基于波前整形的光經過無序介質聚焦的方法研究

劉愷欣，王宇航，王梓豪，辛 煜

（南京理工大學光學工程系，江蘇 南京 210094）

光經過無序介質的聚焦以及成像一直是光學領域的熱點和亟待解決的難題。使光波發生多次散射的介質為無序介質，無序介質在人們生活中普遍存在，小到常見的牛奶、墻面、紙張、油漆，大到生物組織、大氣、海洋、亞波長顆粒等都是無序介質。與在確定性均勻介質中的傳播不同，光波在無序介質中的自由傳播會受到介質內部隨機分布的顆粒的阻礙，從而發生多次散射，導致光的波矢方向和相位發生隨機改變，最終使出射光場形成一系列散斑。

光波經過無序介質后形成的散斑場看似失去了入射光場的穩定分布，但其實光的相干性并沒有被破壞，換言之，無序介質只是對入射光進行了編碼，入射光所攜帶的信息并沒有丟失。

如果能找到一種方法，對出射光場進行“譯碼”，即克服無序介質對入射光的多次散射、實現光經過無序介質的聚焦，便能獲得入射光場所攜帶的信息，那么這將會在海洋探測、遙感、生物醫學成像、腫瘤的診斷和探測等多個領域產生重大影響，因此研究光經過無序介質的聚焦問題具有非常大的價值和意義。

為了克服無序介質對光的多次散射帶來的影響，實現光通過無序介質的聚焦，人們做出了各種努力。近年來，傳輸矩陣法、相位共軛法和波前整形法三種光場調控方法相繼被提出和研究。在無序介質內部存在于入射光場無關的通道，因此可以用一個傳輸矩陣來描述某種特定的無序介質內光的傳輸特性。2010 年，GIGAN 等人利用SLM（空間光調制器）和CCD 首次在實驗上測得了某無序介質樣品的傳輸矩陣。相位共軛法則是利用相位共軛光的全息記錄，再現入射光場信息。

波前整形法是不需要實際測量傳輸矩陣的光場調控方法，以出射光場的光強信息作為反饋信號，利用SLM 迭代優化入射波前的相位信息，直至在出射光場的目標點聚焦。本文主要介紹兩種光經過無序介質聚焦的波前整形方法，分別是順序優化方法和分區方法，針對這兩種方法都設計了仿真實驗，得到了分別用兩種方法實現的聚焦光場，證明了這個方法的有效性。接下來對兩種方法的聚焦效果進行了分析，并進行了多點聚焦和SLM 可調制區域數量變化的嘗試。

1 順序優化方法

順序優化方法指逐個像素地調制SLM（空間光調制器）的相位信息，使入射光的相位滿足某種特定需要，從而在出射光場的特定一點實現聚焦。

假設入射到SLM（空間光調制器）上第n個區域光波的復振幅可寫成經無序介質后出射到CCD探測器上第m個探測區域的復振幅記為其中SLM 所利用的像素為N個，CCD 探測器所用的像素為M個。順序優化方法的基于出射光場是來源于SLM（空間光調制器）的N個像素調制的入射光經無序介質散射后得到的線性組合，可被描述成如下形式：

式（1）中：An和分別為來自于第n個像素的光束的振幅和相位，無序介質的散射作用則用未測量的透射傳輸矩陣元素tmn 替代。

順序優化方法的優化思想如圖1 所示，順序優化方法的思路是：用CCD 探測出射光場的光強為反饋信號，控制SLM（空間光調制器）上單一像素的相位從0～2π變化，當CCD接收到的目標點的光強最大時保持該像素此時相位不變，并將此時的相位存儲為該像素最優相位值。如此循環，直至找到每個像素的最優相位，使所有像素保持其最優相位，最終便可實現出射光場在目標點的聚焦。

圖1 順序優化方法的優化思想

根據順序優化方法的思路，利用計算機軟件MATLAB設計了仿真實驗，利用MATLAB 生成一個隨機矩陣t來模擬傳輸矩陣，利用MATLAB 計算得到該隨機矩陣t×t′如圖2 所示，說明該隨機矩陣中的每個列向量之間都不具有相關性，符合傳輸矩陣的特點。最終仿真得到了如圖3 所示的聚焦結果。相比于圖3（a）所顯示的優化前的出射的散斑場，從圖3（c）可以看出利用順序優化方法可得到非常好的聚焦結果。

圖2 隨機矩陣各列向量之間不具有相關性

圖3 順序優化方法的數值仿真

2 分區優化方法

采用順序優化方法需要遍歷每個像素，計算量極大，花費時間長，效率較低。基于傳輸矩陣的通道信息，本文主要介紹一種效率更高的波前整形方法。

與透射傳輸矩陣類似，可以用一個反射傳輸矩陣r來代替光經過無序介質的反射過程，那么反射光與入射光的關系可表示成如下形式：

對傳輸矩陣做奇異值分解，即可得到其反射本征通道：

式（3）中：U、V都為酉矩陣，分別對應于入射光場和反射光場的本征通道；Σ為對角陣，對角元素σi表示對應本征通道的振幅反射率。

對于σi，U和V的第i個列向量，Vi和Ui為對應的入射和出射本征通道。自由入射的光波是入射本征通道的線性疊加，則有：

式（4）中：N為本征通道的總數；ci是由Ein和vi的乘積決定的標量系數。從統計角度看，入射波由所有特征通道組成，使得ci的絕對平方的集合的平均值無論如何都是相同的，與i無關。

