基于反饋變分模態(tài)分解和巴氏距離的信號去噪方法

江海，莫躍，何其愚

(1.中國南方電網(wǎng)超高壓輸電公司天生橋局，貴州 興義 562400；(2.云南新天地人工環(huán)境工程有限公司，云南 昆明 650000)

近年來，水系統(tǒng)管道因受自然環(huán)境因素以及人為因素影響導(dǎo)致泄漏事故頻發(fā)，其不僅造成水資源的浪費及經(jīng)濟損失，還帶來極大的消防安全隱患[1-4]。因此，管道泄漏監(jiān)測逐漸成為研究熱門。至今為止，管道泄漏監(jiān)測方法，主要有負(fù)壓波法、次聲波法、壓力法等[5-8]。管道泄露監(jiān)測過程中，采集的信號中不僅包含著泄露聲信號，而且存在著很多的環(huán)境噪聲，導(dǎo)致泄漏信號難以被提取識別從而造成管道泄漏監(jiān)測系統(tǒng)誤報警、漏報警，影響系統(tǒng)監(jiān)測以及定位性能[9-11]，所以為了確保泄露檢測與定位的可靠性與準(zhǔn)確性，必須對采集的信號進(jìn)行去噪處理。因此，對采集信號進(jìn)行去噪處理的研究具有重要意義。

傳統(tǒng)的信號去噪方法通過設(shè)計濾波器將某一特定頻帶寬度的噪聲信號濾除以達(dá)到去噪目的，而當(dāng)噪聲信號為瞬態(tài)信號或者非平穩(wěn)信號時，其頻譜通常較寬，該方法難以處理[12]。小波閾值去噪方法可以將采集信號轉(zhuǎn)換到小波域，通過設(shè)定相應(yīng)的閾值將泄露信號以及噪聲信號分離，但小波基函數(shù)以及小波閾值的選取通常較為困難[13-14]。部分學(xué)者基于信號局部的特征時間尺度構(gòu)建一種自適應(yīng)分解方法-經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解法(Empirical Mode Decomposition，EMD)，該方法無須設(shè)置基函數(shù)以及閾值即可對信號按照不同頻率進(jìn)行分解[15-16]。2014年，Dragomiretskiy等學(xué)者提出變分模態(tài)分解方法(Variational Mode Decomposition，VMD)，該方法有效解決了EMD方法分解導(dǎo)致的端點效應(yīng)以及頻譜混疊問題[17-19]。目前，該方法被廣泛應(yīng)用于多個研究領(lǐng)域，如醫(yī)學(xué)圖像處理、機械故障診斷等[20-25]。

但是，VMD分解只是將原始信號分解為多個具有不同中心頻率的固有模態(tài)分量和殘余分量，而如何從VMD分解所得多個固有模態(tài)分量中挑選有效分量重構(gòu)原始信號達(dá)到去噪目的仍是一個難題[26]。此外，VMD分解效果受人為設(shè)定分解層數(shù)K值影響較大。單獨將VMD算法用作降噪，難度較大，且降噪結(jié)果受人為因素影響，需對VMD算法進(jìn)行改進(jìn)。

因此，本文提出一種基于反饋機制的VMD與巴氏距離(Bhattacharyya Distance，BD)的聯(lián)合去噪方法(VMDF-BD)，該方法無須預(yù)先設(shè)定K值即可完成對有效分量的篩選。

為驗證本文所提方法有效性，采用VMDF-BD方法對仿真信號進(jìn)行了去噪處理，并分別與多種聯(lián)合去噪算法進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，該方法去噪效果優(yōu)于其他四種聯(lián)合去噪算法，即VMD-SC、VMD-HD、EMD-SC、EMD-HD。此外，利用該方法對實際采集管道信號進(jìn)行去噪處理，實驗結(jié)果表明，該方法能夠有效去除信號中存在的噪聲。

