基于GeoGebra動態(tài)交互探索偏導(dǎo)數(shù)幾何意義

王洪越 張敬信 胡會榮 韓瑀 李天一

（哈爾濱商業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 黑龍江省哈爾濱市 150028）

隨著科技信息化的發(fā)展和教育的不斷改革，整個社會都在悄悄地發(fā)生著巨大的變化。傳統(tǒng)的教學(xué)方式和教學(xué)內(nèi)容需要作進(jìn)一步革新，許多在線教育教學(xué)類軟件不斷興起掀起了線上教學(xué)的熱潮。各類教學(xué)平臺的及教學(xué)軟件的出現(xiàn)給學(xué)生提供了更多更好的、自主學(xué)習(xí)的機會，如GeoGebra 等。

GeoGebra 作為一款新興的動態(tài)圖形化數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，具備作圖簡便、數(shù)形結(jié)合等特點，在線上教學(xué)中使用，運用GeoGebra 軟件能夠做到幾何圖形與代數(shù)方程的同步變化，展示數(shù)學(xué)對象動態(tài)生成的全過程，促進(jìn)學(xué)生抽象知識的可視化理解，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識及其圖像的融合性領(lǐng)悟，在有以圖像為引例的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中有著明顯的優(yōu)勢。利用多種教學(xué)軟件可以使學(xué)生加深所學(xué)知識的印象，同時能夠數(shù)形結(jié)合的去研究問題，這種方法大大提高了學(xué)生的主觀能動性和學(xué)習(xí)積極性，同時也給教師提供了另一種新型的授課方式，是難得的利用現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行教育教學(xué)的手段，近年來在中學(xué)、大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用[1-5]。

1 偏導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義

以二元函數(shù)z=f(x,y)為例，想要考慮因變量z 關(guān)于其中一個自變量，比如x，的變化率，需要固定y=y0，則變成一元函數(shù)z=f(x,y0)關(guān)于自變量x 的變化率，按一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義就可以定義偏導(dǎo)數(shù)。

定義1[6]設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域有定義，若極限存在，則此極限稱為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)處對x 的偏導(dǎo)數(shù)，記為若函數(shù)z=f(x,y)對定義域D 內(nèi)每一點(x,y)處對x 的偏導(dǎo)數(shù)都存在（是關(guān)于x,y 的函數(shù)），稱為函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于y 的偏導(dǎo)數(shù)，記為類似地可以定義函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于y 的偏導(dǎo)數(shù)。

從幾何上看，二元函數(shù)z=f(x,y)是一個空間中的曲面，固定y=y0相當(dāng)于限制曲面在平面y=y0上，即考察一條曲線z=f(x,y0)。從而，根據(jù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，偏導(dǎo)數(shù)表示曲線f(x,y0)在x0處切線的斜率。

但是現(xiàn)有的如同濟版《高等數(shù)學(xué)》中的偏導(dǎo)數(shù)幾何意義示意圖（見圖1），是靜態(tài)的單一視角，非常不直觀；而且只能展示一個點處的偏導(dǎo)數(shù)，不能演示從一點擴展到曲面上任意一點的偏導(dǎo)數(shù)！

圖1：同濟版《高等數(shù)學(xué)》偏導(dǎo)數(shù)幾何意義示意圖[6]

本文借助GeoGebra 強大的動態(tài)交互圖形化功能，設(shè)計并繪制動態(tài)交互演示偏導(dǎo)數(shù)幾何意義的輔助教學(xué)課件。這對幫助學(xué)生更深入透徹地理解偏導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義非常有幫助。

2 GeoGebra繪制偏導(dǎo)數(shù)幾何意義動態(tài)交互圖形

打開GeoGebra 3D 繪圖區(qū)，以二元函數(shù)z=(x2+y2)/4 為例，想要換成其它二元函數(shù)只需要修改定義函數(shù)的指令。繪圖步驟及說明如下：

（1）繪制二元函數(shù)曲面，輸入指令：a:z=(x2+y2)/4 回車；注意a:是為該對象起名為a，方便后續(xù)使用它；

（2）繪制平面y=y0

為了演示“固定y=y0，y0可動態(tài)變化”，輸入指令：y0=滑動條(-5,5,0.1) 回車，定義滑動條；再輸入指令：b:y+0x+0z=y0 回車；

（3）繪制曲面與平面的交線z=f(x,y0)

輸入指令：c:相交路徑(a,b) 回車；

（4）繪制任意一點(x0,y0)