將入射光場隨機分為2 個部分，如圖4 所示，分別為第1 部分和第2 部分。

圖4 入射光場的分區

入射光場的光波由來自2 個部分的光波線性疊加而成的，若第2 部分的光波相位偏移了，那么此時反射光場和其總強度可分別表示成如下形式：

由于每個本征通道所貢獻的強度是具有相同的周期為2π的Δφ的正弦函數，所以總強度也是Δφ的正弦函數，因此，可以將總強度寫成如下形式：

式（5）中：φ1，2是由第1 部分和第2 部分的選區決定的相位，將Δφ取值為-φ1，2，可以使總光強為最大值。入射光場分區迭代過程如圖5 所示，重復選擇分區，總反射率和光強會隨著迭代次數的增多而變強，從而實現聚焦。

圖5 入射光場分區迭代過程示意圖

根據分區優化方法的思想，在計算機上利用MATLAB編寫程序仿真。首先對入射光場進行分區，對某一分區進行全場相移，保持另一分區的信息不變。采用四步相移的方法，即 相 移 步 長 為π/2 ， 記 錄 4 次 相 移 的 光 強求取式（5）中的系數A、B、φ12，。最后令Δφ=-φ1，2，此時就完成了一次優化。重復上述迭代過程，隨著迭代次數的增加，在一定次數范圍內光強會逐步增強。

運行程序得到迭代1 次和12 000 次后的聚焦圖樣，如圖6 所示。

圖6 分區算法迭代優化波前后出射光場的對比圖

從圖6 可以看出，隨著迭代次數的增多，目標點的光強顯著增強，聚焦效果顯著提升。目標點的光強隨迭代次數變化的曲線如圖7 所示。從圖7 中可以看出一開始分區算法對于提高目標點光強非常有效，但隨著迭代次數的增加，光強逐漸達到飽和。

圖7 目標點光強隨迭代次數的變化

3 仿真結果討論與分析

3.1 兩種方法聚焦效果對比

兩種方法得到的模擬出射光場對比如圖8 所示。

圖8 兩種方法得到的模擬出射光場對比圖

采用順序優化方法和分區優化方法仿真得到的出射光場都達到了良好的聚焦效果，將兩種方法最終得到的最好的聚焦效果進行對比，如圖9 所示。可以看出，采用分區優化方法得到的出射光場目標點的光強與采用順序優化算法所得到的目標點的光強近似一致，分區優化得到的聚焦點光強略微高一些，即用分區優化方法波前整形得到的出射光場聚焦效果相比于順序優化方法略好，但是分區優化方法伴隨著的是優化次數增加，優化時間延長，為使目標點光強略微增強用幾倍于順序優化的時間顯然得不償失。

圖9 多點聚焦效果圖

3.2 多點聚焦的嘗試

除了單點聚焦，也可以實現偏離光軸中心的多點聚焦調制。在進行數值仿真時，對于多目標的規劃問題，所采用的評價方法為理想點法，理想點法中的最優目標是設想的最優的解，評價最好的對象與最優目標的距離最近。在多點聚焦中，可以先設置一個極高的光強值I*為最優目標，n代表S L M 上各個像素的位置， 則理想點法即是令為評價指標。

從圖9 中可以看出，隨著焦點數目增多，每個焦點的亮度都有所降低，這是因為入射總能量不變，而無序介質優化能量分布的能力是有限的，分到每個焦點的能量隨焦點數目增多而減小，肉眼觀測直接表現為光強降低。

3.3 SLM 可調制單元數量的討論

最后利用計算機軟件MATLAB對SLM上可調制單元數量進行了合并和劃分，研究了其可調制單元數量num 對首先達到穩定、飽和光強的迭代次數的影響，如圖10 所示，從圖10（b）可以看出，隨著可調制單元數量的逐步增多，達到穩定、飽和光強所需的迭代次數也在增加，即所需的迭代時間較長，但最后得到的目標點光強會顯著升高，即聚焦效果更好，這要求在迭代時間和聚焦效果中要進行折中考慮。

圖10 不同像素數量下目標點光強隨迭代次數的變化

4 結束語

本文介紹了兩種通過波前整形使光經過無序介質聚焦的算法——順序優化法和分區算法，對這兩種算法的思想進行了介紹，并就其原理、計算機仿真設計過程以及仿真結果進行了分析。在此基礎上進行了多點聚焦以及SLM 上可調制單元數量變化的嘗試與分析。