1 反饋變分模態(tài)分解與巴氏距離聯(lián)合去噪方法

1.1 變分模態(tài)分解

VMD是一種自適應(yīng)、完全非遞歸的模態(tài)變分和信號處理的方法，是一種新的可變尺度的信號分解方法，其能將實值信號分解為K個具有特定稀疏特性的模態(tài)分量。該方法具有可以確定模態(tài)分解個數(shù)的優(yōu)點，其自適應(yīng)性表現(xiàn)在根據(jù)實際情況確定所給序列的模態(tài)分解個數(shù)，隨后的搜索和求解過程中可以自適應(yīng)地匹配每種模態(tài)的最佳中心頻率和有限帶寬，并且可以實現(xiàn)固有模態(tài)分量(IMF)的有效分離、信號的頻域劃分、進(jìn)而得到給定信號的有效分解成分，最終獲得變分問題的最優(yōu)解。其本質(zhì)是通過迭代求解所構(gòu)建約束變分問題的最優(yōu)解從而得到估計帶寬之和最小的K個模態(tài)分量，核心思想是構(gòu)建和求解變分問題。其具體的分解步驟如下:

首先，通過希爾伯特變換求解各個模態(tài)分量的單邊頻譜，如式(1)

其中，*為卷積運算，δ(t)為單位脈沖函數(shù)，uk(t)為第k個模態(tài)分量函數(shù)，k＝1，2，…，K。之后通過引入各模態(tài)的估計中心頻率指數(shù)項，將各模態(tài)頻譜分別調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶上，如式(2)

其中，·為乘法運算，ωk為第k個模態(tài)分量的中心頻率。然后，通過求式(2)的梯度平方L2范數(shù)，即求得各個模態(tài)分量的估計帶寬，如式(3)

其中，?t為對函數(shù)求時間t的導(dǎo)數(shù)。最后，加入約束條件，則該約束變分問題最終表示為

其中，s為原始信號。為較好求解該約束變分問題，引入二次懲罰因子α以及拉格朗日乘法算子λ(t)將其轉(zhuǎn)換為無約束變分問題，則式(4)可表示為

最終，通過交替方向乘子算法(Alternate Direction Method of Multipliers，ADMM)求解式(5)，得到各參量迭代更新公式分別如式(6)(7)和(8)所示

其中，m為迭代次數(shù)，τ為更新參數(shù)，其控制拉格朗日乘法算子的收斂速度，迭代終止條件為，ε為收斂精度。

它克服了EMD方法存在端點效應(yīng)和模態(tài)分量混疊的問題，并且具有更堅實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，可以降低復(fù)雜度高和非線性強的時間序列非平穩(wěn)性，分解獲得包含多個不同頻率尺度且相對平穩(wěn)的子序列，適用于非平穩(wěn)性的序列。

1.2 巴氏距離

巴氏距離主要用于統(tǒng)計兩概率分布的相似性，其結(jié)果與巴氏系數(shù)密切相關(guān)。巴氏距離的具體計算方法如下:假設(shè)在同一定義域x內(nèi)，存在兩個離散概率分布分別為p和q，則巴氏距離為

其中，BD(p，q)為Bhattacharyya系數(shù)，其主要用于度量兩統(tǒng)計樣本之間的重疊量，表示為

本文中，由于采集信號及其VMD分解所得各模態(tài)分量的概率分布未知，因此在計算各分量的巴氏距離之前，需要對各個分量進(jìn)行密度估計，根據(jù)密度估計的結(jié)果再求巴氏距離。

1.3 VMDF-BD算法

本文基于反饋機制的VMD與巴氏距離構(gòu)建的聯(lián)合去噪方法，首先將采集信號作為輸入信號進(jìn)行2層VMD得到兩個模態(tài)分量，之后分別計算兩模態(tài)分量與采集信號之間的距離，將距離較小的作為較純凈的模態(tài)分量反饋回輸入端從輸入信號中減去作為新的輸入信號，如此迭代直至信號完全分解，最后，利用歷次迭代所得較純凈模態(tài)分量相加重構(gòu)原始采集信號，達(dá)到去噪目的。其主要步驟如下:

第一步，初始化分解層數(shù)，也即VMD分解所得模態(tài)數(shù)K＝2，初始化迭代次數(shù)kk＝1；初始化輸入信號為采集信號，Sinkk＝S。