輸入指令：A = 描點(c) 回車，這樣得到的A 點可以在曲線c上移動；

（5）繪制交線z=f(x,y0)在點(x0,y0)處的切線

輸入指令：L:切線(A,c) 回車

（6）繪制必要的輔助線、輔助角

切線斜率是切線與(x0,y0)處平行于x 軸的直線的夾角正切值，為了便于理解，繪制該平行直線，并把該夾角標(biāo)記出來。

輸入指令：L1:直線(A,x 軸)回車；注意，用兩條直線夾角的指令得到的夾角是我們想要的夾角的補角，采用分別在L 和L1上描點B 和C，再輸入指令：角度(B,A,C)回車。

經(jīng)過以上步驟，已經(jīng)完成了GeoGebra動態(tài)交互演示偏導(dǎo)數(shù)幾何意義的輔助教學(xué)課件制作，結(jié)果如圖2所示。

圖2：GeoGebra動態(tài)交互演示偏導(dǎo)數(shù)幾何意義

該圖形具有動態(tài)可交互性，在線下、線上的課堂上，只要電腦安裝有GeoGebra 軟件，都可以動態(tài)交互演示。A 點代表當(dāng)前點(x0,y0)處，藍(lán)色曲線是固定y=y0后的交線z=f(x,y0)，黑色直線就是該曲線在A 點處的切線，夾角α 的正切值就是當(dāng)前偏導(dǎo)數(shù)值；用鼠標(biāo)拖動A 點，則切線、輔助虛直線、夾角α 及角度大小都將跟著動態(tài)變化，演示交線上每一點(x,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)；拉動滑動條y0，則藍(lán)色平面、藍(lán)色交線、黑色切線、夾角α 及角度大小都將跟著動態(tài)變化，演示任意一點(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)；另外，在空白位置按住鼠標(biāo)拖動，可以切換到任意視角來觀看當(dāng)前圖形。

3 結(jié)論

對于空間感較弱的學(xué)生來講，單憑想象三維立體圖像是很難能夠真正理解的到位的，很有可能梳理不好他們之間的關(guān)系，使學(xué)生思維受到局限，解題沒有效率，思維能力也得不到提升，往往是浪費時間的不可取的。相比普通的偏導(dǎo)數(shù)幾何意義示意圖，用GeoGebra 制作的本課件所展示的內(nèi)容能夠動態(tài)交互、更加直觀豐富，為教師教授偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)容提供了新思路，為學(xué)生理解偏導(dǎo)數(shù)提供了新方法，達(dá)到事半功倍的效果。

在當(dāng)今科技突飛猛進(jìn)的信息化時代，培養(yǎng)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力迫在眉睫，最關(guān)鍵能力、核心競爭力是學(xué)習(xí)能力。隨著時代的不斷進(jìn)步，越來越多的數(shù)字化軟件應(yīng)用于課堂上，看得出來教學(xué)改革正與時俱進(jìn)著。GeoGebra 動態(tài)數(shù)學(xué)軟件教學(xué)模式應(yīng)運而生，將GeoGebra 軟件應(yīng)用于課堂之上，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中也起到了很重要的作用，不僅有助于教師教學(xué)，更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)，便于去理解和體會，還能在課后起到很好的輔助作用。能夠使利用網(wǎng)絡(luò)教學(xué)資源與傳統(tǒng)教學(xué)方法充分融合，不再是干干巴巴的文字和數(shù)字，還有五顏六色的圖形和3D 旋轉(zhuǎn)動態(tài)圖，無論是對于教師還是對于學(xué)生來講，都是新鮮有趣能夠抓住眼球的，使學(xué)生自主去探索未知的領(lǐng)域，在有趣的高效的交互中獲得知識。

這樣不僅能夠提高課堂教學(xué)效率，同時也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力和綜合應(yīng)用能力，幫助學(xué)生更深刻的了解和掌握所學(xué)知識，牢牢扎根于心，使學(xué)生成為課堂的主導(dǎo)者，提高了實際的應(yīng)用能力，使其在日后的工作和學(xué)習(xí)中也能夠思維發(fā)散，學(xué)以致用。打破固有的粉筆式教育，引入信息化軟件進(jìn)入課堂，利用其帶有的圖形等功能實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，真正的激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的興趣，對教師的職業(yè)提升也有積極意義，從而達(dá)到提升教育教學(xué)質(zhì)量的目的。