對兩個“圖解法求解平衡問題”典例的解法商榷

戎 杰 葉晟波 葉 春

(浙江省慈溪中學 浙江 寧波 315300)

求解平衡問題的方法有很多，如正交分解法、函數(shù)求解法、圖解法、正弦定理法、力矩平衡法、虛功原理法等.其中，圖解法是一種簡單、直觀、易于掌握的方法，因其拋卻繁瑣復雜的數(shù)學計算，為提高解題速度提供便捷，師生在解題中使用頻率普遍較高.但任何一種方法絕非萬能，在具體的使用過程中，一不小心也容易犯錯.

文獻[1]通過理論分析及典型例證的方式，對“作圖法求解動態(tài)平衡問題”展開深入研究，邏輯清晰，討論嚴謹.此文對“平衡問題”的教學實踐產(chǎn)生積極的指導作用，筆者拜讀后深受啟示.但筆者在研讀學習時，發(fā)現(xiàn)一處值得商榷的典例研討，謹提粗鄙之見解.

【例1】[1]如圖1所示，保持結點O的位置不動，在上面兩根繩都拉直的情況下(設兩繩間夾角為鈍角)，下面一根繩的拉力F1保持大小不變，方向由F3的反向延長線逆時針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長線的過程中，F(xiàn)2和F3的大小怎么變化？

圖1 例1題圖

文獻[1]通過作圖法給出了結論：F3逐漸減小到零，F(xiàn)2先增大后減小到F1等大.筆者認為此答案有待商榷，分析如下.

如圖2所示，以F1大小為半徑r，結點O為圓心作輔助圓，圓上任意一點到O點的距離都表示拉力F1的大小.作輔助線mn平行于OR且與輔助圓相切于P點，此時OP垂直于切線mn(即F2方向).作m′n′平行于OA，與圓相切于Q點，此時OQ垂直于切線m′n′(即F3方向).

圖2 筆者針對例1分析圖

拉力F1從OA→OP→OR過程中，通過作圖和平行四邊形分析可得：

(1)F1方向從OA→OP過程中，F(xiàn)3增大(F3大小由圓半徑r→|OA|).

(2)F1方向從OP→OR過程中，F(xiàn)3減小(F3大小由|OA|→0).

由此可得，F(xiàn)1方向轉(zhuǎn)到OP處時，F(xiàn)3max=|OA|，即F1在轉(zhuǎn)動過程中，F(xiàn)3先變大后變小.

同理，拉力F1方向從OA→OQ→OR過程中，有：

(1)F1方向從OA→OQ過程中，F(xiàn)2增大(F3大小由0→|OR|).

(2)F1方向從OQ→OR過程中，F(xiàn)2減小(F3大小由|OR|→圓半徑r).

由此可知，F(xiàn)1轉(zhuǎn)到OQ處時，F(xiàn)2max=|OR|，即F1在轉(zhuǎn)動過程中，F(xiàn)2也是先變大后變小.

由上述分析可知，此例的正確結論應是：F3先變大后逐漸減小到零，F(xiàn)2由零先增大，后逐漸減小到F1.

小結：由此例來看，在使用圖解法求解動態(tài)平衡問題時，要注意臨界狀態(tài)時各力的大小是否達到最大(最小)的臨界值.因題設條件兩繩間夾角為鈍角，必然會有F1分別與F2和F3垂直的狀態(tài)，當F1垂直于F2時，F(xiàn)3達到最大值；當F1垂直于F3時，F(xiàn)2達到最大值.故整個動態(tài)平衡過程中，F(xiàn)2和F3的大小變化趨勢，必然是相同的(都是先變大后變小)，而這點從對稱性的角度也很好理解.

針對“平衡問題”中的一類臨界極值問題，文獻[2]“拋卻”了常規(guī)的正交分解法和函數(shù)求解法，引入“全反力”“摩擦錐”等概念，并采用圖解法巧妙求解，事半功倍，展示了科學思維培養(yǎng)的良好路徑，不失為一篇實用而富有技巧性的好文.但對于文中典例題2的求解過程，筆者有一些粗淺見解.

【例2】[2]如圖3所示，在傾角為θ的粗糙固定斜面上，有一個質(zhì)量為m的物體在水平力F作用下，恰好靜止在斜面上.已知物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ，且μ

圖3 例2題圖

文獻[2]根據(jù)臨界狀態(tài)的特征，把“恰好靜止”分為“恰好不上滑”和“恰好不下滑”兩種情況，并引入“全反力”“摩擦錐”等概念，用圖解法進行了分類討論，整體思路值得借鑒學習.

(1)恰好不下滑

如圖4所示，重力mg與水平推力F的合力(全反力F全)恰好在摩擦錐的邊緣，此時物塊恰好不下滑.

圖4 文獻[2]針對恰好不下滑分析圖

此時全反力的反向延長線與豎直方向的夾角為α(α=θ-φ)，有

F=mgtanα=mgtan(θ-φ)

(1)

又由于μ=tanφ，可以算出

(2)

(2)恰好不上滑

對于“恰好不上滑”的臨界狀態(tài)，全反力F全指向左上方，全反力反向延長線與豎直方向夾角為β(β=θ+φ).因θ+φ大小未知，因此還需分兩種情況討論.

情況1：0<β<90°，如圖5所示.

圖5 文獻[2]針對恰好不上滑0<β<90°情形分析圖

F=mgtanθ=mgtan(θ+β)

(3)

(4)

文獻[2]僅討論了上述(0<β<90°)這種情況，對于β≥90°的情況，筆者認為有必要進一步討論.

情況2：β≥90°，如圖6所示.

圖6 筆者針對恰好不上滑β≥90°情形分析圖

在F>mgtanθ的情況下，無論F多大，重力mg與F的合力總在摩擦角φ范圍內(nèi).故無論F多大，物塊都能保持靜止，物塊處于“自鎖”狀態(tài).

小結：由此例來看，β≥90°的這種情況雖不滿足題干所述的“物塊恰好靜止在斜面上”這種臨界條件.但從培養(yǎng)學生物理思維的嚴謹性，解題過程的完整性、規(guī)范性的角度來說，筆者認為第2種情況的討論不能舍去或缺失，此舉是非常重要且有意義的教學環(huán)節(jié).此外，也是分類討論思想在物理習題教學中的重要體現(xiàn).

綜上所述，文獻[1,2]兩文拋卻繁瑣的數(shù)學計算，巧用作圖破解平衡，化繁為簡，生動巧妙，給“平衡問題”的教學實踐提供了全新思路，對兩文典例求解中細節(jié)的商榷，旨在凸顯對臨界狀態(tài)極值問題的關注，強調(diào)分類討論的完整嚴密在物理教學中的重要意義，培養(yǎng)質(zhì)疑創(chuàng)新能力，提升科學思維品質(zhì).