第二步，根據(jù)式(6)、式(7)、式(8)對輸入信號Sinkk進(jìn)行VMD，得到兩模態(tài)分量ukk1，ukk2。

第三步，根據(jù)式(9)、式(10)分別計算兩模態(tài)分量與采集信號之間的巴氏距離，得到BDkk1，BDkk2，取二者中最小距離對應(yīng)模態(tài)分量作為較純凈模態(tài)分量，即upurekk＝ukk1，i＝argmin(BDkk1，BDkk2)，其中argmin()表示取最小值的索引。

第四步，判斷當(dāng)前采集信號是否完全分解，其判別條件為:當(dāng)當(dāng)前分解所得兩模態(tài)分量對應(yīng)巴氏距離的最小值仍大于前次分解所得兩模態(tài)分量對應(yīng)巴氏距離的最大值時，則該信號完全分解，即min(BDkk1，BDkk2)＞max(BDkk-11，BDkk-12)。若信號完全分解，則停止迭代，并利用歷次迭代所得較純凈模態(tài)分量重構(gòu)原始信號，即，；否則，轉(zhuǎn)第五步；

第五步，將純凈模態(tài)分量返回輸入端并從原輸入信號中減去，得新的輸入信號，即，Sinkk＋1＝Sinkkupurekk，并重復(fù)第2步～第4步。

2 算法仿真及實驗分析

為驗證本文所提方法的去噪效果以及有效性，本文將對VMDF-BD算法進(jìn)行驗證。采用用仿真信號中添加白噪聲，用降噪方法對該疊加信號進(jìn)行降噪，并從多角度對比其降噪結(jié)果。從而達(dá)到驗證VMDF-BD算法降噪效果是否可靠的目的。

本文在正弦信號中加入已知的高斯白噪聲模擬管道采集信號。仿真實驗運行環(huán)境為MATLAB R2020b，仿真實驗所用正弦信號為x(t)＝sin(2π×13×t)＋cos(2π×96×t)＋cos(2π×145×t)，該仿真信號中所疊加的頻率分別為13Hz、96Hz、145Hz，這三種頻率也是判斷降噪效果的標(biāo)準(zhǔn)。采樣頻率為1 kHz，采樣點數(shù)為1200點。

2.1 K值對分解性能的影響

針對上述的仿真信號進(jìn)行VMD分解，根據(jù)分解不同分解層數(shù)的中心頻率來確定最優(yōu)分解層數(shù)。

仿真實驗正弦信號由上述公式仿真而成，分別由頻率為13Hz、96Hz、145Hz的正弦信號疊加。本實驗采用手動確定k值的大小來找出最佳得分解層數(shù)。采用不同K值對仿真信號進(jìn)行VMD，然后對分解所得的模態(tài)分量求其中心頻率，所得各模態(tài)分量對應(yīng)中心頻率如下表所示。

表1 不同K值VMD所得各模態(tài)分量中心頻率Tab.1 Center frequencies of modal components obtained by VMD with different K values

由表1可知，當(dāng)K＝2，即分解層數(shù)小于仿真信號所含不同頻率成分?jǐn)?shù)時，可以看到其只分解出中心頻率為13Hz附近的分量，高頻分量并不存在，屬于欠分解；當(dāng)k＝3，可以看到其中心頻率包括12.99999，95.9918，145.0022，根據(jù)上述仿真可知，該正玄信號的組成頻率為13 Hz、96Hz、145Hz，因此可只k＝3的分解尺度合適；當(dāng)K＝4以及K＝5，即分解層數(shù)大于仿真信號所含不同頻率成分?jǐn)?shù)，可以看到不僅分解得到了與仿真信號頻率成分相近的模態(tài)分量，而且還存在中心頻率為149.4952Hz、66.4038Hz、149.7513Hz的成分，屬于過分解。由此可知，VMD分解性能受K值影響較大。因此對于如何確定分解層數(shù)成為影響去噪效果的重要因素。

2.2 vmdf-bd迭代終止條件

據(jù)此，本文提出VMDF-BD方法，該方法是基于反饋機制的VMD與巴氏距離構(gòu)建的聯(lián)合去噪方法，該方法的反饋機制能夠較好地迭代終止判斷從而能夠較好地達(dá)到去噪的目的。

