實驗結果說明當目標波束是由20陣元的切比雪夫陣列產生時，CS 和SpaCO 算法僅用13個陣元便可產生同樣的波束。

除此之外，與傳統的CS 算法不同，貝葉斯壓縮感知（Bayesian CS,BCS）［59,60］是一種基于最大化后驗概率的算法，該算法是貝葉斯參數學習［61-63］的延伸。詳細的說，對于一個線性系統g=Фw+n，假設n是服從高斯分布的噪聲矢量，w是確定性的信號，因此觀測數據g也服從高斯分布。貝葉斯模型說明可通過觀測數據g推斷出權重矢量w對應分布的參數，即可表示為

式中ɑ是超參數，代表w對應的方差；σ表示噪聲的標準差。對于式（24），BCS 算法可以迭代求解權重w的分布函數所對應的均值和協方差矩陣，并借助快速相關向量機［64］算法提升計算效率，實驗表明BCS算法獲得的權向量往往是極度稀疏的，因此為其用于稀疏直線陣列設計提供了理論基礎。為了可以進一步提升算法性能，文獻［65］則在BCS的基礎上將其與多任務學習相結合，提出了多任務貝葉斯壓縮感知（multitask BCS,MTBCS）算法，其把多個線性系統放在一起同時學習從而獲得稀疏度更高的權向量。

2012年，Oliver 等人首次［66-69］將BCS 用于設計稀疏陣列，但由于BCS 算法解決的是實數問題，而稀疏直線陣列的模型是復數域模型，因此將其轉換為實數表示形式，如下式所示

式中，? 代表取實部；?代表取虛部。從仿真結果可知，BCS 算法可以設計發射銳波束的稀疏陣列，但在賦形波束上，無法減少陣列的陣元數量，例如對于16陣元的余割平方波束陣列［70］，BCS算法設計的稀疏陣列需要22個陣元才能發射同樣的波束，然而MTBCS算法［66］可以設計非對稱賦形波束的稀疏線陣，對于同樣的16 陣元余割平方波束，MTBCS 算法僅使用12個陣元即可合成此余割波束。2016年，文獻［71］進一步完善了MTBCS 算法的工作，分析算法的超參數對匹配誤差和稀疏度的影響，并確定合適的參數數值設置范圍。

然而，根據式（22）和式（25）可以看出不論傳統CS 算法還是BCS 算法，稀疏陣列的優化模型均需要構造虛擬網格的流形矩陣Ф，因此設計效果受到網格間距影響，即如果網格間距不夠大，真實的陣元位置恰好落在網格中間，而算法獲得的陣元只能在網格上，這樣便造成陣元位置的誤差，如果n足夠大，精度和稀疏度有所提升，然而會造成觀測矩陣Ф的維度增加，從而導致計算復雜度顯著增加。該問題也被稱作網格失配問題。為了緩解網格失配的影響，文獻［72］提出了一種離網格貝葉斯壓縮感知算法（off-grid BCS, OGBCS），該算法在BCS 算法的基礎上使用均勻分布作為網格誤差的分布函數，并迭代估計該分布函數的參數，提升重構方向圖的匹配精度，但陣元數量仍無法進一步減少。除此之外，后續也提出了連續壓縮感知算法［73］以及前向預測正交匹配追蹤算法［74］，連續壓縮感知算法將陣元位置作為連續域的參數，并將優化問題轉化為一個半正定規劃問題，最終通過凸優化獲得陣元位置；前向預測正交匹配追蹤算法則從貪婪算法的角度解決式（22）的優化問題，提升計算效率。

4 典型算法仿真分析

為了能夠詳細對比上述五類算法的優缺點，本章分別針對最小峰值旁瓣電平及方向圖重構這兩個優化模型，采用典型算法進行仿真分析。由于圖1 表示這五類算法分別針對不同的優化模型，因此4.1 節對比針對最小峰值旁瓣電平優化模型的設計算法，并將波束方向圖的PSLL 作為算法的評價標準。4.2 節則仿真對比針對方向圖重構優化模型的設計算法，并將波束方向圖與目標方向圖之間的均方誤差（mean square error, MSE）作為算法評價標準，用符號ξ 表示

式中，F(θ)為稀疏線陣產生的波束方向圖；FREF(θ)表示目標波束方向圖。仿真平臺如下：Inter(R)Core(TM) i7-6700HQ，16GB 內 存，MatlabR2018b版本。

4.1 低旁瓣稀疏線陣設計算法分析

本節針對低旁瓣稀疏線陣優化模型，分別對僅優化位置及位置-激勵聯合優化的算法進行對比分析，且這兩類實驗均在陣列孔徑為9.744λ 且陣元數量為17 條件下進行。對于僅優化位置的仿真實驗，我們選擇MGA［2］、IPSO［13］、SaDE［15］、MDE［16］和IBA［17］這五個算法被用于對比分析。各算法對應的波束方向圖如圖5 所示，且性能結果如表1 所示。

