塵埃等離子體中擴展的ZK方程的最優系統和冪級數解

高 芳

(聊城大學 數學科學學院，山東 聊城 252059)

0 引言

李對稱分析是非線性偏微分方程求解的方法之一，其思想是通過構造不變量作為函數變換的基礎，使偏微分方程減少一個自變量得到化簡或求解。比如，文獻[1]研究了耦合可積無色散方程，在李對稱分析的基礎上，構造了一維子代數的最優系統，給出了相似約簡和群不變解，并且得到了顯示冪級數解和方程的守恒律；文獻[2]也同樣應用經典對稱方法研究了雙曲曲線流演化方程對稱性的一維最優系統，精確解和冪級數解；文獻[3]還用同樣方法討論了帶耗散性的正雙曲平均曲率流的群不變解和冪級數解以及冪級數解的收斂性。

最近，多位學者研究了塵埃等離子體和量子物理中的非線性Zakharov-Kuznetsov(ZK)型方程。文獻[4]研究了超熱電子-正電子-離子等離子體中的Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程;文獻[5]利用約化微擾法，導出了離子聲孤波的非線性ZK方程;文獻[6]研究了具有上自旋和下自旋電子相對密度效應的磁化量子等離子體中的非線性靜電孤立脈沖;文獻[7]探討了磁化塵埃等離子體中三維非線性擴展ZK動力學方程的聲孤波解。

高東寧等[8]提出了擴展的ZK方程

ut-ux+Auux+Bu2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(1)

其中A,B,C,D定義于文獻[8]中。Shrouk Weal等[9]研究了方程(1)的對稱約化、守恒律和聲波解，通過李群分析得到6個李代數生成子如下：

(2)

基于上述研究成果，擬應用(2)式和李對稱方法，研究擴展的方程(1)的最優系統、精確解和冪級數。

1 一維最優系統

令(1)(2)式中的系數A=-2，B=-1,(1)式變為

ut-ux-2uux-u2ux+Cuxxx+D(uxyy+uxzz)=0,

(3)

則(2)變為

(4)

根據(4)式和公式

[Vi,Vj]=ViVj-VjVi,

可以得到李括號表，見表1。

表1 李括號表

假設任一向量

V=l1V1+l2V2+l3V3+l4V4+l5V5+l6V6,

(5)

建立線性變換

(6)

令

(7)

(8)

(8)式的解構成變換

為了求得最優系統，需要化簡向量(6):

情況(a) 如果l1≠0,令

使得

則向量(6)等價于(l1,0,l3,0,0,0),則V等價于V1±V3,V1。

情況(b) 如果l1=0,則向量(6)等價于(0,l2,l3,l4,l5,l6),分為兩種情況：

(b-1) 如果l3≠0,令

(b-2) 如果l3=0,則向量(6)等價于(0,l2,0,l4,l5,l6),又分為兩種子情況：

(b-2-1) 如果l5≠0,令

(b-2-2) 如果l5=0,此時向量(6)等價于(0,l2,0,l4,0,l6),V等價于V2±V4±V6,V4±V6,V2±V6,V2±V4,V6,V4,V2。

因此，得到一個最優系統

{V1,V2,V3,V4,V5,V6,V1±V3,V2±V4,V2±V6,V3±V2,V3±V6,V4±V6,V5±V6,

V5±V2,V5±V2±V6,V3±V2±V6,V2±V4±V6}。

2 精確解

解特征方程得到不變量為

Y=y,Z=z,X=x-t,

不變解為u=M(X,Y,Z),代入方程(3),得到

-2MX-2MMX-M2MX+CMXXX+D(MXYY+MXZZ)=0。

(9)

對方程(9)進行李對稱分析，得到方程(9)的向量

因此，得到4個生成子

令

則不變解為

M=f(Z,h),h=X-Y,

代入(9)式得到

解特征方程得到不變量為

X=x,Y=y2+z2,T=z+yt,

不變解為u=N(X,Y,T),代入方程(3),得

yNT-NX-2NNX-N2NX+CNXXX+D(4NXY+4YNXYY+4TNXTT+(t2+1)NXTT)=0。

(10)

解特征方程得到不變量為

T=t,Z=z,X=x-y,

不變解為u=H(X,Y,Z),代入方程(3),得到

HT-HX-2HHX-H2HX+CHXXX+D(HXXX+HXZZ)=0。

(11)

方程(11)的李對稱由無窮小生成子

得到李代數生成子

令

則不變解為

H=S(T,h),h=X-Z,

代入(11)式得到

ST-Sh-2SSh-S2Sh+(C+2D)Shhh=0。

(12)

對方程(12)再次進行李對稱分析和對稱約化后得到不變解為

S=f(φ)=f(T-h)，

2f′+2ff′+f2f′-(C+2D)f?=0。

(13)

3 冪級數解

應用冪級數方法研究方程(13)冪級數解的構成如下：

(14)

其中pn是未知系數。

把(14)式代入方程(13)，得

(15)

比較方程(15)的系數，當n≥0時，

(16)

根據(16)式可以得到(14)式中所有的系數pi(i≥2),

關于(16)式，有

其中

定義冪級數

顯然

|pn|≤rn,n=0,1,2,…

因此，級數R=R(φ)是級數(14)的優級數，則R=R(φ)有正的收斂半徑。

考慮關于獨立變量φ的隱函數

因為F在(φ,R)面上是解析的，并且

F(0,r0)=0,FR′(0,r0)=1≠0,

應用隱函數定理[10]得出，在點(0,r0)的一個鄰域內，R=R(φ)是解析的，并且有正的半徑。即意味著，在平面上的點(0,r0)鄰域內，冪級數(14)收斂。

因此，方程(13)的冪級數解(14)是解析的，形如：

因此，方程(3)的顯示冪級數解為

u=u(x,y,z,t)=p0+p1(-x+y+z+t)+p2(-x+y+z+t)2+

4 結論

基于李對稱方法研究了塵埃等離子體中擴展的Zakharov-Kuznetsov方程，首先得到了方程的一維最優系統，然后解得了方程的精確解，最后應用冪級數方法得到了方程的顯示解。