基于小波分析的時間序列預(yù)測

黃裕萌 朱云華 胡 堯 周欣璐

（西南石油大學(xué)，四川成都 610500）

近年來，隨著深入推進(jìn)城鄉(xiāng)一體化建設(shè)，人口逐漸向城市集中，城市人口密度不斷增大，交通擁擠問題日益尖銳。目前，大中型城市正規(guī)劃通過發(fā)展城市軌道交通，致力于緩解交通擁擠壓力問題。軌道交通與其他傳統(tǒng)交通運輸工具系統(tǒng)相比，具有運載量大、低污染和準(zhǔn)時高效等特點，受到越來越多一線城市的青睞。隨著輕軌地鐵等軌道交通的深入推行，準(zhǔn)確可靠的預(yù)測方法對于軌道交通的運營尤為重要，一方面如果地鐵客運量的預(yù)測過于保守，一些高峰時段特別擁擠，導(dǎo)致地鐵乘客交通體驗明顯下降；另一方面可能是實際客流沒有達(dá)到人們預(yù)測的預(yù)期效果，導(dǎo)致交通運營的成本上升和公共交通資源的嚴(yán)重浪費，因此需要對軌道交通客運量進(jìn)行短期預(yù)測[1]。1982年，袁振洲[2]通過分析鐵路貨運量數(shù)據(jù)，將ARIMA模型應(yīng)用到鐵路貨運量預(yù)測領(lǐng)域，并提出了新的理論依據(jù)，通過大量對比數(shù)據(jù)分析，證實ARIMA模型在鐵路貨運量預(yù)測中有令人滿意的應(yīng)用效果。常國珍等[3]采用X-11季節(jié)調(diào)整法和ARIMA模型對火車運輸量進(jìn)行長期預(yù)測，成功定量分析雪災(zāi)對鐵路客運量的直接影響。Lee[4]將ARIMA模型應(yīng)用到鐵路的短期客運量預(yù)測中，在鐵路的短期客運量預(yù)測領(lǐng)域有較好表現(xiàn)。張蕾[5]通過使用ARIMA應(yīng)用乘積法的季節(jié)周期模型對目前具有以周為統(tǒng)計周期的武廣高鐵的各個車站上車和下車旅客人數(shù)情況進(jìn)行了周期預(yù)測。蔡昌俊和姚恩建等[6]用乘積ARIMA進(jìn)出站客流預(yù)測模型構(gòu)建了客運量的相關(guān)性和周期性之間的乘積關(guān)系，該分析模型的數(shù)學(xué)預(yù)測結(jié)果精度相對較好且具有理論普遍性。求森[7]將小波降噪和時間序列分析結(jié)合，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測誤差，在北京信號全網(wǎng)絡(luò)的客運量中取得了良好的降噪和預(yù)測效果。

時間序列預(yù)測法由于突出時間序列暫不考慮周圍環(huán)境成分及其他因素干擾，在相同情況下存在著較大誤差，若此時周圍環(huán)境有稍大變動，會產(chǎn)生較大偏差。小波分析能夠?qū)r間序列進(jìn)行多尺度地分析細(xì)化，使時間運動序列的基本特征信息得到精確保留。本文主要通過結(jié)合小波分析與時間序列分析，建立基于城市軌道交通客運量的預(yù)測模型，達(dá)到提升預(yù)測方法精度的目的，通過成都地鐵交通一號線的交通客運量預(yù)測數(shù)據(jù)對上文所述預(yù)測方法模型進(jìn)行分析驗證。

1 小波分解與小波重構(gòu)理論

本文運用小波分解技術(shù)，為了能夠清晰表達(dá)，將原始小波信號分解為低頻系數(shù)（信號趨勢）以及高頻系數(shù)（信號細(xì)節(jié)），如圖1所示。

圖1 小波分解

cA1和cD1是小波分解后的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，cA2、cD2是cA1小波分解后獲得低頻和高頻兩種系數(shù)結(jié)，按照規(guī)律，經(jīng)過2尺度小波分解后，依次獲得趨勢部分cA3以及細(xì)節(jié)部分cD1、cD2、cD3，依次設(shè)定時間序列模型，通過每層的小波預(yù)估值進(jìn)行再次組合，獲得模型的各層預(yù)估值公式：

2 時間序列

時間序列是同一現(xiàn)象在不同時間的觀察值排列而成的序列。自回歸模型離不開時間序列在時間間隔為k=t-s的隨機變量Xt與Xt-k之間的相關(guān)性，相關(guān)性采用自協(xié)方差γk和自相關(guān)函數(shù)ρk描述，p階自回歸模型AR(n)為：

選擇AIC準(zhǔn)則和SBC準(zhǔn)則作為模型選擇的標(biāo)準(zhǔn)，實現(xiàn)數(shù)據(jù)擬合精度和模型復(fù)雜度間的平衡，對模型進(jìn)行擬合預(yù)測。

