兩種氣象常用坐標系中渦度和散度物理意義的比較*

吳 洪

中國氣象局氣象干部培訓學院，北京 100081

提 要： 氣象常用的渦度、水平散度(簡稱散度)是天氣系統、天氣現象演變的重要診斷物理量。依據坐標轉換的觀點，分別推導出氣象中常用的局地直角坐標系(“z”坐標系)和等壓坐標系(“p”坐標系)中渦度之間、散度之間的關系表達式。討論表明，在兩種坐標系中，渦度、散度的定義式形式完全相同，但本質有所差異，“p”坐標系中渦度不僅表示空氣微團繞天頂方向的旋轉程度，還反映大氣的斜壓性強弱。同樣，“p”坐標系中散度不僅表示空氣微團水平面積的相對變化率大小程度，也反映大氣的斜壓性強弱。只有大氣在正壓狀態的情況之下，“p”坐標系中渦度、散度才表示純粹的旋轉和輻散輻合?！皃”坐標系中渦度、散度不僅具有大氣動力特征，同時還具有大氣熱力特征。

引 言

氣象學中渦度、散度的概念源于流體力學，渦度是速度場的旋度，表征空氣微團的旋轉，是一個三維矢量；散度是速度場的輻合輻散，度量空氣微團體積相對變化(即膨脹或收縮程度)，是一個標量。因為大氣中天氣尺度及以上尺度的運動具有準水平性，表征這類運動旋轉特征的渦度的垂直分量相當重要，所以通常在氣象中將渦度的垂直分量稱為垂直渦度(以下簡稱渦度)；同樣，在氣象中一般將表征空氣微團在水平面上的(面積)膨脹收縮特征的物理量稱為水平散度(以下簡稱為散度)。渦度、散度因而成為最基本、最重要的氣象物理量。渦度方程是描述大氣渦旋特性演變規律的基本方程，渦度和渦度方程、散度被廣泛用于氣旋、臺風、暴雨、暴雪、強對流等天氣的分析、預報和理論研究中(吳國雄，2001；Wu and Hou，1991；周玉淑和冉令坤，2010；陳碧瑩和閔錦忠，2020；李娜等，2013；何光碧等，2009；黃彬等，2013；姚秀萍等，2007；蒙偉光等，2014；苗春生等，2014；閻琦等，2016；黃永明和倪允琪，2005；鄭永光等，2017；徐威等，2017；周兵等，2001；竇慧敏等，2019；王丹妮等，2020；丁治英等，2018；張小玲和程麟生，2000a；2000b；蔡其發等，2008；黃思訓等，2007)，有效地解釋大氣中天氣現象、天氣系統的特征及其演變特點。因此，對渦度、散度的深度理解是其進一步應用，以及天氣預報實際業務工作的基礎和前提。

地球是一自轉的近似球體，而空氣微團水平運動速度是相對于地球表面的，因此在笛卡爾直角坐標系中難以直接應用表征微團運動變化的標量方程，而采用正交曲線坐標之一的球坐標系則可以避免這種情況的出現，所以在氣象中一般采用球面坐標系。通過薄層近似、忽略地球曲率對大氣運動的影響，即得到局地直角坐標系，稱為“z”坐標系，其實質就是簡化了的球坐標系，仍可以視為是一種數學坐標系。然而在日常氣象業務工作中，采用的是等壓面分析，即在等壓面上分析一些氣象要素的分布及其變化。因此，在實際業務工作中應用局地直角坐標系有時并不方便，故而采用等壓面坐標系，稱為“p”坐標系。除了尺度較小的運動之外，大氣的大、中尺度運動都能滿足靜力平衡或具有靜力平衡的性質，?p/?z=-ρg<0，氣壓p是高度z的單調遞減、可微的連續函數，從而保證了在鉛直方向上p與z一一對應。靜力平衡即為“p”坐標系成立的條件。在局地直角坐標系中，表征空氣微團在天頂方向的空間位置用z表示；“p”坐標系僅只是用氣壓數值p替代空氣微團的位置z而已，是由水平數學坐標(x，y)與表征空氣微團熱力特征之一的物理量氣壓p作為鉛直坐標共同構成，這個鉛直坐標可被稱為“物理坐標”，仍采用天頂方向的反方向作為鉛直坐標的方向，這個方向矢量并不與等壓面垂直。因而，“p”坐標系不是數學坐標系，而是一種“混合坐標系”(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)。

本文利用“z”“p”坐標系的轉換關系，推導兩種坐標系中的渦度、散度之間的關系式，討論兩種坐標系中渦度之間、散度之間的聯系與差異，澄清對“p”坐標中渦度、散度的一些模糊認識，增強對基本原理透徹的理解，以更好地應用于實際業務。

1 兩種坐標系中的渦度表達式

速度旋度的表達式為ω=3×V3，旋度是一個三維矢量，V3=ui+vj+wk是空氣微團的三維速度。笛卡爾直角坐標系的漢密爾頓算子3表達式為3=i+j+k?？諝馕F的旋度在鉛直方向的表達式為