迭代何時終止是去噪是否有效果的重要影響因素，因此為驗證本文所提VMDF-BD方法所設(shè)定迭代終止條件成立，對上述仿真實驗正弦信號應(yīng)用VMDF-BD方法進(jìn)行分解，根據(jù)其分解后的結(jié)果求其各次迭代后所得分量中心頻率及巴氏距離如表2所示。

表2 歷次迭代各模態(tài)分量中心頻率以及巴氏距離Tab.2 Central frequency and pasteurization distance of each modal component in previous iterations

由表2可知，當(dāng)?shù)恋谌螘r，本次分解所得兩模態(tài)分量對應(yīng)巴氏距離分別為0.0824、1.4973，其最小值依然比上次分解所得距離最大值0.0817大，因此根據(jù)本文所設(shè)迭代終止條件，當(dāng)前信號已經(jīng)完全分解。而從中心頻率的變化上看，第三次迭代產(chǎn)生的新分量的中心頻率與正弦信號中所含三頻率成分均無關(guān)，根據(jù)1.3中的分解完成判別方法，說明當(dāng)前該信號已經(jīng)完全分解，其分解所得各分量為歷次迭代分解所得較純凈模態(tài)分量。因此，VMDF-BD方法所設(shè)計迭代終止條件成立。

2.3 去噪性能對比分析

對于信號處理來說，去噪效果往往會在很大程度上影響結(jié)果的判斷，本實驗的最終目的也是找到較合適的去噪方法。因此本文在上述仿真實驗正弦信號中加入snr＝5dB的高斯白噪聲，分別采用VMDF-BD，VMD-SC，EMD-SC，VMD-HD，EMDHD對其進(jìn)行去噪處理。為保證實驗的科學(xué)性，VMD-SC以及VMD-HD中VMD分解層數(shù)K值設(shè)定與EMD-HD以及EMD-SC自適應(yīng)分解層數(shù)一致，均為9層。將加入白噪聲的信號采用上述幾種方法去噪之后重構(gòu)，各方法所得重構(gòu)信號與原始信號時域?qū)Ρ葓D如圖1所示，頻域?qū)Ρ葓D如圖2所示。

圖1 時域?qū)Ρ葓DFig.1 Time domain comparison diagram

從圖1可知，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪結(jié)果在時域方向即與原始信號相去甚遠(yuǎn)，在去掉噪聲信號的同時也去掉了較多的有效信號，雖然信號較為平滑，但同時也導(dǎo)致信號嚴(yán)重失真。VMDSC以及EMD-SC與原始信號波形基本一致，但其內(nèi)仍包含有較多噪聲信號。而本文提出的VMDFBD所得去噪信號與原始信號相比，波形基本一致，且更平滑，去噪效果顯著。為了更清楚的表征各種方法的去噪效果，本實驗也在頻域方向做了對比。

從圖2中可知，與時域?qū)Ρ葓D相似，VMD-HD以及EMD-HD所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，均缺少了兩個頻率較高的分量，即這兩種去噪方法不可靠。VMD-SC所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，其去除了部分分布在低頻的噪聲，高頻噪聲并不能很好的去除，而EMD-SC所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，基本一致，去噪效果不明顯。本文所提VMDF-BD所得去噪后信號頻譜與原始信號頻譜相比，在原有頻率分量處基本保持一致，在其余處頻譜幅值趨于0，很好地達(dá)到了去噪的要求，從頻域上觀察，其去噪效果顯著。

圖2 頻域?qū)Ρ葓DFig.2 frequency domain comparison diagram

去噪效果的好壞一般采用均方根誤差RMSE和信噪比SNR兩個指標(biāo)，RMSE是預(yù)測值與真實值偏差的平方與觀測次數(shù)n比值的平方根，一般情況其值越小越好，SNR指有用信號的功率和噪聲信號功率的比值，其比值越大，說明去噪效果越好。因此本實驗為進(jìn)一步說明去噪性能，引入去噪性能指標(biāo)對各去噪算法進(jìn)行比對，即RMSE和SNR，分別定義為

