兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的研究*——基于多普勒效應(yīng)綜合實驗儀

何香林 劉竹琴

(延安大學(xué)物理與電子信息學(xué)院 陜西 延安 716000)

當(dāng)彈簧可視為輕質(zhì)彈簧時，滿足胡克定律[1,2]，但在研究實際彈簧振子的振動問題時，大多時候彈簧不可視為輕質(zhì)彈簧，文獻[3]詳細(xì)闡述了有質(zhì)量彈簧對振動的影響，也有大量文獻研究了單彈簧的等效質(zhì)量[4～6]，這為本文提供了理論基礎(chǔ)與思考方向.在實際工程應(yīng)用中往往不只是有單彈簧與振子組成的振動系統(tǒng)，更多的是諸如兩彈簧串聯(lián)、兩彈簧并聯(lián)、多彈簧串聯(lián)等分別與振子組成的復(fù)雜彈簧振子系統(tǒng)，復(fù)雜彈簧振子等效質(zhì)量的確定仍有待研究.因為在豎直方向上彈簧質(zhì)量對振動周期影響最大[7]，實驗效果最為明顯，所以本文將對豎直方向上兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量進行研究.研究結(jié)果為多彈簧串聯(lián)等效質(zhì)量的確定以及實際工程應(yīng)用提供了實驗基礎(chǔ)，使學(xué)生了解到振動周期不僅與振子質(zhì)量、彈簧勁度系數(shù)有關(guān)，還與彈簧自身質(zhì)量、位置分布有關(guān).

1 實驗原理與實驗裝置

1.1 實驗原理

1.1.1 周期的測量

多普勒效應(yīng)綜合實驗儀可以設(shè)置采樣步距、采樣次數(shù)，并且能夠采集彈簧振子振動的v-t圖像.在簡諧振動過程中，采集到的v-t圖呈三角函數(shù)圖像，方向相同且最大的相鄰兩個速度所對應(yīng)的采樣次數(shù)之差乘以采樣步距的值等于周期.為方便計算以及減小實驗誤差，采樣步距設(shè)置為0.1 s，采樣次數(shù)設(shè)置為最多次數(shù)150次，第b次(即最后一次)與第1次速度最大且方向相同的采樣次數(shù)之差設(shè)為Nb-N1，則周期的計算滿足式(1)，即

(1)

1.1.2 等效質(zhì)量的測量

在研究有質(zhì)量彈簧與振子所組成的振動系統(tǒng)的運動規(guī)律時，周期計算公式如式(2)[8]，T，κ，m0，m分別為振動周期、彈簧勁度系數(shù)、振子質(zhì)量、彈簧等效質(zhì)量，兩邊平方整理得式(3).在此實驗中，收集多組振子質(zhì)量和與之對應(yīng)的周期平方的值，作T2-m0的二元一次函數(shù)圖，設(shè)其斜率為a、截距為d,聯(lián)立式(3)、(4)便可求出等效質(zhì)量的測量值.

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(3)

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1.2 實驗裝置

實驗裝置由紅外接收器、自由落體組件、底座及發(fā)生器、電磁閥、保護盒、砝碼、電子秤、質(zhì)量分別為5.8 g與11.0g的兩彈簧及導(dǎo)軌組成.當(dāng)兩彈簧串聯(lián)時，掛上振子后彈簧伸長量過大，為得到足夠的實驗數(shù)據(jù)以達到減小實驗誤差的目的，需將兩導(dǎo)軌串接，此時需放置保護盒，如圖1所示.

圖1 測量兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的實驗裝置圖

2 實驗方法與測量舉例

2.1 實驗方法

(1)令質(zhì)量為5.8 g的彈簧為彈簧1，11.0 g的彈簧為彈簧2，當(dāng)兩彈簧串聯(lián)后，彈簧1在固定端，即彈簧1懸掛于電磁閥上方的掛鉤孔中，振子懸掛于彈簧2一端，實驗步驟如下：

1)設(shè)置好多普勒效應(yīng)綜合實驗儀的相關(guān)參數(shù)，將電子秤稱量好的振子質(zhì)量記錄于表1，適當(dāng)下拉振子使系統(tǒng)做簡諧運動，待其穩(wěn)定后，開始采集v-t圖像.

2)為減小實驗誤差，多次采集v-t圖像，多次記錄第一次與最后一次速度最大且方向相同采樣次數(shù)的差，并取平均值，利用式(1)可得周期，再平方即可得出周期平方的值并記錄于表中.

3)改變振子質(zhì)量，重復(fù)上述步驟，共收集6組振子質(zhì)量和與之對應(yīng)的周期平方的值.