1.1 “z”坐標系的渦度

根據氣象中使用的球坐標系的特點，空氣微團的旋度表示為：

(1)

由“z”坐標系的特點可知，在該坐標系中地球的曲率項作用可完全略去。故由式(1)可進一步推導出“z”坐標系中的旋度：

(2)

式(1)和式(2)中：u，v，w分別是空氣微團在緯向、經向和鉛直方向的速度分量，(i，j，k)分別是緯向、經向和鉛直方向的單位矢量，r是地心到空氣微團的距離，a表示地球半徑，(φ，λ)分別是微團所在的緯度和經度。通過水平坐標的轉換式，“z”坐標系中旋度的表達式還可寫成：

(3)

式(3)僅只是形式上與笛卡爾直角坐標系旋度的表達式相同而已，但兩者的實質是不同的。

“z”坐標系中的渦度表達式為 (楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(4)

“z”坐標系的天頂方向k垂直于地面及與之平行的水平面(λ,φ)或(x，y)平面。由式(4)可知，“z”坐標系中的渦度是空氣微團繞天頂方向的旋轉分量，是由于水平運動的空間分布不均勻所導致的，所以在氣象中也被稱為相對渦度(簡稱渦度)。

1.2 “p”坐標系的渦度

因為“p”坐標系不是嚴格的數學坐標系，因而不能直接使用數學中場論的有關方法和算子。在“p”坐標系中利用水平運動方程組，仿“z”坐標系渦度方程式推導的過程，將表達式(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(5)

稱為“p”坐標系中的(相對)渦度，式中：u，v分別是空氣微團在“p”坐標系中緯向和經向的速度分量。雖然式(5)形式上與式(4)相同，但不是由場論理論推導而出，僅只是形式的定義式。

由“p”坐標與“z”坐標之間的基本轉換關系(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)，可得兩種坐標系中渦度關系：

(6)

式中：p表示氣壓，ζz表示“z”坐標的相對渦度，下標“z”表示“z”坐標系，下標“p”表示“p”坐標系。

式(6)右端第二項進一步可寫成：

(7)

式中：V=ui+vj是空氣微團的水平風，2表示在(x，y)平面中的漢密爾頓算子。

由式(6)、式(7)可知，“p”坐標的渦度不僅與“z”坐標的渦度有關，還與空氣微團的風垂直切變、氣壓梯度(等壓面坡度)有關。雖然等壓面坡度非常小，但它是造成空氣微團水平運動的動力。若等壓面坡度為零，即等壓面完全與(z，y)平面(水平面)平行或重合，則空氣微團相對地面呈靜止狀態，等壓面上空氣微團繞天頂方向的旋轉也不存在。當大氣為正壓大氣或自動正壓大氣，則水平風不隨氣壓變化，“p”坐標的渦度值與“z”坐標的渦度值相等。因此，“p”坐標渦度不只是等壓面上空氣微團繞天頂方向旋轉程度的度量。

若取準地轉近似，再利用熱成風關系(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

2p=fρVg×k

(8)

式中：ρ為空氣密度，T為氣溫(單位：K)，f為地轉參數，R是干空氣氣體常數。因為“p”坐標的水平坐標與“z”坐標的完全相同，則式(7)可進一步改寫為：

(9)

“p”“z”坐標系的渦度關系式(6)可寫為：

=ζz+[Vg×(-2lnT)]p·k

(10)

式中Vg為地轉風。

2 兩種坐標系中的散度表達式

速度散度的表達式為D3=3·V3，散度是一個標量。在氣象中散度通常是指水平面上的二維散度，表達式為D=2·V’，式中V’為水平運動速度。

2.1 “z”坐標系的散度

在氣象中使用的球坐標系中的速度散度表示為：

(11)

略去地球曲率項，由式(11)可進一步得到“z”坐標系中的速度散度：

(12)

式(11)和式(12)中的各種物理量同式(1)、式(2)。與渦度類似，式(12)僅只是形式上完全與笛卡爾直角坐標系速度散度的表達式一樣，但兩者的實質是不同的。

“z”坐標系中的散度表達式為(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(13)

“z”坐標系中的散度表示在平行于地面的平面(λ，φ)中，空氣微團面積的相對變化量，即輻散輻合，也是因水平運動的空間分布不均勻所導致的。

2.2 “p”坐標系的水平散度

與“p”坐標系的渦度相似，“p”坐標系中的水平散度不能由場論理論直接得出。在將“z”坐標系的連續性方程轉換為“p”坐標系的連續性方程過程中，將表達式(楊大升等，1980；伍榮生，2002；呂美仲等，2004)：

(14)

稱為“p”坐標系中的散度，u，v分別是空氣微團在“p”坐標系中緯向和經向的速度分量 。

“p”坐標系中的散度式(14)形式上與“z”坐標系的相同，但不是由場論理論推導而出，僅只是形式的定義式。

由“p”坐標與“z”坐標之間的基本轉換關系，可得兩種坐標系中散度關系：

(15)

