透過現象看本質

梅紅麗

《擲一擲》是人教版五年級上冊的一節綜合實踐活動課。本課以游戲形式驅動學生在觀察、猜想、試驗、驗證的過程中，綜合利用所學知識探究擲骰子點數的可能性大小，使學生經歷生活問題數學化的學習過程，幫助學生走出認知誤區，發掘現象背后的數學本質。

一、深度體驗，發掘現象背后的本質

“全喻數學”提倡數學理解的全視野。要達到理解上的全視野，就需要學生深度學習。郭元祥教授提出的“U型學習”很好地闡述了這個觀點。

1.還原與下沉

本課安排在學生學習《可能性》之后。在此之前，學生接觸的都是單一的隨機事件。如課堂導入部分，在擲一個骰子的前提下，引導學生制訂游戲規則，學生能直觀地根據“兩個隊擲出點數的個數相等，可能性大小就相等”來理解規則內涵。例如，雙方輪流擲骰子，擲到1、2、3藍隊贏，擲到4、5、6紅隊贏，兩個隊獲勝的點數都是3個。到擲兩個骰子時，學生憑借先前的活動經驗，直接根據點數和的個數得出“點數和是2、3、4、10、11、12”的可能性比“點數和是5、6、7、8、9”的可能性大，錯誤地判斷前者更有勝算。學生顯然被表面現象所迷惑。

這時師生二人分別代表紅隊、藍隊進行對峙，各擲3次。擲出的結果無論是紅隊輸，還是藍隊輸，學生都會認為這是運氣不好導致的，便有了“再多擲幾次可能會贏”的想法。此時實驗次數少，擲出的結果不足以沖擊學生的思維，所以學生的興趣點僅僅停留在游戲層面，還沒有探究背后原因的學習需求。

2.體驗與探究

游戲是學生都喜歡的，人人都想動手試一試。于是，筆者組織每個小組在2分鐘內進行游戲，擲的次數由幾次增加到20次左右，大多數小組擲出的結果都是紅隊贏。這時學生疑惑了，他們發現次數增加后的結果與自己原先的猜想并不一致，從而產生了認知沖突。

面對這樣的結果，一部分學生已經在往點數和的組合情況上思考了。由于小組實驗現象不是十分明顯，還存在偶然性（有的是藍隊贏），所以需要更大的數據來支撐。筆者乘機借助scratch軟件演示出擲1000次骰子的實驗，解決了大量重復實驗所需時間太長的問題。電腦顯示的實驗結果讓學生震驚，使他們確信“紅隊贏”不是偶然現象，產生了要進一步探究游戲背后秘密的欲望。

3.反思與上浮

前述學習中，學生已經在每次擲2個骰子的活動中感受到了“組合”的情況，少數學生已經發現了這樣的結果與點數和的組合情況有關。于是，筆者引導學生用枚舉法探究點數和的組合情況，其結果讓學生豁然開朗。學生發現每個點數和出現的組合種數不同導致了可能性大小不一樣，他們感悟到“可能性的大小并非由點數和的個數決定”，這與先前擲單個骰子的情況有明顯區別。

二、合作體驗，提高解決問題的能力

“全喻數學”提倡數學建構的全體驗，要求在實踐探究中培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。基于此，筆者設計了以下環節，引導學生深入探究。

1.師生合作，探究激趣

在總結第二輪游戲的規則后，學生提出了自己的猜想。由于有了制訂單個骰子游戲規則的基礎認識，大部分學生毫不猶豫地猜測——藍隊獲勝的可能性大。這里安排了師生合作的游戲，激發學生參與探究的積極性。

2.生生合作，初析問題

筆者組織全班學生以小組合作形式進行游戲，橫向觀察每個小組的結果，并用軟件模擬擲1000次骰子的實驗結果——紅隊贏。學生發現自己先前的猜測是錯誤的，繼而開始分析現象背后的原因，思考點數和的組成情況。

3.探究本質，解決問題

學生通過小組合作探究點數和的組成情況，他們用枚舉法有序地寫出了每個點數和的組合算式，最后得出點數和為“7”的組合情況最多，“2”和“12”的組合情況最少。同時，越靠中間的點數和組成越多，相應的可能性就越大;越靠兩邊的點數和組成越少，相應的可能性就越小（如下圖）。

數學綜合實踐活動課是培養和提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題能力的有效途徑。常規課更突出“學的過程”，綜合實踐活動課更突出“用的過程”。“用的過程”不僅是對知識學習成效的檢驗，也是對學生能力發展水平的檢驗。

三、不斷反思，培養自主學習的能力

“全喻數學”提倡數學反思的全維度。學習的過程少不了反思。葉圣陶先生曾說“教是為了不教”，要培養學生自主學習的能力，就要培養學生不斷反思的意識。

如前所述，在第一輪投擲兩個骰子之前，學生依據經驗設想并制訂了游戲規則。他們一致認為藍隊會贏，原因是點數和的個數較多，這是停留在現象上的淺層思考。在經歷了20次左右的實驗后，學生發現實驗結果與自己最初的想法相反，對自己最初的想法產生了質疑。在教師借助電腦軟件演示擲1000次骰子實驗后，學生確定自己最初的想法是錯誤的，并在教師的引導下開始回想剛剛擲骰子的過程，初步斷定矛盾的結果與點數和的組成有關。學生繼續朝著這個方向進行探究，在不斷反思中發現了游戲背后的秘密。

這節課，筆者執教了4次，在電腦軟件演示擲1000次骰子實驗后，問“紅隊獲勝的可能性大到底和什么有關？”只有幾名學生能想到點數和的組成。筆者憂慮：如果沒有學生想到這點該怎么教學？經過反思，筆者對這個環節有了進一步的認識：大部分學生對這個關鍵問題的思考深度不夠，如果此時安排一次討論，并讓學生再次拿出2個骰子擲一擲，把每次擲出的具體情況記錄下來，進一步體會點數和的組成情況，能使學生在深度體驗中深入思考，這個問題便會迎刃而解。實踐證明，這樣的改進有效。

四、理性思考，達成數學文化的浸潤

“全喻數學”提倡數學文化的全浸潤。最初筆者對數學文化的理解是片面的，把數學史等同于數學文化，其實不然。張奠宙先生認為：“數學是人們觀察世界的一種立場、觀點和方法，具有很強的人文特征。在形式化了的數學背后，有生動活潑的思維過程、樸素無華的思想方法，乃至引人深思的人生故事……文化，總是潛藏于人們的心底，并自然而然地流露在舉手投足之間、談論說笑之中。數學文化的教學也是如此，要‘潤物細無聲地融化在課堂教學的過程里。”

數學教學要“講道理”，教會學生理性地思考，這是在教學中浸潤數學文化的核心目標之一。本節課，學生經歷了從對游戲規則堅定的初步判斷到看到試驗結果后的質疑和反思，再到用枚舉法探究出點數和的各種組合后的豁然開朗——點數和的組合種數起決定作用。整個學習過程都是在用科學的態度驗證自己的想法，用理性的思考完善自己的認知。

（作者單位：武漢市青山區鋼花小學）

責任編輯? 劉佳