4)在Excel中輸入6組數(shù)據(jù)，得二元一次方程，并作出T2-m0函數(shù)圖像，聯(lián)立式(3)、(4)求出等效質(zhì)量的測量值.

5)利用函數(shù)圖像以及測量值，研究等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)的關(guān)系.

(2)當(dāng)彈簧2在固定端時，步驟同上，并比較兩次的測量值是否一致.

2.2 測量舉例

2.2.1 數(shù)據(jù)記錄

(1)振子質(zhì)量分別為101.0 g，118.0 g，134.0 g，145.9 g，167.9 g，178.1 g，周期平方取小數(shù)點后4位.彈簧1懸掛于固定端時，所得數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 彈簧1懸掛于固定端時的數(shù)據(jù)記錄表

(2)彈簧2懸掛于固定端時，所得數(shù)據(jù)如表2所示.

表2 彈簧2懸掛于固定端時的數(shù)據(jù)記錄表

2.2.2 數(shù)據(jù)處理

(1)彈簧1懸掛于固定端所對應(yīng)的線性回歸曲線，如圖2所示，其相關(guān)系數(shù)R2為0.999 2,趨近于1，趨勢線精確度較高.

圖2 彈簧1懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線圖

圖2所對應(yīng)的線性回歸方程為

T2=21.937m0+0.172 6

(5)

此時a為21.937，d為0.172 6，代入式(4)，保留小數(shù)點后4位，解得彈簧等效質(zhì)量的測量值為7.868 0 g.

經(jīng)測量，彈簧1的勁度系數(shù)為3.087 1，彈簧2的勁度系數(shù)為4.561 0，測量方法與等效質(zhì)量測量方法類似，不同之處便是只需知道T2-m0函數(shù)圖像的斜率即可求出勁度系數(shù)，這里不再贅述.設(shè)等效質(zhì)量與兩單彈簧自身質(zhì)量的關(guān)系如式(6)，c1與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(7)，c2與η滿足的函數(shù)關(guān)系如式(8)，η為懸掛振子端與固定端彈簧勁度系數(shù)的比值[9].m1，κ1，c1分別為固定端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù)，m2，κ2，c2為懸掛振子端彈簧的質(zhì)量、勁度系數(shù)、相關(guān)系數(shù).

m=c1m1+c2m2

(6)

(7)

(8)

(9)

聯(lián)立式(6)～(9)解出此時等效質(zhì)量的理論值為7.844 9 g，約等于測量值.理論值與測量值的百分誤差為0.29%，在誤差范圍內(nèi)，則假設(shè)成立.

(2)彈簧2懸掛于固定端所對應(yīng)的線性回歸曲線，如圖3所示.其相關(guān)系數(shù)R2為0.998 9,趨近于1，趨勢線精確度較高.

圖3 彈簧2懸掛于固定端的T2-m0函數(shù)曲線

圖3所對應(yīng)的線性回歸方程為

T2=21.679m0+0.076 5

(10)

此時a為21.679，d為0.076 5，代入式(4)，保留小數(shù)點后4位，解得彈簧等效質(zhì)量的測量值為3.528 8 g，與彈簧1懸掛于固定端所得等效質(zhì)量的值不一致.

聯(lián)立式(6)～(9)解出此時等效質(zhì)量的理論值為3.626 1 g，約等于測量值.理論值與測量值的百分誤差為2.68%，在誤差范圍內(nèi)，則假設(shè)成立.

綜上可知：

(1)豎直方向兩串聯(lián)彈簧的等效質(zhì)量與彈簧的位置分布有關(guān)；

(2)等效質(zhì)量的大小與單彈簧自身質(zhì)量、勁度系數(shù)滿足關(guān)系式(6)～(9).

3 結(jié)束語

本文設(shè)計了基于多普勒效應(yīng)綜合實驗儀研究兩串聯(lián)彈簧等效質(zhì)量的方案，并將標(biāo)準(zhǔn)值與測量值進行了比較，實驗誤差分別為0.29%和2.68%，結(jié)果精確度較高.但本文在最初收集、處理實驗數(shù)據(jù)過程中得出的百分誤差較大，在多次收集、處理實驗數(shù)據(jù)后，才最終得出誤差較小的等效質(zhì)量的測量值.究其原因：

(1)與研究等效勁度系數(shù)不同的是，研究等效質(zhì)量所要求的精確度更高；

(2)采用質(zhì)量較輕的彈簧，函數(shù)圖像斜率與截距的微小變化都會嚴(yán)重影響到等效質(zhì)量的測量值與理論值的百分誤差.

通過本次實驗，可以提高學(xué)生的創(chuàng)新意識、競爭與合作意識、科技意識，以及培養(yǎng)學(xué)生批判、嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真、實事求是的科學(xué)態(tài)度.