輕繩對圓環拉力的沖量大小到底是多少？*——對《繩桿關聯系統若干問題研究》一文的再分析

姜付錦 喻 聰

(武漢市黃陂區第一中學 湖北 武漢 430300)

1 問題由來

【題目】[1]如圖1所示，將質量為2m重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質量為m的環，環套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為d.桿上的A點與定滑輪等高，桿上的B點在A點正下方距離為d處，現將環從A處由靜止釋放，不計一切摩擦阻力，求：

圖1 題圖

(1)環到達B處時，重物上升的高度h;

(2)若環到達B處時速度大小為v，求此時重物速度大小;

(3)環從A處靜止釋放到B處過程中，環克服輕繩拉力做的功W;

(4)環從A處靜止釋放到B處過程中，繩對環拉力的沖量大小 ;

(5)環能下降的最大高度H.

1.1 原文作者對第(4)問的分析

規定向下為正方向，環從A運動B的過程中，因繩對環拉力的沖量不在豎直方向上，運用動量定理非常麻煩.因此對重物、環與重物組成的系統分別應用動量定理，對重物運用動量定理，有

2mgt-I=2m(-v物)-0

(1)

對環與重物組成的系統運用動量定理，有

mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

(2)

1.2 筆者的一點疑惑

上題中第(4)問，繩子對環拉力的方向是時刻變化的，繩對重物拉力的方向是不變的.繩對圓環拉力的沖量有兩個分方向：水平方向和豎直方向，我們可以先求出拉力在兩個方向上的分沖量，再求出它們合沖量即為拉力的沖量.把環與重物組成一個系統，則繩子對環在豎直方向上的沖量與繩子對重物在豎直方向上的沖量不能抵消，故原文中(2)式有誤.

對重物用動量定理得

2mgt-IF=2m(-v物)

(3)

對圓環用動量定理得

mgt-Iy=mv

(4)

聯立式(3)、(4)整理得

mgt+2mgt-IF-Iy=mv+2m(-v物)

(5)

故筆者以為原文中式(2)結果有待商榷.

2 定量研究

2.1 兩個物體速度與夾角的關系

當輕繩與豎直桿的夾角為θ時，設環的速度v1，重物的速度v2，由機械能守恒定律

(6)

環與重物的速度關系

v2=v1cosθ

(7)

聯立式(6)、(7)得

v2=v1cosθ=

(8)

2.2 圓環所受拉力的沖量

設繩子的拉力為F，則通過對圓環受力分析可知，圓環的動力學微分方程如下

(9)

將式(9)整理后得

(10)

因為輕繩與豎直桿夾角在減小，所以輕繩繞定滑輪轉動的角速度為負值，即

(11)

聯立式(10)、(11)兩式，得繩子的拉力為

(12)

圓環受到的拉力在水平方向和豎直方向上的沖量分別為

(13)

聯立式(8)、(12)、(13)，并積分得

(14)

由式(14)，得圓環受到輕繩拉力的沖量為

(15)

2.3 圓環下落的最大高度

設圓環下降的最大高度為H，則根據機械能守恒定律得

(16)

(17)

所以圓環在最低點時繩與桿的夾角為

(18)

3 數值模擬

為了研究問題的方便，不妨設m=1 kg,g=10 m/s2,d=1 m，數值模擬如下.

3.1 圓環與重物的速度與時間關系

圖2為圓環與重物的速度與時間關系圖像.從圖2可以發現，圓環與重物的速度與時間呈周期性變化；它們不是同時達到最大速度，圓環先達到最大速度，重物后達到最大速度；它們速度為零是同時的.

圖2 圓環與重物的速度與時間關系

3.2 圓環與重物的速度與角度關系

圓環與重物的速度與角度的關系圖像如圖3所示.從圖3可以發現，圓環達到最大速度時繩與桿的夾角不是60°，此時夾角要比60°大一些；重物達到最大速度時繩與桿的夾角也不是60°，此時夾角要比60°小，與式(18)分析結果吻合.

圖3 圓環與重物的速度與角度關系

3.3 圓環與重物的加速度與時間關系

圓環與重物的加速度與時間關系如圖4所示.從圖4可以發現，圓環開始運動時加速度為g，重物開始時加速度為零；圓環速度最大的時刻比重物速度最大時刻早一些.

圖4 圓環與重物的加速度與時間關系

4 結束語

通過以上分析發現，圓環與重物的速度與時間呈周期性變化；它們不是同時達到最大速度，圓環先達到最大速度，重物后達到最大速度，它們速度為零是同時的；圓環達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°大；重物達到最大速度時繩與桿的夾角要比60°小；圓環開始運動時加速度為g，重物開始時加速度為零，而且兩個物體的加速度與時間變化的周期相等；當圓環在平衡位置微擾時，圓環與重物振動規律的相位差為零，且它們最大速度之比為它們質量的反比；繩子對圓環拉力的沖量沒有解析解，只有數值模擬解.