立足學(xué)生基礎(chǔ) 強(qiáng)化代數(shù)推理
——“解二元一次方程組（1）”教學(xué)設(shè)計(jì)

■焦倩玉

本節(jié)是蘇科版教材七年級(jí)下冊(cè)第10 章“二元一次方程組”的第3 節(jié)第1 課時(shí)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)了解了二元一次方程和二元一次方程組的概念，經(jīng)歷分析實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系再列出方程組的過(guò)程；同時(shí)，也學(xué)習(xí)過(guò)一元一次方程的相關(guān)知識(shí)，會(huì)解一元一次方程。本節(jié)學(xué)生在嘗試、探索、比較的活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)了代入消元法，體會(huì)從二元到一元、從未知到已知的轉(zhuǎn)化思想，為學(xué)習(xí)加減消元法，解三元一次方程組和用二元一次方程組解決問(wèn)題奠定了基礎(chǔ)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用代入消元法解二元一次方程組，并能根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)拇胂绞健?/p>

2.使用思維導(dǎo)圖分析代入法解方程組的具體步驟，展示各步驟的作用，將思維可視化；滲透算法中程序化的思想，提高思維深度。

3.經(jīng)歷從二元到一元的轉(zhuǎn)化過(guò)程，體會(huì)解二元一次方程組中化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想方法。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用代入消元法解二元一次方程組，并能根據(jù)二元一次方程組的特點(diǎn)，選用適當(dāng)?shù)拇胂绞?；?jīng)歷從二元到一元的轉(zhuǎn)化過(guò)程，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

教學(xué)難點(diǎn)：歸納得出“將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少”的消元思想，然后在這種思想的指導(dǎo)下，從具體到抽象，從特殊到一般，認(rèn)識(shí)代入消元法。

三、教學(xué)過(guò)程

1.問(wèn)題探究。

籃球比賽規(guī)則規(guī)定：贏一場(chǎng)得2 分，輸一場(chǎng)得1 分。在中學(xué)生籃球聯(lián)賽中，某球隊(duì)賽了12場(chǎng)，共得20分。該球隊(duì)贏了幾場(chǎng)？輸了幾場(chǎng)？

問(wèn)題1：你能用方程表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系嗎？

問(wèn)題2：你會(huì)解這個(gè)二元一次方程組嗎？如果不會(huì)，你知道這個(gè)方程組解的形式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的情境“籃球比賽積分問(wèn)題”，讓學(xué)生列出方程（組）。有兩種不同方法：一是列兩個(gè)二元一次方程；二是只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，列一元一次方程。比較這兩種方法，可以發(fā)現(xiàn)，方法一難解，方法二難列。學(xué)生已經(jīng)會(huì)解一元一次方程，二元一次方程組雖然好列，但是如何解二元一次方程組成為新問(wèn)題。

問(wèn)題3：上面的二元一次方程組和一元一次方程有什么關(guān)系？

問(wèn)題4：如何實(shí)現(xiàn)從二元一次方程組到一元一次方程的轉(zhuǎn)化呢？

問(wèn)題5：你能說(shuō)出每一步的依據(jù)嗎？

問(wèn)題6：你能寫(xiě)出解這個(gè)二元一次方程組的完整過(guò)程嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】采用思維導(dǎo)圖的形式，滲透算法中程序化的思想，強(qiáng)化思考的深度。分析二元一次方程組，經(jīng)過(guò)對(duì)①式進(jìn)行變形、再代入②式，轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)會(huì)解的關(guān)于x的一元一次方程。變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)，代入的依據(jù)是等量代換，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注每一步的依據(jù)。根據(jù)思維導(dǎo)圖，寫(xiě)出解二元一次方程組的完整過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)用代入消元法解二元一次方程組的基本思路。

問(wèn)題7：你還有其他的變形或者代入方法嗎？請(qǐng)畫(huà)出思維導(dǎo)圖。

問(wèn)題8：這4 種方法你都喜歡嗎？選擇你最喜歡的方法寫(xiě)出完整過(guò)程。

問(wèn)題9：這4種方法之間有什么共同點(diǎn)？

【設(shè)計(jì)意圖】討論解這個(gè)二元一次方程組其他的變形或代入方法，總共4種。體會(huì)既可以用含x的代數(shù)式表示y，也可以用含y的代數(shù)式表示x，既可以將①式代入②式，也可以將②式代入①式。比較這4種方法會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)未知數(shù)系數(shù)的絕對(duì)值為1 時(shí)，轉(zhuǎn)化后的一元一次方程將更加簡(jiǎn)便，體會(huì)方法的優(yōu)化。學(xué)生在觀察比較的基礎(chǔ)上，歸納概括代入消元法的基本步驟，即代入法是通過(guò)把一個(gè)方程（必要時(shí)先做適當(dāng)變形）代入另一個(gè)方程實(shí)現(xiàn)消元的方法。

2.例題講解。

問(wèn)題1：代入消元法的基本步驟是什么？

問(wèn)題2：選擇消去哪個(gè)未知數(shù)更為簡(jiǎn)便？

問(wèn)題3：如下解答過(guò)程中，可以將③式代入①式嗎？

問(wèn)題4：如何檢驗(yàn)解是否正確？

【設(shè)計(jì)意圖】例題的目的是鞏固對(duì)代入消元法的認(rèn)識(shí)。應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生自己嘗試求解，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)代入法的基本步驟“變形——代入——求解——寫(xiě)解”。使用代入消元法時(shí)，在條件允許的情況下，我們會(huì)優(yōu)先選擇消去系數(shù)絕對(duì)值是1的未知數(shù)，避免產(chǎn)生分?jǐn)?shù)系數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)方程組的特點(diǎn)，靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ā＠}更關(guān)注具體細(xì)節(jié)。如，由于③式是由①式得到的，所以它只能代入②式，而不能代入①式，否則會(huì)出現(xiàn)不含未知數(shù)的恒等式，不能繼續(xù)解方程。例題雖未作出書(shū)面檢驗(yàn)，但依然要強(qiáng)調(diào)檢驗(yàn)的重要性，要求學(xué)生做心算檢驗(yàn)，養(yǎng)成檢驗(yàn)的好習(xí)慣。

3.鞏固提升。

問(wèn)題：仔細(xì)觀察方程組結(jié)構(gòu)的特殊之處，能不能帶來(lái)新的解題思路？

【設(shè)計(jì)意圖】思路一、二為常規(guī)解法，思路三滲透整體思想。進(jìn)一步觀察思考后，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，由此得出新的思路——通過(guò)兩個(gè)方程相加實(shí)現(xiàn)消元。說(shuō)明除了代入消元法以外，還有其他的消元方法。這為下一課時(shí)學(xué)習(xí)加減消元法提供了鋪墊。

4.課堂小結(jié)。

問(wèn)題1：這節(jié)課你收獲了什么樣的方法？