圖5 等幅激勵的波束方向圖

對于位置-激勵聯合優化的仿真實驗，我們對比文獻［23］中的IGA、IGA-PSO及IGA-edPSO 這三個算法的仿真結果，圖6給出了對應的波束方向圖，表2給出了詳細地性能參數結果。

圖6 位置?激勵聯合優化的波束方向圖

表2 位置?激勵聯合優化的稀疏直線陣列性能參數

由上述的仿真結果可見：

（1）對于僅優化陣元位置的仿真實驗，MDEA 算法設計的稀疏直線陣列性能最好，其波束方向圖的PSLL 為-19.90dB。在位置-激勵聯合優化的設計算法中，IGA-edPSO 算法設計的稀疏直線陣列性能最好，其波束方向圖的PSLL為-25.46dB。

（2）根據表1 和表2 的結果，位置-激勵聯合優化的算法性能均比僅優化位置的算法性能好，波束方向圖的PSLL至少低4.83dB，具備更強的抗干擾能力。

（3）各稀疏直線陣列的陣元間距大于半波長，因此從理論上避免陣元間的互耦效應的影響，因此具備實用性。

4.2 方向圖重構的稀疏線陣設計算法分析

在本節我們針對方向圖重構的優化模型，將對稱的銳波束和非對稱的賦形波束作為目標波束進行仿真分析。我們首先考慮目標波束為銳波束的情況，即選擇20 陣元的Chebychev 波束作為目標波束，且其PSLL 為-30dB。之 后 我 們 采 用FDM［50］、MPM［46］、BCS［66］和SpaCO［57］這四個算法做仿真對比。這四個算法設計的稀疏直線陣列對應的波束方向圖如圖7所示。表3給出這四個算法的性能結果。

圖7 原始與重構的Chebyshev波束對比圖

表3 Chebyshev稀疏直線陣列性能參數

由圖7和表3可見：

（1）四個算法設計的稀釋直線陣列所需要的陣元數量均少于目標均勻直線陣列的陣元數量，即至少減少30%的陣元數量，并且方向圖的誤差數量級均在10-2以下，說明均實現Chebychev稀疏直線陣列設計。

（2）MPM 算法所需的陣元數量最少，并且匹配誤差最低，性能優于其他三個算法。

（3）根據表3 中的陣元間距參數，BCS 算法的陣元間距小于半波長，其設計的稀疏直線陣列在實際環境中會存在互耦效應，從而影響波束方向圖的性能。

對于非對稱的賦形波束實驗，我們選擇文獻［75］中30個陣元的均勻直線陣產生的余割平方方向圖作為目標波束，并對比MPM［46］、BCS［66］、UMPM［49］及FBMPM［47］這四個算法的仿真結果。圖8 給出了各算法仿真的波束方向圖，表4 則列出了算法的性能結果。

圖8 原始與重構的余割平方波束對比圖

表4 余割平方稀疏直線陣列性能參數

由圖8和表4可以得出結論：

（1）四種設計算法中，BCS 算法需要的陣元數量明顯多于均勻線陣的陣元數量，因此其無法設計發射余割平方波束的稀疏線陣。其他三個算法使用22個陣元即可合成誤差低于10-1的余割平方波束。

（2）當陣元數量均為22 的情況下，UMPM 算法設計的稀疏陣列的匹配誤差最小，從圖8 中也可看出UMPM 算法重構的余割平方波束更接近目標波束的形狀，性能更好。

5 展望

經過30年的發展，稀疏直線陣設計算法已經取得了輝煌的成果，然而實際應用需求使得廣大學者將研究重心從對算法性能的無限追求轉到把算法落實在工程應用中，因此如何在復雜環境中準確排布稀疏直線陣列仍是目前亟待解決的一大難題。

本文首先介紹兩類優化設計模型，并回顧了五類經典算法的發展歷史及最新進展，進而綜述了算法的原理和優缺點。基于上述內容，在稀疏線陣設計領域仍有以下三方面問題值得學者們進行深入研究：

（1）陣元在實際環境中的排布位置與理論值往往會存在一定的偏差，陣元位置的偏差會造成波束方向圖產生誤差，從而影響陣列的性能。陣元數量越多，這種偏差會進一步累積。因此，對于實際陣列結構的誤差分析及減少誤差的影響是稀疏直線陣列設計領域亟待攻克的難題。

（2）現有大部分算法都是針對陣元數量較少的情況，然而面對陣元數量大于100 的大規模稀疏直線陣列，算法的計算復雜度較高，因此稀疏直線陣列的快速高精度設計也是一個需要解決的問題。

（3）基于壓縮感知的設計算法表現出許多優良性質，例如高匹配精度，但是其自身存在網格失配問題限制了算法在稀疏度上的性能，如何有效地解決這個問題是一個需要突破的方向。