3 基于小波分析的客流時間序列預(yù)測模型

本文的數(shù)據(jù)處理流程可以分為三個階段，即小波分解、分解序列的預(yù)測和分解預(yù)測序列的重組。

（1）小波分解。

得到時間序列在各個變換域中的小波分解序列和最后的尺度分解序列。

（2）分解序列的預(yù)測。

利用時間序列模型進(jìn)行建模，預(yù)測各個變換域的小波分解序列。

（3）分解預(yù)測序列的重組。

利用小波重建技術(shù)將各個變換域中的預(yù)測序列合并，產(chǎn)生系統(tǒng)短期時間序列的預(yù)測。

選取2019年2月22日～9月9日成都地鐵一號線客運量數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，如圖2所示。

圖2 地鐵客運量時間序列

采用Daubechies9小波對地鐵時間序列進(jìn)行三層變換，得到的三層分解小波，如圖3所示。

圖3 db9小波三層分解

由圖3可知，低頻的小波保留了原始序列的基本信息，高頻的小波保留了更多的細(xì)節(jié)信息。

基于db9小波對原始時間序列進(jìn)行分解，得到低頻系數(shù)cA2以及高頻系數(shù)cD1、cD2，分別建立一個時間序列分析模型，如圖4所示。

圖4 低頻系數(shù)和高頻系數(shù)

選取第二層高頻系數(shù)cA2為例，建立時間序列分析模型并進(jìn)行短期預(yù)測。

判斷原始序列的平穩(wěn)性，采用ADF準(zhǔn)則和KPSS準(zhǔn)則進(jìn)行綜合判斷，都不滿足說明原子序列不滿足關(guān)于平穩(wěn)性的判定要求。對原始時間序列進(jìn)行1階差分，再次判斷得到的時間序列，序列經(jīng)過處理后滿足平穩(wěn)性要求。對時間序列進(jìn)行自相關(guān)和偏相關(guān)分析，如圖5所示。

圖5 自相關(guān)和偏相關(guān)

由圖5可知，在橫線（2倍標(biāo)準(zhǔn)誤差范圍）內(nèi)趨近于0，自相關(guān)圖處于拖尾的狀態(tài)，偏相關(guān)圖在大約第三階就已經(jīng)開始截尾，初步擬定用IAR（1，2）模型，為了使模型的擬合更準(zhǔn)確，采用AIC準(zhǔn)則和SBC準(zhǔn)則，對模型的擬合程度進(jìn)行判斷。

AIC和SBC判斷階數(shù)如表1所示。

表1 AIC和SBC判斷階數(shù)

因此采用IAR（1，4）模型對時間序列進(jìn)行擬合比較準(zhǔn)確，通過最小二乘擬合，到的時間序列分析模型：

對方程進(jìn)行最小二乘擬合，得到模型的預(yù)測，其余兩段亦如此，經(jīng)檢驗，所有的時間序列模型的殘差，都滿足正態(tài)分布。

系數(shù)時間序列預(yù)測如圖6所示。

圖6 系數(shù)時間序列的預(yù)測

在此基礎(chǔ)上，采用小波重構(gòu)的方法對時間序列進(jìn)行重構(gòu)，結(jié)果如圖7所示。

圖7 預(yù)測數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)對比

由對比圖可知，預(yù)測客運量與原始客運量的走向大致相同。由于客流數(shù)據(jù)受到許多不確定性因素的影響，預(yù)測的客流數(shù)據(jù)無法和真實的客流數(shù)據(jù)完全一致，需要誤差分析，分析預(yù)測后的客流數(shù)據(jù)是否在允許的誤差范圍內(nèi)，本文采用絕對誤差分析的方法。

將客運量用經(jīng)典的時間序列進(jìn)行分析，基于小波分析的時間序列的預(yù)測值比經(jīng)典時間序列分析得到的更準(zhǔn)確。

誤差分析如表2所示，兩種預(yù)測方法的比較如表3所示。

表2 相對誤差和絕對誤差

表3 兩種預(yù)測方法的比較 單位：%

4 結(jié)語

本文結(jié)合離散一維db9小波分析和時間序列分析，提出了基于小波分解的時間序列預(yù)測算法進(jìn)行客流預(yù)測。應(yīng)用該預(yù)測算法可以大致掌握乘客流動的狀態(tài)，合理地分配運輸能力，保證乘客安全和資源的高效利用。采用基于小波分解的ARIMA時間序列客流預(yù)測方法，預(yù)測地鐵客流的效果較好，但由于地鐵客流的隨機性和復(fù)雜性比較高，為了保證預(yù)測的準(zhǔn)確性，還需要考慮氣候、節(jié)日等因素，有效性亟待進(jìn)一步驗證。