式中：p表示氣壓，Dz表示“z”坐標的相對渦度，下標“z”表示“z”坐標系，下標“p”表示“p”坐標系。

由式(15)可知，“p”坐標的散度不僅與“z”坐標的散度有關，還與空氣微團的水平風垂直切變、等壓面坡度有關。若等壓面完全與(x，y)平面(水平面)平行或重合，則空氣微團相對地面呈靜止狀態，空氣微團在等壓面上的散度為零，而且“z”坐標系中空氣微團的水平面積相對變化也不存在。當大氣為正壓大氣或自動正壓大氣，則風不隨氣壓變化，“p”坐標的散度值與“z”坐標的散度值相等。所以，“p”坐標散度不只是等壓面上空氣微團的水平面積相對變化率的度量。

式(15)右端第二項進一步可寫成：

(16)

若取準地轉近似，再利用式(8)的熱成風關系，因為“p”坐標的水平坐標與“z”坐標的完全相同，則式(16)可寫為：

(17)

“p”“z”坐標系中散度關系式(15)進一步可寫成：

(18)

式(16)～式(18)中各物理量同式(8)～式(10)。

3 結論與討論

渦度、散度是氣象中最基本的物理量(場)，在等壓面上進行渦度、散度的分析、應用，必須建立在對渦度、散度具有非常透徹的理解基礎上。

由“p”坐標成立的條件以及“z”“p”坐標的轉換可知，在“p”坐標系中， “p”不是鉛直坐標，僅只是坐標變量而已，等壓面并非與天頂方向處處相垂直。

從第1節中可以看出，“z”坐標的渦度，是嚴格意義上的空氣微團相對地面繞天頂方向的旋轉快慢，從某種意義上來說，表示了氣旋(反氣旋)的強弱。式(5)表明，“p”坐標渦度的表達式形式上與“z”坐標的相同， 但“p”坐標的渦度不僅包含“z”坐標的渦度值，即反映空氣微團繞天頂方向的旋轉快慢，而且還表示水平風垂直切變的作用，即大氣斜壓性的作用。當大尺度水平風、溫度場滿足{[Vg×(-2T)]p·k}>0時，“p”坐標的正(負)渦度大于(小于)“z”坐標系中的；反之，當滿足{[Vg×(-2T)]p·k}<0時，“p”坐標中正(負)渦度小于(大于)“z”坐標系中的。因此，在斜壓大氣中，“p”坐標渦度可能夸大或縮小了對氣旋(反氣旋)性切變或氣旋(反氣旋)系統強度的度量。鋒區、高空急流是中高緯度大氣中的主要天氣系統之一，常引發暴雨、大風、強對流等災害性天氣的產生。鋒區(面)、急流及附近的斜壓性強，水平風速及其垂直切變都較大， “p”坐標渦度將明顯夸大對冷鋒、冷槽等系統的空氣微團旋轉程度，明顯縮小對暖鋒、暖切變等系統的空氣微團旋轉程度，可能造成低值系統出現“虛假”的鉛直旋轉。

從第2節中可以看出，“z”坐標的散度，是嚴格意義上度量空氣微團相對地面的水平面積相對變化率的物理量，式(18)表明，“p”坐標散度表達式也只是形式上與“z”坐標的相同，“p”坐標的散度不僅包含“z”坐標的散度值，即空氣微團的水平輻散輻合，而且還表示“p”坐標系中溫度平流的強弱，即大氣斜壓性的另一種影響表現。當大氣中存在暖平流-[Vg·(2T)]p>0時，“p”坐標的輻合(輻散)弱(強)于“z”坐標系中的；當存在冷平流-[Vg·(2T)]p<0時，“p”坐標的輻合(輻散)強(弱)于“z”坐標系中的。因此，在斜壓大氣中，“p”坐標散度可能夸大或縮小了對空氣微團水平輻散輻合的度量。在鋒區(面)、高空鋒區及附近大氣斜壓性強，溫度平流較大，“p”坐標散度將明顯夸大對冷鋒、冷槽等系統的輻合程度，明顯縮小對暖鋒、暖切變等系統的輻合程度。不僅如此，由“p”坐標渦度方程中的散度項進一步可知，與大氣斜壓性密切相關的溫度平流先引起輻散輻合的變化，進而造成局地的渦度變化，尤其是在鋒區(面)、高空鋒區及其附近。

綜上所述，“p”坐標系中渦度、散度不僅分別表示空氣微團自身的旋轉、輻散輻合的動力特征，同時還反映了大氣斜壓性的熱力特征。因此，在等壓面分析中，用渦度及其變化反映環流系統的強度及演變時，不僅需要關注槽、切變線等系統自身，還需注意與這些系統相伴的水平風場及溫度場分布以及這兩種場之間的配置，區別出是系統自身的強度還是大氣斜壓性的強度及它們各自的變化，以及造成這種變化的原因，才能增強對天氣系統的演變及其導致的某些天氣現象發生的深刻理解。

本文只是從理論上討論“z”“p”坐標系中渦度、散度的物理意義的差異，在實際中如何應用，乃是今后進一步研究工作的方向。

致 謝：多年來參加中國氣象局干部培訓學院及分院培訓的諸多各級預報員，他們的勤學好問促使作者的不斷思考，最終形成此文。