其中，s(t)為原始信號，s′(t)為去噪后信號，T為信號總長度。則各去噪方法SNR以及RMSE計算結(jié)果，如表3所示。

表3 各去噪方法SNR以及RMSETab.3 SNR and RMSE of each denoising method

一般來說，信噪比越大，均方根誤差越小，則去噪效果越好。從表3可知看出:RMSE指標(biāo)的排序為:VMDF-BD＜VMD-SC＜EMD-SC＜VMD-HD＜EMD-HD；SNR指標(biāo)的排序為:VMDF-BD＞VMD-SC＞EMD-SC＞VMD-HD＞EMD-HD。本文所提方法VMDF-BD的SNR最大，RMSE最小。VMD-SC與EMD-SC的結(jié)果次之，去噪效果相似，均優(yōu)于VMDHD與EMD-HD的去噪效果。與上述時域和頻域的判斷結(jié)果一致，在上述五種去噪算法中，本文所提VMDF-BD方法去噪效果最好。

2.4 VMDF-BD管道采集信號測試

將上述方法用于實際采集的信號分析。本次實驗裝置如圖3所示，主要包括三個部分:次聲波傳感器，數(shù)據(jù)采集及傳輸模塊，PC端。

傳感器安裝于管道之上采集信號并通過同軸電纜傳輸給數(shù)據(jù)采集與傳輸模塊，并經(jīng)其轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號后經(jīng)雙絞線發(fā)送至PC機，在PC機上可進(jìn)行信號分析，從而進(jìn)行管道泄露判斷及泄露點定位。

圖3 實驗裝置示意圖Fig.3 Schematic diagram of experimental device

本實驗的實際實驗參數(shù)為:管道為約200米長型號為DN20的PVC直水管道，管內(nèi)水壓為0.1Mpa。數(shù)據(jù)采集與傳輸模塊內(nèi)采樣頻率為500Hz，采樣精度為24 bit。

通過閥門開度控制管道有無泄漏。為加快信號處理的速度，從采集信號中截取1200點進(jìn)行分析。對該信號的分析包括時域和頻域兩個方向進(jìn)行去噪前后對比。本實驗所采用的去噪方法即上述的VMDF-BD法。原始信號的去噪前后時域?qū)Ρ葓D如圖4所示。

圖4 去噪前后信號時域?qū)Ρ葓DFig.4 time domain comparison of signals before and after denoising

從圖4可知，去噪后信號與原始信號相比，波形基本一致，保留了較多的信號細(xì)節(jié)，但更平滑，可知該去噪方法效果顯著。為了清楚地展現(xiàn)去噪效果，本實驗將原始信號和去噪后的信號均進(jìn)行了時頻轉(zhuǎn)換，其頻域?qū)Ρ葓D如圖5所示。

圖5 去噪前后頻域信號對比圖Fig.5 Comparison of frequency domain signals before and after denoising

據(jù)資料顯示，管道泄露所產(chǎn)生的頻率處較低頻的范圍，因此高頻部分為噪聲信號。從圖5可看出，去噪后的信號的幅值均低于去噪前的信號，尤其在高頻部分，本文提出VMDF-BD法用于管道泄露聲波信號去，能夠達(dá)到去噪目的。因此，本文提出的方法可以有效去除實際管道采集信號中引入的寬帶噪聲。

3 結(jié)論

針對管道采集信號中存在的噪聲干擾問題，提出了一種基于變分模態(tài)分解與巴氏距離的聯(lián)合去噪算法。通過對仿真信號降噪的方法，分析得出了該算法具有較好降噪效果的結(jié)論。并將該算法實際應(yīng)用在管道采集的信號中進(jìn)行降噪處理，其降噪效果較好。

該算法取得了較好的去噪效果。其主要優(yōu)點如下:

(1)采用巴氏距離來度量各分解所得模態(tài)分量與原始信號之間的相似性，使去噪信號減少失真。

(2)引入反饋機制，無須人為設(shè)定VMD分解層數(shù)，確保采集信號完全分解，以盡可能去除噪聲。

(3)仿真實驗中，本文所提方法去噪效果明顯優(yōu)于其余四種去噪算法。實際測試中，本文所提方法能夠有效去除實測數(shù)據(jù)的噪聲，并且保留原始信號的基本特性。

因此，本文所提去噪方法具備一定的研究價值，并且能夠為下一步的信號識別、分類提供幫助。